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第八章
假设检验
第八章 假设检验
第1节 假设检验的基本概念
第2节 参数的假设检验
第2节 参数的假设检验
第2节 参数的假设检验
一.单个正态总体均值的检验
三.两个正态总体均值差的检验
二.单个正态总体方差的检验
四.两个正态总体方差比的检验
假设检验的基本步骤
（1）根据问题的要求提出原假设H0和备择H1；
（2）根据 H0选取检验统计量并确定其分布;
（3）对给定(或选定)的显著性水平α，确定拒绝域W和接收域W＊
（4）计算统计量的观测值：
（5）推断：当观测值落入拒绝域W，就拒绝H0；否
则就接受H0
参数假设检验常见的有三种基本形式
(1)
(2)
(3)
这三种假设所采用的检验统计量是相同的，差别
在拒绝域上。当备择假设H1在原假设H0一侧时的检
验称为单侧检验，当备择假设H1分散在原假设H0
两侧时的检验称为双侧检验.
设X1,X2 , …,Xn 是来自N( , 2)的样本，考虑关于 的检验问题.
一.单个正态总体均值的检验
(1)
(2)
(3)
1、已知 时的U 检验
统计量
1、已知 时的u 检验
统计量
(a)
(b)
(c)
拒绝域
例1 据往年统计，某杏园中株产量(单位：kg)服从N（54，3.52），
2019年整枝施肥后，在收获时任取10株单收，结果如下：
59.0 55.1 58.1 57.3 54.7 53.6 55.0 60.2 59.4 58.8
假定方差不变，问该年度的株产量是否有提高？（α=0.05）
解 此为已知方差σ2=3.52的右边
单侧检验，其假设为
H0：μ≤54 vs H1：μ>54.
选择统计量
在H0成立条件下
由α=0.05得,
计算统计量的值
计算得
所以
由于
所以拒绝H0接受H1，即认为本年
度的株产量较往年有较大提高.
得拒绝域为
2、 2 未知时的t 检验
统计量
拒绝域
假设
例2.某校学生的高数成绩服从均值为75分的正态分布，学校对2016级新生高等数学的教学改革，随机抽取25名学生的成绩，算得平均分为77.7分，标准差为14.2分. 问：高数教改是否有效果（ α = 0.05 ）？
已知
~ t（24）
得拒绝域为
解 此为方差σ2的未知时对 右边
单侧检验，其假设为
H0：μ≤75 vs H1：μ>75.
选择统计量
在H0成立条件下
计算得t的观测值
由于
由a=0.05, 查t分布表得，
即统计量的观测值落入了接受域.
即认为该校高等数学的教改没有
显著效果．
检验法
条件
检验统计量
拒绝域
u 检验

已知
t 检验

未知
原假设
备择假设
关于单个正态总体的均值的检验
二.正态总体方差的检验
设X1,X2 , …,Xn 是来自N( , 2)的样本对方差亦可考虑如下三个检验问题：
通常假定 未知，它们采用的检验统计量是
对应三个检验问题的拒绝域依次分别为
{ }
{ }
和
W ={ 或 }.
例3.(某类钢板每块的重量X 服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0.016平方公斤。现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差s2=0.025平方公斤，问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求(取a= 0.05).
解：假设
vs
对于给定的显著水平 =0.05，则查表知
统计量
得拒绝域
计算统计量的值
拒绝原假设, 认为该天生产的钢板重量的方差不符合要求.
三.两个正态总体均值差的检验
设总体X~N (μ1, σ12)，Y~N (μ2, σ22)，两总体相
互独立，
假设
（Ⅰ）双侧检验 H0:μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
（Ⅱ）右边单侧检验 H0:μ1≤μ2 vs H1：μ1＞μ2
（Ⅲ）左边单侧检验 H0:μ1≥μ2 vs H1：μ1＜μ2
设（X1，X2，…,Xn1）和（Y1，Y2，…,Yn2）分别是
从总体 N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)中所抽取的样本，它们
相互独立, 其样本均值和方差分别记为 和
2. 当σ12 =σ22 =σ2时，
设（X1，X2，…,Xn1）和（Y1，Y2，…,Yn2）分别是
从总体 N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22)中所抽取的样本，它们
相互独立, 其样本均值和方差分别记为 和
P{| U |≥ }= α；
1 、σ12 ， σ22已知时（U 检验）
统计量
P{U≥uα}=α；P{U≤- uα}=α
得拒绝域分别为:
对于给定显著水平α，由
（Ⅰ）双侧检验 H0:μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
（Ⅱ）右边单侧检验 H0:μ1≤μ2 vs H1：μ1＞μ2
（Ⅲ）左边单侧检验 H0:μ1≥μ2 vs H1：μ1＜μ2
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
统计量
对于给定显著水平α，得拒绝域分别为:
（Ⅰ）双侧检验 H0:μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
（Ⅱ）右边单侧检验 H0:μ1≤μ2 vs H1：μ1＞μ2
（Ⅲ）左边单侧检验 H0:μ1≥μ2 vs H1：μ1＜μ2
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
2、 ， 均未知，但 = 时（t 检验）
例4. 为比较两种合金铸件的的耐磨性，从两种合金铸件中各抽取容量分别为8和9的样本，测得其硬度为
已知硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平a=0.05下判断镍合金的硬度是否有明显提高.
镍合金:76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34
铜合金:73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61
解：用X 表示镍合金的硬度，Y 表示铜合金的硬度，
则由假定，
假设
统计量
对于给定显著性水平a=0.05, 查表得
所以拒绝域为
计算统计量的值
从而
由于
故拒绝原假设，可判断镍合金
硬度有显著提高.
两个正态总体均值差的检验
检验法
条件
原假设
备择假设
检验统计量
拒绝域
u检验
已知
t 检验
未知
四. 两个正态总体方差比的F 检验
通常 , 均未知，记 分别为两样本的方差
设总体X~N (μ1, σ12)，Y~N (μ2, σ22)，两总体独立
假设检验
若
则统计量
三个检验问题对应的拒绝域依次为
例5. 设机器加工零件的直径服从正态分布, 现从甲
乙两车床加工的零件中分别抽取7件和8件产品，测得
其直径为
X (机床甲) 16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8
Y (机床乙) 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0
试检验二台机床加工零件的精度有无显著差异(a=0.05).
解：假设
若H0成立,则
对于给定的 =0.05，则查表知
解：假设
若H0成立,则
对于给定的 =0.05，则查表知
其拒绝域为
计算统计量的值
经计算
样本未落入拒绝域，即在0.05水平下可以认为二台机
床的加工精度一致.
甲：n1=18，
若两种氮肥的含氮量都服从正态分布，问两种氮肥的含氮量有无显著差异？（α=0.05）
解: 此题是两正态总体方差未知，亦不知是否齐性的情况下对两总体均值差的检验. 须先作方差齐性检验，再用 t 检验 .
（1）假设
由样本值得
查a=0.05,查F分布表得
由于
所以接受H0即认为方差是齐性的。
乙：n2=14，
例6.从甲乙两种氮肥中，各取若干样品测试其含氮量等数据分别为：
（2）假设 H0: μ1=μ2， H1:μ1≠μ2
所以接受H0，即认为两种氮肥的含氮量无显著差异.
又由题设条件得
取α=0.05，则
由于
作业：167页
1, 2, 6,9, 11

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