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7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、创设情境 引入新课
前面，我们学习了复数代数形式的乘、除运算与复数的三角表示，你能根据所学知识研究复数的乘、除运算及其几何意义吗？
思考
二、概念探究
探究一：如果把复数 写成三角形式
，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？
二、概念探究
两个复数相乘，其积仍是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和.即两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角.
探究一：如果把复数 写成三角形式
，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？
探究二：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？
思考：你能解释和的几何意义吗？
探究三：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复
数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？
探究四：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？
除法对于辐角主要是“相减”（被除薮的辐角 - 除数的辐角）依向量旋转同乘法，简述如下：
三、概念形成
1.复数三角形式的乘法的三角表示：
乘法法则：模相乘，辐角相加.
2.复数三角形式乘法的几何意义：
除法法则：模相除，辐角相减.
4.复数三角形式乘法的几何意义：
3.复数三角形式的除法的三角表示：
四、概念深化
1.思考辨析
(1)复数三角形式的乘除运算类似于复数代数形式的乘除
运算．(　　)
(2)两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积.( )
(3)若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需要将混合的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数式相乘或三角式相乘.( )
√
√
√
.
四、概念深化
2.定理的推广：设
,其中
，于是：
当 时，
五、应用举例
【例1】计算：
解：
【例2】如图，向量与复数-1+i对应，把按逆时针方向旋转120°得到.求与向量对应的复数.
解：依题意，
.
【例3】设复数对应的向量为，O为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，若把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数.
【例4】计算 .
解：
六、课堂练习
1.设
则复数
的辐角主值为（ ）
解析： ，
∵
，∴ ，
∴
，故本题应选B.
B
A. B. C. D.
C
2.复数经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于( )
A.3 B.12 C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z)
解析：由题意，得
解得故本题应选C.
3.求-3-4i的平方根.
3.求-3-4i的平方根.
解：
∴，由 得.
，故有(1)当时，得.
此时，符合题意.
(2)当时，得，此时，
不符题意，舍去.
综上可知，.
5.若分别表示复数并判断的形状.
七、归纳小结
本节课的知识网络：
八、布置作业
教材P89练习第1，2题；P90综合应用第5，6，8题；拓广探索第9题.

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