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1.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象4种常见考法归类
课程标准 学习目标
结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 通过本节课的学习，要求会画函数的图象，会结合图象解决与函数有关的性质问题，会求函数的解析式，掌握函数图象的变换规律.
知识点01“五点法”作图
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.

【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：
x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

【即学即练3】（2023上·江西赣州·高一统考期末）设函数.
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；
（2）若，求的值.
知识点02 对函数的图象的影响1．对函数的图象的影响
（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向右（当φ<0时）或向左（当φ>0时）平行移动个单位长度而得到的.
2．对函数的图象的影响
函数（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或缩短（当ω>1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.
3．对函数的图象的影响
函数（其中A>0）的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当04．函数到函数(其中)的图象变换
将函数的图象变换得到函数（其中）的图象的过程为:
（1）作出函数在长度为2π的某闭区间上的简图;
（2）将图象沿x轴向左或向右平移个单位长度，得到函数的简图；
（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的倍，得到函数的简图;
（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到函数的简图;
（5）沿x轴扩展得到函数，的简图.
由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：
（1）先平移后伸缩：
（2）先伸缩后平移：
注：(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系 .
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
(4)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝A sin x的图象变换称为振幅变换．
【即学即练4】（2024高一课堂练习）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【即学即练5】（2023上·云南红河·高二校考期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．-1 B． C． D．
【即学即练6】（2023上·四川遂宁·高一校考期末）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【即学即练7】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
知识点03函数（A>0,ω>0）的性质
函数（A>0,ω>0）的性质
奇偶性： 时，函数为奇函数； 时，函数为偶函数．
周期性： 存在周期性，其最小正周期为T=
单调性： 根据y=sint和t=的单调性来研究
由得单调增区间； 由得单调减区间
对称性： 对称轴 对称中心
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)． 函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
【即学即练8】【多选】（2024秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的单调递减区间为
C．的对称轴为
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
【即学即练9】（2024秋·天津和平·高一统考期末）已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线是函数的图象的一条对称轴
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
D．函数在上的最小值为
题型一：“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
例1.（2024·全国·高一期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 5 -5 0
（1）根据表中数据，求函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值；
（3）在（2）条件下，求在上的增区间.
变式1.（2024秋·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
(2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
变式2.（2024秋·广东广州·高一执信中学校考期末）设函数（），将该函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，函数的图像关于y轴对称.
(1)求的值；
(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数在一个周期内的图像；
(3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
【方法技巧与总结】
五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤
(1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值．
(2)描点．
(3)连线得函数在一个周期内的图象．
(4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．
题型二：三角函数的图象变换
例2.（2024秋·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考期末）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024春·广西南宁·高一南宁三中校考期末）把的图象向左平移个单位，再把所有的点的横坐标变为原来的2倍所得到的函数y＝g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)＝sinx B．g(x)＝cosx C． D．
变式2.（2024秋·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A． B．
C． D．
例3.（2024·全国·高一专题练习）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则________．
例4.【多选】（2024春·广西桂林·高一统考期末）要得到函数到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度
D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度
变式1.【多选】（2024秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
C．向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的
变式2.【多选】（2024秋·福建漳州·高一统考期末）记函数的图象为，函数的图象为，则（ ）
A．把上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到
B．把上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到
C．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到
D．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到
变式3.（2024春·辽宁大连·高一统考期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
变式4.（2024春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【方法技巧与总结】
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到的解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．
题型三：求函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式
例5.（2024秋·陕西榆林·高一校考期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．
变式1.（2024秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示：
(1)求函数的解析式，并写出它是由的图象经过怎样的变换而得到的函数图象所对应的函数；
(2)若存在使得关于的不等式成立，求实数的最小值.
变式2.（2024秋·河南开封·高一统考期末）函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
变式3.（2024上·湖北·高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式
(2)若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围．
变式4.【多选】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．的解析式为
C．是图象的一个对称中心
D．的单调递减区间是，
【方法技巧与总结】
根据三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
(1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.
(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为.
(3)φ：①把图象上的一个已知点的坐标代入来求．②寻找“五点作图法”中的某一点来求，具体如下：利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx ＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点时，令ωx ＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第五点”时，令ωx ＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．
题型四：函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用
例6.（2024·全国·高一专题练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位长度后得到的图象，则的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
变式2.【多选】（2024秋·广东深圳·高一统考期末）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再把它向右平移个单位，得到函数的图像，则下列是对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3.（2024春·山东淄博·高一统考期末）已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
变式4.（2024·全国·高一专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． 若在上单调递减，则的取值范围是_____．
变式5.【多选】（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于对称
C．在上的值域为 D．在上单调递减
【方法技巧与总结】
1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
2．求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x(或cos x)≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
一、单选题
1．（2024上·天津宁河·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
2．（2024·云南昭通·统考模拟预测）函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·全国·高三校联考阶段练习）已知是函数的一条对称轴，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖南长沙·统考一模）下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）

A． B．
C． D．
6．（2024上·江苏常州·高一统考期末）已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
7．（2023·全国·高三校联考专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）
A． B．是图象的一条对称轴，
C．是图象的一个对称中心 D．在上的最大值为
8．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．函数在区间上单调递减
10．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知是图象的两条相邻对称轴，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若在上有唯一的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．是图象的一个对称中心
D．在上的最大值为
12．（2024上·江苏南通·高一统考期末）设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2024·河南信阳·统考二模）已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的值为3 B．的值为2C．的值可以为D．的值可以为
14．（2023上·河南驻马店·高三统考期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象关于轴对称，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．为偶函数
D．在上单调递增
15．（2024·全国·模拟预测）函数与函数的图象关于点对称，，则（ ）
A．函数的图象可由函数向右平移个单位长度得到
B．函数的图象向右平移个单位长度为偶函数的图象
C．函数的图象关于直线对称
D．的所有实根之和为2
16．（2024上·山西运城·高一统考期末）已知（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．的最小正周期为
C．不等式的解集为
D．将的图象向右平移个单位长度变为偶函数，则的最小值是
17．（2024上·江西·高三校联考期末）已知函数（，，），若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）

A． B．
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
18．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 ．
19．（2024上·贵州毕节·高二校考期末）将函数图象上所有点的橫坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为 ．
20．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象向 平行移动 个单位．
21．（2024上·山西太原·高一统考期末）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为 .
22．（2024上·河北·高三校联考期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则 ．
23．（2024上·云南昆明·高一统考期末）函数在上单调递增，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，则 ．
24．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知方程，则当时，该方程所有实根的和为 ．
25．（2024上·福建泉州·高一统考期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 .
四、解答题
26．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知函数．

(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
1 0
(2)将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
27．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的对称中心和单调递减区间；
(2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
28．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，且．
(1)求函数的对称轴方程；
(2)不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样变化得到．
29．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________.
①点在函数的图象上；
②函数的一个零点为；
③的一个增区间为.
请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题：
(1)求的解析式；
(2)用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象.
30．（2024上·福建三明·高一统考期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
31．（2024上·福建厦门·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.1.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象4种常见考法归类
课程标准 学习目标
结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 通过本节课的学习，要求会画函数的图象，会结合图象解决与函数有关的性质问题，会求函数的解析式，掌握函数图象的变换规律.
知识点01“五点法”作图
(1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.

【答案】答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出的图象.
【详解】列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：
x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

【答案】填表见解析；作图见解析
【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）.
【详解】由题意列出以下表格：
0
x 0
0 2 0
函数图象如图所示：

【即学即练3】（2023上·江西赣州·高一统考期末）设函数.
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；
（2）若，求的值.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）先列表取出五点，再在直角坐标系中描点，然后连线即可完成；
（2）由题可得，再由诱导公式可求得，即可得解.
【详解】解：（1）列表如下：
0
2 0 -2 0 2
（2）解：由，得，
由，
得，
由，
得，
则.
【点睛】本题考查“五点法”画函数图像，考查已知三角函数值求三角函数值，解题的关键是正确进行角的拼凑，利用诱导公式求解.
知识点02 对函数的图象的影响
1．对函数的图象的影响
（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向右（当φ<0时）或向左（当φ>0时）平行移动个单位长度而得到的.
2．对函数的图象的影响
函数（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或缩短（当ω>1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.
3．对函数的图象的影响
函数（其中A>0）的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当04．函数到函数(其中)的图象变换
将函数的图象变换得到函数（其中）的图象的过程为:
（1）作出函数在长度为2π的某闭区间上的简图;
（2）将图象沿x轴向左或向右平移个单位长度，得到函数的简图；
（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的倍，得到函数的简图;
（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到函数的简图;
（5）沿x轴扩展得到函数，的简图.
由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：
（1）先平移后伸缩：
（2）先伸缩后平移：
注：(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系 .
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
(4)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝A sin x的图象变换称为振幅变换．
【即学即练4】（2024高一课堂练习）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为y＝sin(4x－)＝sin[4(x－)]，所以要得到y＝sin[4(x－)]的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．故选B．
【即学即练5】（2023上·云南红河·高二校考期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由逆推出的解析式，再代入即可得.
【详解】把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数，
即把的图象向左平移个单位长度，
再把图象上所有点的横坐标变为原来的两倍得到，
则，
则，
故选：C.
【即学即练6】（2023上·四川遂宁·高一校考期末）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.
【详解】,
所以要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位，
故选:D.
【即学即练7】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
【答案】
【解析】由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2．
又函数图象经过点(，0)，所以2×＋φ＝π，则φ＝，
故函数的解析式为f(x)＝sin(2x＋)，
所以f(0)＝sin＝．
【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式，关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现．
确定φ一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理，也可用五点作图法中的五点来解决，这样避免产生增解．
知识点03函数（A>0,ω>0）的性质
函数（A>0,ω>0）的性质
奇偶性： 时，函数为奇函数； 时，函数为偶函数．
周期性： 存在周期性，其最小正周期为T=
单调性： 根据y=sint和t=的单调性来研究
由得单调增区间； 由得单调减区间
对称性： 对称轴 对称中心
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)． 函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
【即学即练8】【多选】（2024秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的单调递减区间为
C．的对称轴为
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
【答案】ABD
【分析】由单调性和函数值分析周期，得出相邻的对称轴和对称中心，求得周期后得，然后由得值，最后利用余弦函数性质确定减区间，对称轴，并利用图象变换判断各选项．
【详解】由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确．
又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故.
，解得，，B正确；
，，，C错误；
的图象向左平移个单位得，D正确．
故选：ABD．
【即学即练9】（2024秋·天津和平·高一统考期末）已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线是函数的图象的一条对称轴
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
D．函数在上的最小值为
【答案】C
【分析】先求得的值，然后根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
由于，所以，
所以，
，所以A选项说法正确.
，所以函数在上单调递减，B选项说法正确.
函数的图象向右平移个单位长度得到，
所以C选项说法错误.
，所以当时，
取得最小值为，D选项说法正确.
故选：C
题型一：“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
例1.（2024·全国·高一期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 5 -5 0
（1）根据表中数据，求函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值；
（3）在（2）条件下，求在上的增区间.
【答案】（1）；（2）最小值为；（3），.
【分析】（1）直接利用五点法的应用求出相应的值．
（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式．
（3）利用整体思想，求出函数的单调区间．
【详解】（1）由表可知，①，②，
联立①②解得，，
0
0 5 0 -5 0
.
（2）∵向左平行移动个单位后可得：，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）可得：，
令，，∴，，
∴当时，此时最小值为；
（3）因为，
令，，
所以，，
又，∴或，
∴增区间为，.
变式1.（2024秋·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
(2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）用“五点法”填表并画出在上的图象即可；
（2）根据三角函数图象平移规律可得的图象，再求的对称中心可得答案．
【详解】（1）
x 0
0 0
（2）将的图象向下平移1个单位，得到的图象，
再横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，
再向左平移个单位后，得到的图象，由得，
所以的对称中心为．
变式2.（2024秋·广东广州·高一执信中学校考期末）设函数（），将该函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，函数的图像关于y轴对称.
(1)求的值；
(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数在一个周期内的图像；
(3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）先对 作恒等变换，再求出 解析式，根据条件求出 ；
（2）用整体代入法取5点作图；
（3）将原方程转化为一元二次方程求解.
【详解】（1）
，
，是偶函数，并且 ；
（2）由（1）的结论得 ，
取5点得下表：
0 0 0
作下图：
（3）由（1）得 ，原方程为： ，
， …①，
令 ， ，则t关于x的函数图像如下图：
由图可知：当 时，任意一个t对于2个x，当 时 ，任意一个t对应1个x，并且 ；
变为： ，即 ，
即不论m为何值， 总是原方程的一个解，∴欲使得原方程有2个解，必须是 ，
；
综上， ， .
【方法技巧与总结】
五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤
(1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值．
(2)描点．
(3)连线得函数在一个周期内的图象．
(4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．
题型二：三角函数的图象变换
例2.（2024秋·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考期末）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.
【详解】将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，
再将图象向左平移，得到的图象，
故选：A.
变式1.（2024春·广西南宁·高一南宁三中校考期末）把的图象向左平移个单位，再把所有的点的横坐标变为原来的2倍所得到的函数y＝g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)＝sinx B．g(x)＝cosx C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】解：把的图象向左平移个单位，
可得函数，
然后再把所有的点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝cosx，
故选：B.
变式2.（2024秋·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】函数的图象向左平移个单位后得到.
故选：B
例3.（2024·全国·高一专题练习）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象平移可得，应用换元法、诱导公式化简求解析式.
【详解】由题设，，
令，则，
所以，
即.
故选：D
变式1.（2024·全国·高一专题练习）函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则________．
【答案】
【解析】根据三角函数图象变换法则可得,由于图像重合,可得,进而求解即可
【详解】函数的图像向右平移个单位长度后所得图像的函数是,
则,故,
因为,所以当时,,
故答案为：
例4.【多选】（2024春·广西桂林·高一统考期末）要得到函数到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度
D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度
【答案】AD
【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D.
【详解】方式一：（先平移再伸缩）；将先向左平移单位长度得到，然后将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，故A对，
方式二：（先伸缩再平移）；将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，再将向左平移单位长度得到，故D对，
故选：AD
变式1.【多选】（2024秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
C．向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的
【答案】AC
【分析】首先根据题意，先分清楚，平移前和平移后的函数，然后根据选项描述的顺序，进行平移和伸缩变换验证即可得到答案.
【详解】由题意可知，平移伸缩变换前函数是，平移伸缩变换后的函数是，
选项A和选项B，“横坐标伸长到原来的2倍”变为，要想得到 的图像，只需将的图像向左平移即可得到，故选项A正确，如果向左平移个单位，则变成，不满足，故选项B错误；
选项C，“向左平移个单位”变为，“把横坐标伸长到原来的2倍”，变为 ，故选项C正确；
选项D，“向左平移个单位”变为，“把横坐标伸长到原来的2倍”，变为 ，故选项D错误；
故选：AC.
变式2.【多选】（2024秋·福建漳州·高一统考期末）记函数的图象为，函数的图象为，则（ ）
A．把上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到
B．把上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到
C．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到
D．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到
【答案】BC
【分析】根据三角函数图象变换的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，把上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得到，不符合题意，A选项错误.
B选项，把上所有点的横坐标缩短到原来的得到，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到，符合题意，B选项正确.
C选项，把向左平移个单位长度得到，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，符合题意，C选项正确.
D选项，把向左平移个单位长度得到，再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到，不符合题意，D选项错误.
故选：BC
变式3.（2024春·辽宁大连·高一统考期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
由题意可得，可得，当时，，
故选：D.
变式4.（2024春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.
【详解】
将函数向左平移个单位得：
故选：B
【方法技巧与总结】
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到的解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．
题型三：求函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式
例5.（2024秋·陕西榆林·高一校考期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．
【答案】
【分析】根据图象求得，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，即可解决.
【详解】由题知，函数（，）的部分图象如图所示，
所以，即
所以，
所以，
因为图象经过点，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
得，
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得，
所以所得函数图象的解析式为，
故答案为：
变式1.（2024秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示：
(1)求函数的解析式，并写出它是由的图象经过怎样的变换而得到的函数图象所对应的函数；
(2)若存在使得关于的不等式成立，求实数的最小值.
【答案】(1),向左平移个单位长度；
(2).
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再由函数图象的平移求解即可；
（2）假设存在，使得不等式成立，分离参数可转化为存在使成立，求出的最小值即可得解.
【详解】（1）由所给函数图象可知，，，即,
所以，又图象过点，所以，
解得，
因为，所以当时，，
故.
由的图象向左平移个单位长度可得函数，即的图象.
（2）存在，使得关于x的不等式成立，
即存在，使得关于x的不等式成立，
即存在，使得成立.
当时，，令时，为减函数，
所以当时， 取得最小值为，即的最小值为，
故实数，所以的最小值为.
变式2.（2024秋·河南开封·高一统考期末）函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】B
【分析】先利用图像求出函数的解析式，在对四个选项，利用图像变换一一验证即可.
【详解】由图像可知：，所以,所以，解得：.
所以.
又图像经过，所以，解得：，
所以
对于A：把图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到.故A错误；
对于B：把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.故B正确；
对于C：把图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.故C错误；
对于D：把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到.故D错误；
故选：B
变式3.（2024上·湖北·高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式
(2)若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图象结合余弦函数的性质得出解析式即可；
（2）由余弦函数的性质得出函数的值域，进而结合图象解题即可.
【详解】（1）由图可知，
由，得，得，
因为，所以，
得，又，所以，故
（2）由题意可知，与直线有两个交点，
因为，所以，
则，，作出简图为
若函数在上有两个零点，由图可知，
故m的取值范围为
变式4.【多选】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．的解析式为
C．是图象的一个对称中心
D．的单调递减区间是，
【答案】ABD
【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.
【详解】依题意，由图象可知，，则，故A正确；
因为，所以，则，所以，
因为的图象过点，所以，
则，即，
又，则，所以，
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，
纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，
向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确；
因为，故C错误；
令，解得，
所以的单调递减区间是，，故D正确.
故选：ABD.
【方法技巧与总结】
根据三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
(1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.
(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为.
(3)φ：①把图象上的一个已知点的坐标代入来求．②寻找“五点作图法”中的某一点来求，具体如下：利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx ＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点时，令ωx ＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第五点”时，令ωx ＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．
题型四：函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用
例6.（2024·全国·高一专题练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正切函数的性质列式求解作答.
【详解】函数的图象向右平移个单位得，
依题意，，，解得，而，有，，
所以的最小值为2．
故选：C
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位长度后得到的图象，则的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的周期求出，从而得到，进而可求得，再由三角函数的对称性求解即可
【详解】的最小正周期为，
所以，即，
故，
由，解得，
从而的对称中心为，
故选：C．
变式2.【多选】（2024秋·广东深圳·高一统考期末）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再把它向右平移个单位，得到函数的图像，则下列是对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由图像变换求解函数解析式，整体代入法求对称轴方程.
【详解】函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，
再把它向右平移个单位，得到函数的图像，
令，解得对称轴方程为，
当时，对称轴为；当时，对称轴为；当时，对称轴为.
故选：ABD
变式3.（2024春·山东淄博·高一统考期末）已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据是奇函数可求得，利用诱导公式得，即可得出结果.
【详解】因为是奇函数，所以，即，
因为，所以，所以，
因为，
所以可把函数的图象向右平移个单位长度.
故选：D.
变式4.（2024·全国·高一专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． 若在上单调递减，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，再由求出，再根据在上单调递减，列出不等式，从而可求出的取值范围.
【详解】因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
所以，
当，则，
因为在上单调递减，
所以，解得，
即的取值范围是，
故答案为：.
变式5.【多选】（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于对称
C．在上的值域为 D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】通过函数图象的伸缩平移变换可得的值，以及与解析式，再根据三角函数图象性质判断各个选项.
【详解】函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,
得，
又为偶函数，故轴为的对称轴，
即，解得，
，，
，
的对称中心：令，即对称中心为，
当时，对称中心为，故A选项正确；
对称轴：令，当时，对称轴为，故B选项正确；
，，故C选项错误；
的单调递减区间：令，即，
又，故函数在上单调递减，D选项正确；
故选：ABD.
【方法技巧与总结】
1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
2．求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x(或cos x)≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
一、单选题
1．（2024上·天津宁河·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【答案】B
【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.
【详解】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象.
故选：B
2．（2024·云南昭通·统考模拟预测）函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出平移后的函数，根据新函数是偶函数即可得出的值.
【详解】由题意，
在中，向左平移得到，
所以，
因为为偶函数，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
3．（2022上·全国·高三校联考阶段练习）已知是函数的一条对称轴，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据对称轴过最值点可知，利用可求得，由此可得，代入即可.
【详解】由是函数的一条对称轴，
知，
∵，
，
，
，
，
又，
，
，
.
故选：B.
4．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
5．（2024·湖南长沙·统考一模）下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用图象易得值和周期，从而可求，代入最值点坐标确定，即得.
【详解】由图可得：，即，即，
观察各选项可知，本题考虑即可，则，
把点代入中，可得：，
故，即，
所以.
故选：C.
6．（2024上·江苏常州·高一统考期末）已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
【答案】D
【分析】利用函数的图象平移变化规律，即可求出结果.
【详解】因为，所以为了得到的图象，只需将的图象向左平移个长度单位，故C错误，D正确.
若把的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式为,
若把的图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为,
AB错误.
故选：D.
7．（2023·全国·高三校联考专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）
A． B．是图象的一条对称轴，
C．是图象的一个对称中心 D．在上的最大值为
【答案】C
【分析】先由三角函数图象变换规律求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得，
对于选项A：，所以A不正确，
对于选项BC：因为，
所以是图象的一个对称中心，所以B不正确，C正确；
对于选项D：由，得，
所以当时，取得最大值，所以D不正确；
故选：C.
8．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点在图象上求出的值，根据五点作图法求出的值，进而得到函数解析式，从而算出.
【详解】由图可知，点在图象上，所以，则，
又知点在的增区间上，所以；
由五点作图法可知，，解得，
所以，
则，
故选：D．
9．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．函数在区间上单调递减
【答案】D
【分析】根据题意，求得，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换在，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数（，，）的部分图象，
可得，可得，则，
又由，可得，
所以，因为，所以，所以A正确；
由，可得，
又由，所以B正确；
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
此时函数，所以为奇函数，所以C正确；
由，可得，
当时，即，函数单调递增；
当时，即，函数单调递减，
所以函数不是单调递减函数，所以D错误.
故选：D.
10．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知是图象的两条相邻对称轴，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若在上有唯一的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先求出，令，解得，再利用条件即可求出结果.
【详解】由题意可知，的最小正周期为所以，
则， 所以，则，
由平移可知，，
令，解得，
令，得到；令，得到；
又在上有唯一的零点，则，解得，
故选：A.
11．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．是图象的一个对称中心
D．在上的最大值为
【答案】C
【分析】先由三角函数图象变换规律求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】A：将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得，
即，得，故A不正确；
B：由，得，
所以在上单调递减，故B不正确；
C：因为，所以是图象的一个对称中心，故C正确；
D：由，得，
所以当时，取得最大值，所以D不正确.
故选：C
12．（2024上·江苏南通·高一统考期末）设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得.
【详解】由，且，故，
即有，解得，
又，，故，即，
综上，.
故选：B.
二、多选题
13．（2024·河南信阳·统考二模）已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的值为3 B．的值为2C．的值可以为D．的值可以为
【答案】AD
【分析】根据函数图像直接确定A，设结合，确定，利用点的坐标确定的表达式，然后代入求值即得答案.
【详解】由函数的图象可知,
设，由可得，
令，即，
结合图像可得，
则，即，故A正确，B错误；
将代入，即有，且为函数下降零点，
所以，故，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，故C错误，D正确；
故选：AD.
14．（2023上·河南驻马店·高三统考期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象关于轴对称，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．为偶函数
D．在上单调递增
【答案】BCD
【分析】先由图象变换求出，再结合三角函数的性质与图像变换逐一判断.
【详解】由题得，，
由，故A错误；
当时，，，故B正确；
为偶函数，故C正确；
当时，，正弦函数在上为增函数，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：BCD
15．（2024·全国·模拟预测）函数与函数的图象关于点对称，，则（ ）
A．函数的图象可由函数向右平移个单位长度得到
B．函数的图象向右平移个单位长度为偶函数的图象
C．函数的图象关于直线对称
D．的所有实根之和为2
【答案】BCD
【分析】利用图象变换可得AB的正误，利用三角函数对称轴的求解方法可得C的正误，利用对称性可得D的正误.
【详解】由题意知，
又函数向右平移个单位长度得到，所以A错误；
函数的图象向右平移个单位长度得到，
由于是偶函数，所以B正确；
，
令，解得，
当时，，所以C正确；
当时，可得的图象关于对称，曲线也关于对称，
与曲线的简图如下，
,,当时，的图象与曲线有三个交点，
所以方程的所有实根之和为，所以D正确．
故选：BCD．
16．（2024上·山西运城·高一统考期末）已知（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．的最小正周期为
C．不等式的解集为
D．将的图象向右平移个单位长度变为偶函数，则的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于A，由图象得周期以及对称轴，由此即可验算；对于B，由即可举出反例；对于C，直接根据函数单调性列出不等式组即可验算；对于D，由平移变换法则结合三角函数奇偶性即可得解.
【详解】对于A，由图可知函数周期，解得，
当时，函数取最大值，
所以，解得，
又，所以，，故A正确；
对于B，由题意，
所以，故B错误；
对于C，由题意，即，
所以，解得，故C正确；
对于D，将的图象向右平移个单位长度后，
对应函数图象的解析式为，
若为偶函数，
所以，解得，
又，所以当时，，故D正确.
故选：ACD.
17．（2024上·江西·高三校联考期末）已知函数（，，），若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）

A． B．
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】由图象得，然后对选项逐一判断.
【详解】由题意得，，，所以，.
由，得，由图知在上单调递增，
所以，，所以，.
又，只可能，所以，
所以，，故A错误，B正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；
令（），解得（），
令，得，又包含但不是其子集，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
18．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据三角函数平移变换规定得到，知其为偶函数，故图象应经过，结合正弦函数的图象与性质即可求得的范围即得.
【详解】由函数的图象向右平移m个单位得到函数：的图象，
因的图象关于y轴对称，故有，则有，解得：，
因，故当且仅当时，m的最小值为.
故答案为：.
19．（2024上·贵州毕节·高二校考期末）将函数图象上所有点的橫坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再结合函数的奇偶性列式计算即得.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
由，得函数为偶函数，
则，解得，又，所以的最小值为.
故答案为：
20．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象向 平行移动 个单位．
【答案】 左
【分析】设向左平移个单位，得到解析式，对照后求出答案.
【详解】设函数的图象向左平移个单位，得到，
令，解得，
故函数的图象向左平移个单位，得到的图象，
故答案为：左，．
21．（2024上·山西太原·高一统考期末）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得.
【详解】令，则，
当时，，
由题意可得，
解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
22．（2024上·河北·高三校联考期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则 ．
【答案】3
【分析】根据余弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解.
【详解】由题意知图象关于原点对称，因此，解出，
由于在上单调递减，，
因此，解出，
由于，所以取，解得，又由于，且，则．
故答案为：3
23．（2024上·云南昆明·高一统考期末）函数在上单调递增，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，则 ．
【答案】/0.5
【分析】设出最小正周期为，根据题意得到，求出，分两种情况，讨论后得到，，由对称性可得，代入求值，得到答案.
【详解】设的最小正周期为，则，故，
又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，故为函数的一个周期，
故最小正周期，即，解得，
若，则，
时，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，不合要求，
若，则，
时，，
此时满足在上单调递增，满足要求，
，，
，由对称性可得，
即，
故
故答案为：.
24．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知方程，则当时，该方程所有实根的和为 ．
【答案】
【分析】作出，的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和.
【详解】方程，即，
令，，
的图象可由的图象向右平移1个单位得到，故关于点对称，
同时也是的一个对称中心；
作图可得，的图象，观察它们在时的图象，
可知二者的图象都关于点成中心对称且，图象在上共有8个交点，
这8个交点两两成对关于点对称，
每一对关于对称的交点的横坐标的和为，
故所有8个交点的横坐标的和为，
即方程所有实根的和为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程的根的问题，转化为，的图象的交点问题；
（2）数形结合：作出函数，的图象，判断其对称性，从而求解问题.
25．（2024上·福建泉州·高一统考期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.
【详解】由题意得，
当时，有，此时，
令，则，
因为时，所以，
因为对于的任意取值，在上有唯一解，
即在上有唯一解，如图所示：
由图可知，，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解.
四、解答题
26．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知函数．

(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
1 0
(2)将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
【答案】(1)表格及图象见解析
(2)，
【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；
（2）先通过图象变换得到，然后令可得对称中心．
【详解】（1），列表如下：
0
x 0
1 0 0
图象如图：

（2）的图象横坐标扩大为原来的2倍得，
再向左平移个单位后，得，
令，，得，，
所以函数的对称中心为，．
27．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的对称中心和单调递减区间；
(2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)对称中心为，单调递减区间为
(2)最大值3；最小值
【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得，再代入正弦函数的对称中心与单调递减区间求解即可；
（2）根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可.
【详解】（1）
，
令，则，
所以的对称中心为，
令，则，
所以的单调递减区间为．
（2），
当时，，
所以当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值．
28．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，且．
(1)求函数的对称轴方程；
(2)不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样变化得到．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得函数的解析式，结合正弦型函数的性质计算即可得；
（2）结合三角函数的平移变换即可得.
【详解】（1）由，得，则，
解得，又，故，
故，
令，解得，
故函数的对称轴方程为；
（2）先将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），
得到的图象，
再将的图象上所有的点向右平移个单位长度，
得到的图象，
最后将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象．
29．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________.
①点在函数的图象上；
②函数的一个零点为；
③的一个增区间为.
请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题：
(1)求的解析式；
(2)用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象.
【答案】(1)无论选哪个条件，函数的解析式均为.
(2)答案见解析
【分析】（1）若选①，则，若选②，则，若选③，则，由此求出分别求出即可得解.
（2）直接用“等距法”按照五点画图的步骤作图即可.
【详解】（1）由题意最小正周期为，解得，所以，
若选①，则，所以，
又，所以，
所以函数的解析式为；
若选②，则，所以，
又，所以，
所以函数的解析式为；
若选③，即的一个增区间为，
当时，，
又，
由复合函数单调性可知，只能，
，所以函数的解析式为；
综上所述，无论选哪个条件，函数的解析式均为.
（2）列表如下：
0
0 1 0 0
描点、连线（光滑曲线）画出函数一个周期内的图象如图所示：
30．（2024上·福建三明·高一统考期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据表格中的数据，不难看出值和周期特征，易得值，代入一组对应值与，易求出，再整体处理，计算得到递增区间；
（2）先根据三角伸缩平移变换并化简得到，将方程有根问题转化为两函数图象在给定区间上的交点个数问题解决.
【详解】（1）由表中数据可得，，
因为，所以，则，
当时，，则，
所以．
由，得，
所以的单调递增区间为．
（2）
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再将图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则
如图，当时，方程恰有两个实数根，等价于函数，的图象与直线有两个交点，
故可得：．
31．（2024上·福建厦门·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最小值；最大值1
【分析】（1）根据题意结合五点法求函数解析式；
（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】（1）由图可知：，且，
因为，所以.
又因为，即，
则，即.
且，可知，所以.
（2）由的图象向右平移个单位长度后得，
因为，令，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1.

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