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浙江省2024年中考数学模拟卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·一模）在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）据绍兴市文化广电旅游局提供的数据表明，“五一”假期全市共接待游客人次，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考二模）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图1水平放置，其主视图是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·浙江·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江·一模）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023·浙江宁波·校联考三模）我国古代有道算题如下：马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？若设每匹马价x两，每头牛价y两，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，已知直线：与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，直线：与直线相交于点，与轴相交于点．已知，，当点从点运动到点的过程中，四边形的形状变化依次为（ ）

A．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2023·浙江衢州·校考一模）分解因式：
12．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）计算： ．
13．（2023·浙江·模拟预测）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作，把作为点的横、纵坐标．则点在函数的图象上的概率为 ．

14．（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考二模）如图，是的切线，交于点，，连接，，若，则的度数为 ．
15．（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，，E为CD上一点，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则 ， ．

16．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，矩形的两边与分别落在x轴负半轴与y轴正半轴上．反比例函数与分别交于，两点．点为上一点，P到直线的距离不大于3，则点P的横坐标m的取值范围是 ．

三、解答题（第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2023·浙江宁波·校联考三模）（1）计算
（2）化简
18．（2023·浙江·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）．

(1)在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上．
(2)在图2中的线段上找出一点，使．
19．（2023·浙江杭州·模拟预测）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 频数
3
9
12
8
b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图

c．成绩在这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)小珂居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为______人；
(4)若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
20．（2023·浙江绍兴·校考一模）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
21．（2023·浙江杭州·校考二模）已知：如图，在平行四边形中， 的平分线交于点E，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
22．（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上．
(1)当时，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，求的取值范围；
(3)若时，函数的最小值为，求的值．
23．（2023·浙江衢州·统考二模）（1）【阅读理解】
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】
请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】
据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
型号 型 型
报价（万元／台） 20 14
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
24．（2023·浙江丽水·统考二模）如图，内接于，且，．是劣弧上一点，分别交于点，点，交于点．
(1)当经过圆心时，
①求证：平分；
②求的值；

(2)①连接，求证：；
②连接，求证：；
③连接，若，求的长．
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浙江省2024年中考数学模拟卷 01
解析卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·一模）在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数大小比较，根据负数小于和正数，得到最小的数在和中，然后比较它们的绝对值即可得到答案，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则．
【详解】解：∵和是负数，
∴它们都小于，，
又∵，，，
∴，
∴最小，
故选：．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整式的减法运算、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，则A选项错误，故A选项不符合题意；
B、，则B选项正确，故B选项符合题意；
C、，则C选项错误，故C选项不符合题意；
D、，则D选项错误，故D选项不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了整式的减法运算、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）据绍兴市文化广电旅游局提供的数据表明，“五一”假期全市共接待游客人次，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
4．（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考二模）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图1水平放置，其主视图是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图的知识找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：该几何体的主视图为：

故选：C．
5．（2023·浙江·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2023·浙江·一模）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可，解题的关键是要掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵，，，，
∴，
∴成绩最稳定的是甲，
故选：．
7．（2023·浙江宁波·校联考三模）我国古代有道算题如下：马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？若设每匹马价x两，每头牛价y两，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两列出方程组即可．
【详解】解：设每匹马价x两，每头牛价y两，根据题意可列方程组为：
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
8．（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，分别计算出线段，，，的长度，对每个选项进行判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，，．
，
四边形为平行四边形，
，．
，
，
，
，
A，C，D选项正确，不符合题意；
，，
，
，
B选项不一定正确，符合题意．
故选：B．
9．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得 m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④．
【详解】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．

设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，已知直线：与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，直线：与直线相交于点，与轴相交于点．已知，，当点从点运动到点的过程中，四边形的形状变化依次为（ ）

A．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形
【答案】B
【分析】根据题意可得，，由直线，则，证明，可得，，证明四边形为平行四边形，当四边形为矩形，得到，当四边形为菱形时，得到，可得结论．
【详解】解：∵直线：与轴，轴分别相交于点，，与直线相交于点，
当时，，
当时，，得：，
当时，，得：，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵直线：与直线相交于点，与轴相交于点，
当时，，
∴直线：过点，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
当时，即，此时四边形为矩形，
∵，
∴，
当时，此时四边形为菱形，
在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
此时，，，
即当时，，则四边形为菱形不是正方形，
∵，
∴四边形的形状变化依次为：平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形．
故选：B．
【点睛】本题是特殊平行四边形综合题，考查一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．掌握特殊平行四边形的判定是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2023·浙江衢州·校考一模）分解因式：
【答案】
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用十字相乘法继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）计算： ．
【答案】y
【分析】通过提公因式法，约分化简即可．
【详解】解：原式
故答案为：y．
【点睛】本题主要考查的是分式化简，掌握提公因式法是解题的关键．
13．（2023·浙江·模拟预测）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作，把作为点的横、纵坐标．则点在函数的图象上的概率为 ．

【答案】
【分析】先求出，再画出树状图，从而可得连续自由转动转盘两次，指针指向的数字的所有等可能的结果，然后找出满足的结果，利用概率公式求解即可得．
【详解】解：∵在函数的图象上，
，
由题意，画出树状图如下：

由图可知，连续自由转动转盘两次，指针指向的数字的所有等可能的结果共有16种，其中，使得点在函数的图象上的结果有2种，
则点在函数的图象上的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
14．（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考二模）如图，是的切线，交于点，，连接，，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用；连接，根据切线的性质可得，根据已知条件可得，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，可得，进而即可求解．
【详解】解：连接，
∵，是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，，E为CD上一点，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则 ， ．

【答案】 5
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过点作于点，连接、，如图，在中利用正切的定义得到，则设，，根据垂径定理得到，利用圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，则，于是可计算出，在中利用勾股定理得到，解方程求出，则，，，所以，，然后在中利用正切的定义得到的值．
【详解】解：过点作于点，连接、，如图，

四边形为矩形，
，
在中，，
设，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，，
为弧的中点，
，，
，
，
在中，，
，
在中，，，，
，
解得，
，，，
，，
在中，．
故答案为：5，．
16．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，矩形的两边与分别落在x轴负半轴与y轴正半轴上．反比例函数与分别交于，两点．点为上一点，P到直线的距离不大于3，则点P的横坐标m的取值范围是 ．

【答案】
【分析】先求出反比例函数解析式，再根据图象确点P的横坐标m的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数与分别交于，两点，
∴，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为，
∴反比例函数解析式为
当时，，此时，P到直线的距离等于3，
当点P和点重合时，P到直线的距离等于3，
所以，点P的横坐标m的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是求出反比例函数解析式及点坐标．
三、解答题（第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2023·浙江宁波·校联考三模）（1）计算
（2）化简
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，二次根式性质，零指数幂运算法则，进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式性质，零指数幂运算法则．
18．（2023·浙江·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）．

(1)在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上．
(2)在图2中的线段上找出一点，使．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）取格点C，连接和即可；
（2）取格点E，F，连接交于点D，点D即为所求．
【详解】（1）解：如下图，取格点C，连接和，

由题意可知：，
为；
（2）如下图，取格点E，F，连接交于点D，

由题意可知：，
，
，
点D即为所求．
【点睛】本题考查了考查了作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
19．（2023·浙江杭州·模拟预测）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
成绩分组 频数
3
9
12
8
b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图

c．成绩在这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)小珂居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为______人；
(4)若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
【答案】(1)18
(2)频数分布直方图见解析
(3)800
(4)可以领到
【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；
（3）根据题目中的数据，可以计算出小珂所在的社区良好的人数；
（4）根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【详解】（1）解：由题意可得：，
故答案为：18．
（2）解：由（1）值m的值为18，
由频数分布表可知这一组的频数为12，
补全的频数分布直方图如图所示：

（3）解：估计小珂所在的社区良好的人数约为（人），
故答案为：800；
（4）解：由题意可得，87分是第12名，
故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确频率等于频数除以总数．
20．（2023·浙江绍兴·校考一模）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)；
(2)减少了，
【分析】（1）作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于点O．

根据题意有：，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴（），
∴（）；
（2）作于F，于P，于G，于H．
则四边形是矩形，

∵根据（1）求出，，
∴，
∵，
∴，
∴（），（），
∴（），
∴下降高度：（）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（2023·浙江杭州·校考二模）已知：如图，在平行四边形中， 的平分线交于点E，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，然后证明，得，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点F作于点M，由菱形的性质得出，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形AEGB是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
过点F作于点M，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
22．（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上．
(1)当时，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，求的取值范围；
(3)若时，函数的最小值为，求的值．
【答案】(1)；
(2)的取值范围为
(3)或2
【分析】本题考查了二次函数的性质，求函数值；
（1）把点，代入，用表示、，由建立方程解；
（2）分别将，，代入，求函数值，即可；
（3）二次函数 的对称轴为，①当即时，的函数值最小，②当即时，的函数值最小，③当即时，的函数值最小，分三类讨论．
【详解】（1）解：把点，代入 得，，
，
，
；
（2），
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围为；
（3）二次函数 的对称轴为，
①当即时，的函数值最小，，
，
当时，；当时，，
；
②当即时，的函数值最小，，（舍或，
，
当时，；当时，，
；
③当即时，的函数值最小，，，不满足，所以此种情况不存在；
综上，或2．
23．（2023·浙江衢州·统考二模）（1）【阅读理解】
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】
请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】
据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
型号 型 型
报价（万元／台） 20 14
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
【答案】（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量
（2）1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨
（3）当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元
【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，由题意得到关于、的二元一次方程组并解方程组即可；
（3）设采购型机器人台，由题意可以用表示型机器人的台数，并求得的取值范围．然后用表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解．
【详解】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨；
故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，
则：，解之可得：，
经检验，是原方程组的解，且符合题意，
答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；
（3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台），
则：，
解之可得：（为整数），
由题意可知，采购费用为：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，采购费用最低，为（万元），
此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台，
答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的增减性是解题关键．
24．（2023·浙江丽水·统考二模）如图，内接于，且，．是劣弧上一点，分别交于点，点，交于点．
(1)当经过圆心时，
①求证：平分；
②求的值；

(2)①连接，求证：；
②连接，求证：；
③连接，若，求的长．

【答案】(1)①见解析；②
(2)①见解析；②见解析；③
【分析】（1）①连接，证即可得解；②经过圆心，交于，先由等腰三角形得三线合一得，，进而求得，．再证，即可得解；
（2）①证即可得证，②连接，根据等腰三角形得性质及线段垂直平分线的判定及性质即可得证；③根据线段垂直平分线的性质及解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：①连接，

∵，，
∴，
∴，
∴平分．
②经过圆心，交于，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，．
连接，易证垂直平分，，．
∵，，
∴，
∴；
（2）（2）①∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②连接，则，

∵，
∴，FG=CG，
∴
又∵
∴
∵， ，
∴，
∴垂直平分
∴平分
∴
∵，，
∴垂直平分
∵平分，
∴
∴
∴
③∵，，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
连接，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键．

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