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第三章
随机变量的数字特征
§3.1 数学期望
什么是随机变量的数字特征？
所谓随机变量的数字特征
指的是
由随机变量的
分布所决定的常数.
这个常数刻画了
随机变量
某一
方面的特征.
最重要的数字特征：数学期望、方差、各阶矩.
[引例]
某车间对工人的生产情况进行考察，
小张每天
生产的废品数 是一个随机变量.
如何来定义
的平
对小张的生产情况统计
天，
发现这
天中
天没出现废品；
天每天出一件废品；
天每天出二件废品；
天每天出三件废品.
1.离散随机变量的数学期望
均值呢？
分析:
得到这
天中每天生产的平均废品数为
这是以频率为权的加权平均.
这个值是不确定的.
但是，
当
很大时，
频率稳定于概率.
令
表示每天生产 件
废品的概率.
用概率代替频率得到平均值
这是以概率为权的加权平均，
数学期望．
称这个数为
的均值或
其概率函数为
［定义］
设随机变量
是离散随机变量，
的数学期望，
记为
其可能值
为
若级数
绝对收敛，
即
注：如果级数不绝对收敛，
则　的数学期望不存在．
则称
为随机变量
为：
解：
的概率分布表
即
[例1]
分布，
服从
设随机变量
求 的数学期望
每次从中任取一球，
直至取到白球为止．
（2）每次取出的黑球仍放回去.
求取球次数的数学期望.
解：
依题意 的概率分布为：
表示取球次数，
（1）设
[例2]
个白球，
袋中有
个黑球，
（1）每次取出的黑球不再放回去；
假定：
所以，
（2）
设 表示此时的取球次数，
依题意可知 的概率
函数为：
所以 ，
利用幂级数展开式
可得
设随机变量
服从二项分布
设
得
二项分布的数学期望等于参数
与
的乘积.
[例3]
解：
设随机变量
服从泊松分布
设
得
泊松分布的数学期望就是参数
[例4]
解：
则 的数学期望定义为：
[定义2]
注：如果反常积分不绝对收敛，
不存在.
则
的概率密度为
设连续随机变量
２.连续随机变量的数学期望
求数学期望
[例5]
已知连续随机变量 的概率密度
解：
常数R>0，
设随机变量
在区间
上服从均匀分布，
均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值.
[例6]
解：
X的密度函数为
设随机变量 服从指数分布
置换积分变量
得
指数分布的数学期望等于其参数
的倒数.
[例7]
解：
求数学期望
[例8]
服从柯西分布：
设随机变量
解：
因为反常积分
不绝对收敛,
不存在.
所以
可列表如下：
（1） 设离散随机变量 的概率分布为
则随机变量
的可能值与取得这些值的概率
则
3.一维随机变量函数的数学期望
说明：
例如：
则由加法定理有
此时
(2) 若 的可能值为一个可数无穷集合时,公式的右
边为级数.
设
表，
但有了这个表格就可以计算 的数学期望.
假定这个级数是绝对收敛的.
(1) 一般来说,上表不一定是
的概率分布
[例9] 设随机变量 的概率分布为
求随机变量函数
的数学期望.
解：
直接按公式计算
另解：
于是数学期望
的概率分布
先求随机变量
（2）设连续随机变量 的概率密度为
则随机变
注：假定这个反常积分是绝对收敛的.
量的函数 的数学期望定义为
求随机变量函数
的数学期望.
解：
随机变量
的概率密度为
[例10]
在区间
上服从均匀分布，
设随机变量
所以
说明：
也可以先求出
的概率密度
再计算数学期望
但这样麻烦，
从例9、例10 知：
计算随机变量函数的
数学期望不必求随机变量函数的分布.
二维离散随机变量
的联合概率函数为
设
则定义
因为
所以，也可以写成
4. 二维随机变量的数学期望
注：假定这些级数绝对收敛．　
二维连续随机变量
则定义
的联合概率密度为
设
因为
所以，也可以写成
注：假定这些反常积分绝对收敛．　
（1）
设二维离散随机变量
的联合概率函数为
则随机变量函数
的数学期望为
则随机变量函数
的数学期望为
（2） 设二维连续随机变量
的联合概率密度为
注：假定上面的级数与反常积分都是绝对收敛的.
5.二维随机变量函数的数学期望
[例11]
设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别是
求随机变量函数Z=X+Y的数学期望．
解：
因为随机变量X与Y相互独立，
（X，Y）的联合概率密度
所以二维随机变量
按公式得
[定理1]
常量的数学期望等于这个常量：
其中
是常量.
证：
常量
可以看作这样一个随机变量，
取得一个值
显然，
它取得这个值的概率等于 .
所以
它只可能
6. 数学期望的性质
证：
对于离散随机变量
，
我们有
对于连续随机变量
我们有
常量与随机变量的乘积的数学期望等于这个
常量与随机变量的数学期望的乘积：
[定理2]
两个随机变量的和的数学期望等于它们的　
数学期望的和：
证：
对于离散随机变量，
[定理3]
对于连续随机变量，
有限个随机变量的和的数学期望等于它们的
数学期望的和:
[定理4]
注意：
由定理2,定理3可得
（1）
其中
为实数.
（2）
利用数学归纳法可将定理3推广到有限多个
随机变量的情形:
[例12]
设有一批产品共N件，其中有M件次品和N–M
件合格品．
X的数学期望．
解：
Xi 0 1
设Xi表示第i次取出的样品中的次品数，则
Xi ~“0-1”分布：
于是
．
不放回地依次抽取n件样品，求样品次品数
两个独立随机变量的乘积的数学期望等于
它们数学期望的乘积：
证：
因为 与 独立，
所以对于离散随机变量，
对于连续随机变量类似可证.
[定理5]
利用数学归纳法可以把这个定理推广到有限多个
独立随机变量的情形：
有限个独立随机变量的乘积的数学期望等于
它们的数学期望的乘积：
[定理6]
1.数学期望是反映随机变量取平均值的数字特征；
2.数学期望的计算公式
则
则
小 结
为一维离散随机变量，
若
为一维连续随机变量，
若
若
为二维离散随机变量，
则
或
或
或
或
若
为二维连续随机变量，
则
若
为一维离散随机变量，
且
则
若
为一维连续随机变量，
且
则
若
为二维离散随机变量，
且
则
且
则
若
为二维连续随机变量，
3.数学期望的性质
独立，则
若
推广：
则
推广：
相互独立，
若
补充例题
设
是一个随机变量，
其概率密度为
求
解：
[例1]
[例2] 设 服从参数为1的指数分布,
解：
已知
则
的概率密度为
则
求
解：
易知
的概率密度为
[例3] 设随机变量
在区间
上服从均匀分布，
已知离散随机变量
服从参数为
的泊松分布，
即
求随机变量
的数学期望
解：
已知
则
于是
[例4]

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