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第三章
随机变量的数字特征
§3.2 方差
[引例]
设 与 都服从均匀分布，
概率密度分别为：
易知
虽然它们的数学期望相同，
但它们的分布却有着
显著的不同.
的可能值比较集中，
而
的可能值则
比较分散.
1.方差的定义与计算公式
由此可见，
为了表示随机变量的分布特征，
研究随
机变量的取值与其均值的偏离程度是十分必要的.
下面引进描述随机变量分布的分散程度的数字特征
——方差.
[定义1]
随机变量
与其数学期望
的差，
叫做
的离差.
注：随机变量离差的数学期望恒等于零.
[定义2]
随机变量
的离差的平方的数学期望，
叫做
随机变量 的方差.
记作：
即
[定义3]
称
为
的标准差或均方差.
记作：
即
在实际问题中，
一般用
来衡量偏离程度.
证：
由方差的定义及关于数学期望的定理得
[方差的计算公式]
[例1]
设随机变量
服从 分布，
即
求方差
解：
求取球次数的方差与标准差.
[例2]
球,直至取到白球为止．
每次从袋中任取1个
（2）每次取出的黑球仍放回去.
个白球，
袋中有
个黑球，
（1）每次取出的黑球不再放回去；
假定：
解：
依题意
的概率分布为：
（1）设 表示取球次数，
所以，
又
所以，
（2）
设 表示此时的取球次数，
依题意可知 的概率
函数为：
由§3.1的例2知:
又
利用幂级数的展开式
可得
所以，
设随机变量
服从二项分布
[例3]
解：
由§3.1的例3知，
设
得
与数学期望的计算过程完全类似，
可知上式括弧中第一个和
式等于
而第二个和式等于
所以
由此得
设随机变量
服从泊松分布
[例4]
解：
由§3.1的例4知，
所以
设
得
[例5]
求
的概率密度
已知连续随机变量
由§3.1的例5知，
现计算
所以
解:
设随机变量
在区间
上服从均匀分布，
[例6]
由§3.1的例6知，
现计算
解:
所以
设随机变量 服从指数分布
[例7]
由§3.1的例7知，
现计算
解:
所以
置换积分变量
得
[定理1]
常量的方差等于零：
其中
为常量.
证：
[定理2]
常量与随机变量的乘积的方差等于这个常量
的平方与随机变量的方差的乘积：
证：
2.关于方差的定理
[定理3]
两个独立随机变量的和的方差等于它们的
方差的和：
证：
利用数学归纳法，
可以把这个定理推广到任意有
限多个独立随机变量的情形.
[定理4]
有限个独立随机变量的和的方差等于它们
的方差的和：
已知随机变量
的数学期望为
标准差为
设随机变量
证明：
[例8]
证：
通常把
叫做标准化的随机变量.
1. 方差
是描述随机变量分布
的分散程度的数字特征；
2. 实用中常用标准差
3. 方差计算公式：
4. 关于方差的定理
若
与
独立，
则
小 结
思考题
设两个相互独立的随机变量
与
的方差分别为
和
则随机变量
的方差是
（1997年考研题）
分析：
又
与
相互独立，
根据关于方差的定理得
于是选答案 D.
所以，
[例1]
设 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次
射中目标的概率是0.4，
则
的数学期望
分析：
由题知
所以
[例2]
补充例题
设二维随机变量
在区域
内服从均匀分布，试求：
（1）
的边缘概率密度；
（2）随机变量
的方差
（1990年考研题）
解：
易知
的面积为
所以二维随机变量
的联合概
（1）当
或
时，
显然有
有
时，
当
区域 如图，
率密度为
所以
的边缘概率密度为
（2）
所以
因此

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