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第六章
参数估计
§6.3 正态总体参数的区间估计
1.区间估计的概念
引例:
正态总体
已知,抽样 个,
作为参数 的点估计量,有
即
当α给定时,通过抽样既能得到参数 的近似值,又估计
出这个近似值的可靠性.
说明随机区间 包含 的真值的
概率为 .
置信水平为 的置信区间.
为未知参数 的
的置信上限
的置信下限
称随机区间
设总体Χ 的分布中含有未知参数θ,如果对于给定
置信区间.
区间估计的概念
的概率 ,存在统计量 及
,使得
则称随机区间 为未知参数θ的置信水平为 的
分别称为置信下限及置信上限.
置信水平或置信度.
称为
几点说明
2. 反映了估计的精确度.
的值0.1,0.05,0.025等,然后找最小的估计区间.
1. 反映了估计的可靠性.
3.提高可靠性会使精度降低.为此, 通常取几个固定
求参数置信区间先保证可靠性再提高精度.
求参数置信区间的步骤
1. 根据未知参数类型确定合适的样本函数(统计量).
3. 根据样本函数的临界值解出待估参数的置信区间
2. 给定置信度 ,得到临界值.例如
临界值为 和
所选的样本函数除含有待估参数外没有任何未知
例如
注:
对于同一置信水平,确定未知参数的置信区间方法
并不唯一,尽可能选取最短的置信区间.
参数.
2.正态总体均值μ的区间估计
(1)设总体 已知 .则
对称于原点的置信区间是最短的.
为未知参数 的置信水平为 的置信区间.
分析:
样本函数
(2)设总体 ,若未知 ,则
为未知参数 的置信水平为 的置信区间.
分析:
样本函数
测得滚珠
的直径（单位：mm）如下：
从某厂生产的滚珠中随机抽取 个，
若滚珠直径服从正态分布
并且已知
(mm) ,
的置信区间.
解:
计算样本均值
[例1]
求滚珠直径均值 的置信水平为
因为置信水平
查附表得
由此得
所求置信区间为
即
（mm）.
在上例中，
若未知
求滚珠直径均值 的置信
水平为 的置信区间.
解:
计算样本均值与样本方差得
置信水平
查附表得
自由度
由此得
[例2]
所求置信区间为
即
（mm）.
3. 正态总体方差σ2的区间估计
(1)设总体 ,已知 ,则
为未知参数σ2的置信水平为 的置信区间.
分析:
样本函数
此分布曲线是不对称的,
由于
于是
即
方差 的置信水平为 的置信区间.
解:
置信水平
查附表得
自由度
在例1中，
若已知
（mm）,
已知 ，
所求置信区间为
即
[例3]
求滚珠直径
计算出
(2)设总体 ,未知 ,则
为未知参数σ2的置信水平为 的置信区间.
分析:
样本函数
即
与前述类似可得结论.
求滚珠直径方差 的置信
水平为 的置信区间.
解:
置信水平
查附表得
自由度
在例1中，
若未知
所求置信区间为
即
[例4]
计算样本方差
小结
在置信水平 下的置信区间
未知参数
已知
总体 未知参数的置信区间
未知
已知
未知
2在置信水平 下的置信区间
未知参数
思考题
设
已知
抽样
证明：
对于已给
的置信水平
参数 的所有可能
的置信区间
中最短的区间是
分析:
已知总体
则样本函数
对于已给的置信水平
任选两个临界值 与
使得
（不妨设
），
由此可见，
其中
是标准正态分布
的分布函数，
即
参数 的置信区间是
其长度为
利用求条件极值的方法不难求得
的最小值.
应用拉格朗日（Lagrange）乘数法则，
设函数
其中
为不为零的常数，
由极值条件得到方程组
这里 与
应满足条件
①
其中
是标准正态分布
的概率密度，
把上面两个方程相加，即得
因为
所以有
由于标准正态分布的分布曲线
对称于纵
坐标轴，
且在区间
内单调上升，
在
内单调下降，
所以有
易知点
对称于原点，
必
与
则
代入①式，解得
根据分布函数的定义，
上式可以写为
参数
的最短置信
对于已给
的置信水平
所以，
区间是

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