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第六章
参数估计
§6.7 综合例题
[例1]
设总体
服从拉普拉斯分布：
，
如果取得样本观测值为
求参
其中
．
，
的矩估计值与最大似然估计值．
数
解
(1) 总体
的一阶矩
不能求得
的估计值，
的二阶矩，
由总体
令
得
用样本二阶原点矩的观测值
作为
的估计值，
即有
解得参数
的矩估计值
（2）似然函数为
取对数，得
于是
解得参数
的最大似然估计值
解
[例2]
设总体 服从正态分布
抽取样本
最大似然估计量，并讨论它们的无偏性；
求未知参数
的矩估计量与最大似然估计量，并讨论
它们的无偏性.
(1)用样本一阶原点矩替换总体矩，得 的矩估计量
已知 ，则似然函数
取对数，得
对参数求导，
解此方程即得
的最大似然估计值
所以， 的最大似然估计量
由§6.2例题已得 的这两个估计量都是无偏估计量.
(2)用样本二阶原点矩替换总体矩，得 的矩估计量
因为
所以 的矩估计量是无偏估计量.
已知 ，则似然函数
取对数，得
对参数 求导，
解此方程即得
的最大似然估计值
所以， 的最大似然估计量
又
所以 的最大似然估计量也是无偏估计量.
[20002数学一]
设总体 的概率分布为
其中
是未知参数，
值
利用总体 的样本观测
求 的矩估计值和最大似然估计值．
解
设样本为
则样本一阶原点矩为
[例3]
总体一阶原点矩为
用 作为 的估计量，则有
由此解得 的矩估计量
将样本观测值代入，
即得 的矩估计值
对于给定的样本观测值，
似然函数为
取对数，得
由此解得 的最大似然估计值（注意 ）
求导数并令其等于 ，得
[2003数学一]
设总体 的概率密度为
其中 是未知参数，
从总体 中抽取简单随机样本
记
（1）求总体 的分布函数
（2） 求统计量 的分布函数
讨论它是否具有
无偏性．
（3）如果用 作为 的估计量，
[例4]
解
（1）
当
时，
当
时，
所以 ， 的分布函数为
（2）对于任意实数
事件
与
等价，
样本
相互独立，
且与总体 有相同的分布函数
则统计量 的分布函数
因为
所以
（3）
的概率密度为
则 的数学期望
利用分部积分法易求得
因为
所以，统计量 不具有无偏性．
解:
[例5]
是未知参数.抽取样本 ，样本均值
样本最小值 ，样本最大值
证明：
(1)
由此得，
由§5.6知样本最值的概率密度分别是
其它
其它
得
置换变量 ，得
置换变量 ，得
又
于是，
（2）有
由此得
又
由方差公式得
又有
得到
于是，
考察
于是解得 的矩估计量为
及
而 及 的矩估计值就是
解：
[例6]
设总体
服从指数分布
，概率密度为
其中
为未知参数．
，求参数
的置信水平为
的置信区间．
抽取样本
指数分布的总体期望与总体方差分别是
所以，当
充分大时，
样本函数
对于置信水平
，有
即
，
，
参数
的水平为
的置信区间近似为
．
[2000数学三]
假设
是来自总体
X 的简单随机样本观测值，
已知
服从正态分
布
（1）求 的数学期望（记 为 ）；
（2）求 的置信水平为 的置信区间；
（3）利用上述结果求 的置信水平为 的置信区间．
解：
（1）
随机变量
所以 的概率密度为
[例7]
则 的数学期望
（2） 正态总体
样本均值 的观测值为
已给置信水平
则
于是 的置信水平为 的置信区间为
即
（3）由于
的置信水平为 的置信区间为
即
[例8]
设总体
从总体
X 及Y 中分别抽取容量为n的样本，
如果已知
则对于已给的置信水平
为了使两个总体
的均值差
的置信区间的长度不大于
容量n应取多大？
样本
解:
已知
由公式得两个总体均值差
的置信水平为
的置信区间为
已给置信水平
则
查附录表得
所以
的置信水平为
的置信区间为
置信区间的长度为
即
要使
即
由此解得
所以，从两个总体X 及Y 中分别抽取的样本容量 n 应
不少于87．

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