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第七章
假设检验
§7.6 综合例题
[例1]
设总体
已知
，
，
而未知参数
只可能取两个值之一：
或
．
抽取容量为
的样本，
在显著性水平
下，检验假设
；
．
（1）求检验结果犯第二类错误（即取伪错误）的概率
．
（2）设
，
，
，
性水平
及
率
；
，分别计算相应的概
，取显著
若给定显著性水平
则为了使概率
，
不大于
，应取多大容量的样本？
解
（1）若原假设
不成立，则备择假设
成立，
，有
知
．
．
得所求概率
(2) 已知
当
时，
，
计算得
，
由此得
当
时，
，计算得
，
由此得
说明当显著性水平
减小时，犯第二类错误的概率
将增大．
给定显著性水平
要使
则
因为
是增函数，
又
即
解得
所以
即给定
为了使
减小，应增大样本容量n.
[例2]
证明
设总体
其中
及
都是未知参数．
抽取容量为
的样本，
检验
在显著性水平
下，
假设
在显著性水平
下，关于原假设的拒绝域是
需要分两种情况讨论．
分析
（1）若
则统计量
给定显著性水平
有
（2）若
是总体方差，
对给定显著性水平
，有
当
时，
综合(1)(2)知，
在
事件
是小概率事件．
成立的条件下，
所以，在水平
下，
关于原假设的拒绝域是
[例3]
农业研究所为了研究某种化肥对农作物的效力，
在13个区进行试验，
得到农作物的单位面积产量（kg）
如下：
未施肥小区：
施化肥小区：
设农作物的单位面积产量服从正态分布，
化肥能否显著提高农作物的单位面积产量．
检验施用该
（
）
分析
设
表示未施肥小区农作物的单位面积产量
；
表示施化肥小区单位面积产量
分布参数均未知，
为了检验
与
是否有
显著差异，
先检验
与
有无显著差异．
解
由试验数据，有
首先检验假设
由于
应选取统计量
计算
的观测值，
得
查表得
由于
所以接受原假设
认为
再检验假设
选取统计量
计算
的观测值，
得
查附表得
因为
所以拒绝原假设
而接受
备择假设
认为施用该种化肥能显著提高农作物
的单位面积产量．
[例4]
某工厂为了降低产品的次品率，
决定进行工艺改
革，
改革后试制了一批产品．
从用原工艺制成的产品中
抽取160个产品，
发现其中有10个次品；
而从用新工艺
制成的产品中抽取200个产品，
发现次品有5个．
艺改革后是否显著降低了产品的次品率．
检验工
（取
）
分析
设用原工艺制成的产品的次品率为
随机变量
则
从总体
抽取
的样本
林德伯格-列维中心极限定理可知
根据
样本均值
新工艺的情形同理可设
于是，问题转化为检验假设
解
选取统计量
则
假设原假设
成立，
则
标准化
当样本容量
及
充分大时，
有
由此可知，统计量
已知样本
其中10个1及150个0，
计算得
同理得
所以统计量
的观测值
查附表得
因为
所以拒绝原假设
而接受备择假设
认为新工艺显著降低了产品的次品率．
[例5]
使用寿命X
从某工厂生产的一批节能灯管中抽取100个进行
（单位：h）
试验，
得到数据如下：
利用
拟合检验法检验这批节能灯管的使用寿命X是
否服从指数分布．
（取
）
分析
假设这批灯管使用寿命
然估计法求参数的估计值，
应利用最大似
然后利用
拟合检验法检
验原假设
解
设总体
其中
为未知参数．
然估计法容易求得
由最大似
的估计值为
的中点值
取各个子区间
得观测值
的最大似然估计值
检验关于总体X的分
布的原假设
由X的概率密度
可计算X落在各个子区间内的概率
得到统计量
的观测值，
列表如下
总计
由此得
自由度
查附表得
因为
所以接受原假设
节能灯管的使用寿命
认为这批

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