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绝密★启用前（全国卷）
文科数学试卷
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数的导数为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知椭圆的焦距为2，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的直径是，其表面积约为（ ）
A. B. C. D.
6.设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. B.1 C. D.2
7.已知等比数列是递减数列，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知分别为双曲线的左 右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
11.已知一组样本数据的方差为10，且，则样本数据的方差为（ ）
A.9.2 B.10.8 C.9.75 D.10.25
12.等边的边长为5，点在平面上，点在的同一侧，且边在上的射影长分别为3，4，则边在上的射影长为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，则__________.
14.记为等差数列的前项和，若，则__________.
15.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则三棱锥的体积为__________.
16.定义域为的函数满足当时，，且是奇函数，则__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
18.（12分）
某大型社区计划投建一个社区超市，为了解社区居民的购买习物，随机对40位社区居民进行了调查，得到下面列联表：
倾向于实体店的人数 倾向于网购的人数
男性 160 40
女性 100 100
（1）能否有99.9%的把握认为该社区居民的购物习惯与性别有差异？
（2）若社区居民中倾向于实体店的人数占比高于65%，则投建营业面积为的超市，否则投建营业面积为的超市.已知该社区居民中男性与女性的人数之比为，根据上表，求所投建超市的面积
附：.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，为线段上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若平面，且，求与的面积之比.
20.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求.
21.（12分）
已知抛物线的焦点为，设为上不重合的三点，且.
（1）求；
（2）若均在第一象限，且直线的斜率为，求的坐标.
（二）选考题：共10分.请考生在第22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，点的极坐标为.
（1）求直线的极坐标方程；
（2）设为圆上一点，求到直线距离的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
文科数学参考答案
1.【答案】C
【解析】由可知.
2.【答案】A
【解析】因为，故.
3.【答案】B
【解析】，若，即，故.
4.【答案】D
【解析】根据题意有半焦距，故，且，故的离心率.
5.【答案】C
【解析】标准乒乓球的半径，故表面积.
6.【答案】A
【解析】如图，可行域为直线
所围成的区域，的值为内一点与点连线的斜率，
故该点取的交点时斜率最大，故的最大值为.
7.【答案】A
【解析】等比数列是递减数列，且，故，且公比，由得，故，所以的取值范围是.
8.【答案】A
【解析】由，可得，由，可得，故，故当时，.
9.【答案】C
【解析】，且，又，故.
10.【答案】A
【解析】的半焦距，故的实半轴，故由双曲线的定义可知，过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，故，所以.
11.【答案】B
【解析】设样本数据的平均数为，则，且样本数据的平均数也为，故：
.
12.【答案】D
【解析】因为，且边在平面上的射影长分别为3，4，所以点，到的距离分别为4，3.当在同一侧时，在上的射影长为；当在不同侧时，点到的距离之和为7，大于的长，此情况不存在.
13.【答案】
【解析】因为向量，所以，故.
14.【答案】49
【解析】因为，则，又因为，故，所以.
15.【答案】
【解析】方法1：取的中点，则，所以，易知，所以.
方法2：点到平面的距离等于点到直线的距离，这个距离为三棱锥的体积为.
16.【答案】6
【解析】设，则，因为是奇函数，故，又因为当时，，故，所以.
17.（12分）
【解析】（1）因为，由正弦定理可得：
，
因为，
所以，
故.
（2）由余弦定理可知，
即，
故.
又，
所以.
18.（12分）
【解析】（1）由列联表中的数据，可得统计量的观测值为：
.
由于，因此有的把握认为该社区居民的购物习惯与性别有差异.
（2）根据列表，及社区居民中男 女占比可求得全体居民中倾向于实体店的人数占比.
由于，因此所投建的超市面积为.
19.（12分）
【解析】（1）记为的交点，连接交于点，连接
因为分别为的中点，则为的重心，故
.
又因为四边形是正方形，故为的中点，且
由于，故，
所以.
又因为平面，且平面，
所以平面.
（2）方法1：因为分别为的中点，连接，
所以，且，
又因为平面平面，
所以平面.
设，则，
所以.
取的中点，过作于点，则，
所以平面，又，
所以平面，故，且，
所以，
所以.
方法2：连接.
是中点，.
平面平面平面平面，
.
.
由于是平面内两相交直线，
所以平面.
平面.
根据条件，设，则.
，进而得.
在中，由余弦定理得，即，
.
.
所以与的面积之比为.
20.（12分）
【解析】（1）.
当时，单调递增.
当时，令，则.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
（2）当时，，不合题意.
当时，由（1）可知，.
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以.
所以当且时，，不合题意，
当时，，符合题意.
综上，.
21.（12分）
【解析】（1）根据题意有.
设，则，
由可得，即.
又由抛物线的几何性质可知.
故.
（2）方法1：设直线的方程为，其中，且因为在第一象限，易知，与的方程联立有，其中，可知，
结合（1）中所设点坐标可知.
由（1）可知，
且由可得，代入有：
，故，
整理化简有，
所以，即.
方法2：根据条件设直线的方程为，与的方程联立有.
结合（1）中所设点坐标可知，
，
由可得，
.
代入得，
所以点坐标为.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】方法1：点在直角坐标系中的坐标为，
点在直角坐标系中的坐标为，
所以直线的直角坐标方程为，
设，
则直线的极坐标方程为，即.
方法2：设为线段上的点，由三角形面积关系得
，
化得.
所以直线的极坐标方程为.
（2）由圆得，
因为，
则的标准方程为，
故的圆心坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以到直线距离的最大值为.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）方法1：当时，.
若，则当时，，故，
当时，，故，
又因为当时，，
所以不等式的解集为.
（2）方法1：由题设可得，
所以或.
当时，，故.
当时，故.
综上，的取值范围是.
方法2：，且等号可取得，
故等价于，
可得或.
综上，的取值范围是.

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