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6.3.5数量积的坐标运算
1.了解数量积的坐标运算推导；
2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直；
一、平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量,
（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即
（2）向量垂直:
二、平面向量的模与夹角的坐标表示
（1）向量的模:设,则
（2）两点间的距离公式:若,则
（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则
考点01简单数量积坐标运算
1．已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据向量运算的坐标表示求得正确答案.
【详解】.
故选：A
2．在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.
【详解】由题意，
则，，
.
故选：A
3．已知向量，，则（ ）
A． B．1或2 C．或2 D．或
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，向量，
得，
所以.
即，解得或，
故选：B.
4．已知向量，，，则（ ）.
A． B．-2 C．10 D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】因为，，
所以，即，
故选：B.
5．已知向量，，，则 .
【答案】
【分析】根据向量，分别表示出题目中向量的坐标，列出方程计算即可.
【详解】，，
，，，
，
，解得.
故答案为：.
考点02模的坐标运算
6．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量平行坐标表示求出，再应用模长公式求解即可.
【详解】向量，，，
.
故选：B.
7．已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得，解之即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
即，解得，
即实数m的取值范围为.
故选：B
8．（多选）已知向量，若，则等于（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．－2
【答案】CD
【分析】根据向量的坐标运算，求出，，由，求出的值，判断选项.
【详解】，，
，，
又，，
解得或.
故选：CD
9．已知向量，若，则实数的一个可能取值为 .（答案不唯一）
【答案】0（答案不唯一，只需即可）
【分析】方法一，首先求得向量的坐标，再代入向量模的运算公式，即可求解；
方法二，首先代入向量数量积公式，化简后再代入坐标公式，即可求解.
【详解】方法一：因为，所以.
又因为，所以，解得.
方法二：因为，所以，即，
故，解得1.
所以的一个可能取值为0.（答案不唯一，只需即可）
故答案为：（答案不唯一，只需即可）
10．已知平面向量，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据，求出，从而得到，求出模长.
【详解】由，得，即．
整理得，解得，
所以，所以，故．
故答案为：
11．平面直角坐标系中，，为坐标原点.
(1)令，若向量，求实数的值；
(2)若点，求的最小值．
【答案】(1)或
(2)5
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标运算，求实数的值；
（2）利用向量模的坐标运算和函数的单调性，求的最小值．
【详解】（1），
所以，
由得，
解得：或.
（2）因为，
所以，
因为，均为单调递增函数，
所以当时，，
即的最小值为5．
考点03夹角的坐标运算
12．已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算求得，根据向量夹角公式求得正确答案.
【详解】因为，所以，得．
所以，，所以，，，
所以．
又，所以与的夹角为．
故选：B
13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数量积，结合共线即可求解.
【详解】∵与的夹角为钝角，∴，即．
当时，，解得，
当时，，此时反向共线，
∴的取值范围是．
故选：D
14．已知，则夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】直接运用向量的坐标运算公式即可.
【详解】由题意得，，
.
故答案为：
15．向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则与夹角的余弦值为
【答案】/
【分析】建立平面直角坐标系，运用平面两向量共线的坐标公式及夹角公式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，
所以，
又因为向量与共线，所以，
所以，则，，
所以.
故答案为：.
16．已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 .
【答案】
【分析】设，根据已知列出关系式，代入坐标整理得出.表示出，根据二次函数的性质，即可得出最值，求出答案.
【详解】设，
则由，得，所以，
所以，即，化得.
又，
所以.
当时，取得最小值，
此时，即.
故答案为：.
17．已知向量，．
(1)求的坐标与；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
【答案】(1)，5
(2)
【分析】（1）根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可；
（2）利用平面向量数量积的公式计算即可.
【详解】（1），
，
.
（2），
，
.
考点04向量垂直的坐标运算
18．已知向量，则（ ）
A．// B．//
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算结合条件逐项判断即可.
【详解】易知，而，
显然，故成立，则//不成立，故A错误，D正确，
而，显然，，
则，//不成立，故BC错误.
故选：D
19．已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，，可得，
因为，所以，解得.
故选：A.
20．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由与的夹角的余弦值，利用向量数量积求出的值，由，，求出的坐标特征即可.
【详解】向量，，若与的夹角的余弦值为，
则有，解得，则有，
设，由，则有，解得，B选项符合.
故选：B
21．已知向量，，若，则 .
【答案】
【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，
解得.
故答案为：.
22．已知，.
(1)若，且、、三点共线，求的值.
(2)当实数为何值时，与垂直？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由、、C三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，
解得；
（2）由题意可得，，
因为与垂直，则可得,
解得.
考点05投影向量的坐标运算
23．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量在向量上的投影向量公式：计算即得.
【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量在向量上的投影向量为：，即，
因，则，，则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
24．已知向量，则 在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用投影向量的定义即可求出结果.
【详解】因为，得到，
所以在上的投影向量为，
故选：B.
25．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出的坐标，然后利用投影向量的公式求解即可.
【详解】由已知，
则在上的投影向量为.
故选：D.
26．已知向量在向量上的投影向量，且，则 .
【答案】
【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为，
设，由，得，
故，即，
故，
故答案为：
27．已知平面向量，，向量，在单位向量上的投影向量分别为，，且，则可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，由为单位向量可得，再结合投影向量的概念、向量坐标运算以及题设所给的条件可得，从而解得与的值，即可得解.
【详解】设，由为单位向量可得，，
因为向量，在单位向量上的投影向量分别为，，
所以，，即，，
因为，，
所以，，
又因为，
所以，即，
因为，
所以与不同时为0，即，则，
所以，
所以或.
故选：C
考点06与三角函数结合的数量积
28．已知，，，，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】由向量的运算和三角函数即可得的值.
【详解】，，
，
，
因为，
所以，，
即，显然，
所以，，
又，所以或.
故选：B
29．（多选）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C．的最大值是
D．若，且，则最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据向量的坐标运算与余弦函数的性质可判断A；根据投影数量的概念与三角恒等变换、正弦型三角函数的性质结合即可得取值范围，可判断B；由向量的三角不等式可判断C；根据向量的三角不等式与均值不等式即可求最值可判断D.
【详解】，A正确；
当时，在方向上的投影数量为：
其中，所以，又或，所以，B错误；
由于，当，向量反向共线时等号成立，C正确；
因为，所以，当且仅当同向共线且时等号成立，D正确.
故选：ACD.
30．（多选）已知，，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且，均为锐角，则
【答案】ABD
【分析】利用平面向量的坐标表示及诱导公式、同角三角函数的关系、余弦的和角公式计算即可.
【详解】由题意可知：，，，
对于A项，若，则，，故A对；
对于B项，若，则，故B对；
对于C项，易知：，，
若，则，
故C错；
对于D项，，则，
则，平方相加得，∴，故D对，
故选：ABD.
31．（多选）已知向量，，以下结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BD
【分析】由向量垂直、平行、数量积、模长的坐标表示列方程或不等式，结合三角恒等变换及正余弦型函数的性质求值或范围，判断各项正误.
【详解】A：若，则，，则，
所以，错；
B：若，则，而，对；
C：若，则，故，，则或，
所以或，错；
D：若，则，可得，，
所以，故，对；
故选：BD
32．（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得
B．当时，与垂直
C．对任意，都有
D．当时，与方向上的投影为
【答案】BD
【分析】A由向量平行坐标表示及倍角正弦公式得即可判断；B由向量垂直的坐标表示得即可判断；C根据向量模长的坐标表示，结合特殊值判断；D由向量数量积的坐标表示得，两边平方并利用同角三角函数关系求得，最后由投影数量的求法判断.
【详解】A：若，则，即，所以不存在这样的，故错误；
B：若，则，即，得，故正确；
C：，，当时，，故错误；
D：，两边平方得，即，
故，解得，则，即，
设与的夹角为，在方向上的投影为，故正确，
故选：BD
33．已知向量．
(1)求证：；
(2)若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合诱导公式化简，计算即可；
（2）由，求得关系，结合二次函数的最值，即可求得结果.
【详解】（1）．
，
故.
（2）显然，
，
故可得，
即，，
，
所以当时，取得最小值．
34．已知向量，，．
(1)求向量的模的最大值；
(2)设，且，求的值．
【答案】(1)2
(2)或.
【分析】（1）根据平面向量加法的坐标运算和模长公式可求出结果；
（2）根据推出，结合可求出结果.
【详解】（1）因为向量，，所以，
则，
因为，所以，
所以，
所以向量的模的最大值为2.
（2）因为，所以，又由，，
得，
因为，所以，
所以，
化简得，代入，
得，得，
解得或.
考点07利用坐标求数量积的最值范围
35．已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围.
【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，
，
，且，
时，取最小值；时，取最大值，
∴的取值范围是，
故选：A.
36．如图，在长方形 中，，点 P 满足，其中，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，所以，即，
故，，
则，
则，
因为，所以，，
故.
故选：B
37．已知是边长为2的正六边形的一个顶点，则的最小和最大值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在正六边形中建立直角坐标系，求得各顶点的坐标，根据数量积的坐标运算计算即可．
【详解】由题意，在边长为2的正六边形中，建立如图所示坐标系，
则，，，，，，
则，，，
，，，
，，
，，
显然为最大值，为最小值，
故选：C．
38．如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值.
【详解】过点作，垂足为，
以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则，
其中，
，
当，即同向时，取最大值，
所以的最大值为.
故选：C.
39．已知点在的斜边上（包含端点），若，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将所求数量积表示为关于的一次函数的形式，结合的范围可求得结果.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，
，又，
，即的取值范围为.
故答案为：.
40．如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .

【答案】
【分析】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，根据三角函数定义写出点M的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标表示，结合余弦函数的有界性可得.
【详解】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点，，，
设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，
易知外接圆的半径为，
所以点，则，
所以，
因为，所以.
即的取值范围为.
故答案为：

基础过关练
1．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量减法和数量积的坐标表示求解即可.
【详解】设，则由题意可得，
解得，
所以，
故选：D
2．已知，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再求出夹角即得.
【详解】由，得，而，则，
于是，则，而，
所以与的夹角为.
故选：A
3．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】由求出，从而可求解.
【详解】由，，所以，
因为，所以，得，
所以，故A正确.
故选：A.
4．已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可.
【详解】因为与共线，所以，解得.
又，所以，解得，所以，所以.
故选：C.
5．（多选）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】ABC
【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D.
【详解】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，，
则，
当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得，
由得，
所以的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
6．（多选）已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，的夹角为
C．在上的投影向量的坐标为（，）
D．在上的投影向量的坐标为（，）
【答案】ACD
【分析】根据两个向量垂直的充要条件,将垂直关系转化成数量积为0，即可判断A;根据夹角的坐标公式即可求解B;根据投影向量的求解即可求解C,D.
【详解】由，可知，
对于A.，所以，故，故A对.
对于B,设 为，的夹角，则 所以，的夹角为 ，故B错.
对于C, 在上的投影向量为 ，故C对.
对于D, 在上的投影向量为 ，故D对.
故选：ACD
7．已知平面向量，，，则和夹角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】分析可知，求出的值，可得出向量的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算可求得和夹角的余弦值.
【详解】因为平面向量，，，则，解得，
所以，，则，
所以，.
故答案为：.
8．在中，，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，然后结合平面向量数量积的运算及三角函数值域的求法求解即可.
【详解】以C为坐标原点，分别以CB、CA所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，

则，，，
为所在平面内的动点，且，点在为以C为圆心2为半径的圆上，
设，，则，
，
其中，
由，所以的取值范围是.
故答案为：．
9．已知，其中，则 .
【答案】1
【分析】结合诱导公式及向量的平方等于模的平方即可求.
【详解】，
则.
故答案为：1
10．已知．
(1)若//，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合同角三角函数关系求得，再求齐次式的值即可；
（2）根据向量垂直的坐标表示，求得，再根据其与的关系即可求得结果.
【详解】（1），//，
．
（2），
又，故，则，故，
.
11．已知平面向量，，，且，
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解;
（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.
【详解】（1）设，
因为，且，
所以，解得或，
所以或.
（2）在方向的投影向量为.
12．已知向量，，是同一平面内的三个向量，且．
(1)若||＝2，且，求；
(2)若，且与互相垂直，求λ．
【答案】(1)或；
(2)λ＝1或－1
【分析】（1）先设，根据题意有求解；
（2）根据，得，，然后根据与互相垂直求解．
【详解】（1）设，依题意得，
解得或，
即或．
（2）因为，
，
因为 与 互相垂直，
所以，
即(2+2λ)(2λ－2)+(λ+1)(λ－1)＝0，
解得λ＝1或－1．
能力提升练
1．已知平面向量，，若是直角三角形，则的取值是（ ）
A．2 B． C．2或7 D．2或5
【答案】C
【分析】先求出，再分别以三个点为直角顶点分类讨论，结合向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】，，则，
当是直角顶点时：，；
当是直角顶点时：，无解；
当是直角顶点时：，；
综上所述：或.
故选：C.
2．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据即可列式求解.
【详解】因为向量，满足，
所以，，
又因为，
故，
所以.
故选：C.
3．已知向量，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影向量为
B．最大值为
C．若则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据投影向量的定义求得在上的投影向量判断A，求出向量的模，由函数性质得最小值判断B，计算，根据其正负确定的范围，然后判断的正负，从而判断CD．
【详解】对A，，
在上的投影向量为，A错误；
对B，，
，
所以时，取得最小值，B错误；
对C，，，则，
则，C正确；
对D，，，无法判断的符号，D错误．
故选：C．
4．（多选）已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由得，得或或，故A不正确；
对于B，由得，得或，故B正确；
对于C，根据平面向量数量积的运算律求出，故C正确；
对于D，根据平面向量数量积的运算律求出，故D正确.
【详解】对于A，若，则，则，
因为，所以，则或或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
十、填空题
5．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = ；的最小值为 .
【答案】 4
【分析】根据即可条件可判断出△ABC为等边三角形，再根据向量的数量积运算公式展开题中式子即可算出三角形边长，最后根据三角形边长建立平面直角坐标系将各点表示出来运用向量的坐标运算即可得出答案.
【详解】空1：由题可知△ABC为等边三角形，，
解得，因此；
空2：如图，设，，，其中，
，，，
当时，，即为的最小值.
故答案为：4；.
6．直角坐标系和斜坐标系都是法国数学家笛卡尔发明的．设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在斜坐标系下的坐标．设，．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
【答案】 /
【分析】（1）根据定义将向量化为，然后由数量积的性质可得；
（2）根据定义将向量化为，，然后由数量积定义和性质列方程可得.
【详解】（1）因为，所以
若，则，
所以；
（2）因为，，所以，，
若，则，
所以，即，
因为，所以.
故答案为：；.
7．在平面直角坐标系中，已知点,，
(1)求的值；
(2)是坐标平面上的点，，，求的最小值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）先求出，再根据模长公式可求出结果；
（2）先求出，再根据模长公式以及二次函数知识可得结果.
【详解】（1）因为,，所以，
故.
因为，所以.
（2），
，
，
因为，所以当时，取得最小值为.
8．已知向量，，设．
(1)若，求的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得的表达式，结合可得，利用诱导公式化简求值，即得答案.
（2）根据三角函数图像的变换规律可得的表达式，结合x的范围求得的值域，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
，
由，得，即，
故.
（2）由题意得，
因为，故，
所以，故，
故函数在上有零点时，实数的取值范围为.6.3.5数量积的坐标运算
1.了解数量积的坐标运算推导；
2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直；
一、平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量,
（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即
（2）向量垂直:
二、平面向量的模与夹角的坐标表示
（1）向量的模:设,则
（2）两点间的距离公式:若,则
（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则
考点01简单数量积坐标运算
1．已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．已知向量，，则（ ）
A． B．1或2 C．或2 D．或
4．已知向量，，，则（ ）.
A． B．-2 C．10 D．
5．已知向量，，，则 .
考点02模的坐标运算
6．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）已知向量，若，则等于（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．－2
9．已知向量，若，则实数的一个可能取值为 .（答案不唯一）
10．已知平面向量，，且，则 ．
11．平面直角坐标系中，，为坐标原点.
(1)令，若向量，求实数的值；
(2)若点，求的最小值．
考点03夹角的坐标运算
12．已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则夹角的余弦值为 .
15．向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则与夹角的余弦值为
16．已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 .
17．已知向量，．
(1)求的坐标与；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
考点04向量垂直的坐标运算
18．已知向量，则（ ）
A．// B．//
C． D．
19．已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
20．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
21．已知向量，，若，则 .
22．已知，.
(1)若，且、、三点共线，求的值.
(2)当实数为何值时，与垂直？
考点05投影向量的坐标运算
23．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知向量，则 在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
26．已知向量在向量上的投影向量，且，则 .
27．已知平面向量，，向量，在单位向量上的投影向量分别为，，且，则可以是（ ）．
A． B．
C． D．
考点06与三角函数结合的数量积
28．已知，，，，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
29．（多选）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C．的最大值是
D．若，且，则最大值为2
30．（多选）已知，，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且，均为锐角，则
31．（多选）已知向量，，以下结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
32．（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得
B．当时，与垂直
C．对任意，都有
D．当时，与方向上的投影为
33．已知向量．
(1)求证：；
(2)若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值．
34．已知向量，，．
(1)求向量的模的最大值；
(2)设，且，求的值．
考点07利用坐标求数量积的最值范围
35．已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．如图，在长方形 中，，点 P 满足，其中，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知是边长为2的正六边形的一个顶点，则的最小和最大值分别是（ ）
A． B． C． D．
38．如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
39．已知点在的斜边上（包含端点），若，，则的取值范围为 .
40．如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .

基础过关练
1．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
6．（多选）已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，的夹角为
C．在上的投影向量的坐标为（，）
D．在上的投影向量的坐标为（，）
7．已知平面向量，，，则和夹角的余弦值为 ．
8．在中，，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 .
9．已知，其中，则 .
10．已知．
(1)若//，求的值；
(2)若，求的值．
11．已知平面向量，，，且，
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
12．已知向量，，是同一平面内的三个向量，且．
(1)若||＝2，且，求；
(2)若，且与互相垂直，求λ．
能力提升练
1．已知平面向量，，若是直角三角形，则的取值是（ ）
A．2 B． C．2或7 D．2或5
2．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
3．已知向量，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影向量为
B．最大值为
C．若则
D．若，则
4．（多选）已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
5．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = ；的最小值为 .
6．直角坐标系和斜坐标系都是法国数学家笛卡尔发明的．设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在斜坐标系下的坐标．设，．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
7．在平面直角坐标系中，已知点,，
(1)求的值；
(2)是坐标平面上的点，，，求的最小值.
8．已知向量，，设．
(1)若，求的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围．

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