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6.4.1~6.4.2平面几何、物理的向量应用
1.通过向量方法解决平面几何问题，例：几何的垂直、平行、夹角等问题；
2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题.
一、向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
二、向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
（3）动量是向量的数乘运算.
（4）功是力与位移的数量积.
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
考点01 向量在物理中的应用
1．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】由，，所以，又，
∴对物体做的功．
故选：B．
2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件列式求解即可．
【详解】设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，,
解得．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故选：A.
3．（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）

A．越小越省力，越大越费力 B．的范围为
C．当时， D．当时，
【答案】AC
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解即可得.
【详解】对A：根据题意，得，
所以，
解得，因为时，单调递减，
所以越小越省力，越大越费力，故A正确；
对B：由题意知的取值范围是，故B错误；
对C：因为，所以当时，，
所以，故C正确；
对D：因为，所以当时，，
所以，故D错误.
故选：AC.
4．（多选）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．夹角的余弦值为
D．夹角的余弦值为得
【答案】BC
【分析】根据，然后利用数量积的运算律及模的运算公式求解，再由及数量积的运算公式求解即可.
【详解】由已知可知：，
所以．
设的夹角为，由，得，
所以，得解.
故选：BC
5．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【答案】(1)
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由见解析.
【分析】（1）由题意，且与垂直，即，根据数量积的定义即可求解；
（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，比较和两种情况即可求解.
【详解】（1）解：船垂直到达对岸，即且与垂直，即，
所以，即，
所以，解得；
（2）解：设船航行到对岸所需的时间为，则，
所以当时，船的航行时间最短为，
而当船垂直到达对岸时，由（1）知，
所需时间，，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
6．飞机从A地按北偏西的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，求该飞机飞行的路程和位移．
【答案】位移大小为(方向在A地的东偏北)，路程
【分析】根据题意作出图形，由位移的合成及三角形的知识即可求解.
【详解】如图所示，表示飞机从A地按北偏西方向飞行到B地的位移，则．
表示飞机从B地按南偏东方向飞行到C地的位移，则．
所以该飞机飞行的路程为．
表示飞机从A地到C地的位移，在中，，
且，则为等边三角形，
所以，则．
所以该飞机飞行的位移的大小为，方向在A地的东偏北.
考点02 证明线段垂直
7．已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形
【答案】C
【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解.
【详解】
由题意结合中位线定理可得，，
所以，即四边形为平行四边形.
，
，
，
，
，即，即，
所以，又，所以，
同理由中位线定理可得，所以，
故四边形为矩形.
故选：C.
8．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论.
【详解】易知，
可得，即，且，
所以可得的形状是直角三角形.
故选：B
9．四边形中，，，则这个四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】A
【分析】由可得，且，即四边形为平行四边形，又，即四边形为菱形，即得解
【详解】由题意，
即，且
故四边形为平行四边形
又
故
即四边形为菱形
故选：A
10．用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．
【答案】证明见详解
【分析】根据向量的线性运算结合数量积分析证明.
【详解】对于菱形，可知，即，
因为，
可得，则，
所以菱形的两条对角线互相垂直.
11．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】∵·＝·＝2－2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
考点03 求线段长度
12．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可.
【详解】如图所示，由题意可得：
，
即，解之得.
故选：A
13．已知，，三点共圆，，且点，，满足，若，则点到点的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】应用平面向量基本定理结合图形特征，解决距离和最大.
【详解】作出图形如图所示，取线段的中点．
因为，
所以，故，故点在以为圆心，为半径的圆上，
则点到点的距离．
设，，所在圆的圆心为，
则当，，三点共线，即点在线段上，时，取到最大值，
此时为等边三角形，故，则点到点的距离的最大值为．
故选：D.
14．已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
【答案】
【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可.
【详解】设D为的中点，则，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
15．已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是
【答案】
【分析】作，交于点，可知；利用向量线性运算可得到，根据，由向量数量积的定义和运算律可求解得到.
【详解】作，交于点，则，
，则；
，，
又，，，
，
，
故答案为：.
16．如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，，，，计算得到答案.
（2），，计算得到答案.
【详解】（1）；
，
，故，
.
（2），
.
考点04 求线段夹角
17．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
18．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .

【答案】
【分析】先利用向量的线性运算表示，，然后数量积求解夹角余弦值即可.
【详解】设，，则，
，又，，
所以
.
故答案为：
19．如图，在中，已知，，，且.求.
【答案】
【分析】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意得，的夹角为，
，则，
又，所以，
故，同理
于是
，
，
，
.
20．在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
【答案】/
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.
【详解】
由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，
所以，.
又因为，
所以
，
,
,
所以.
故答案为：
21．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则余弦值的最小值为 ．
【答案】
【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；
空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由已知，
.
∴.
设，即与的夹角为，
，
若，则，
∴，
又∵，，∴由基本不等式，
∴.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：，.
【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.
考点05 判断多边形形状
22．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.
【详解】由题意可知，
所以，即的形状是直角三角形.
故选：C
23．是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】由已知条件可得出，等式两边平方可得出，即可得出结论.
【详解】因为，
由可得，
可得，整理可得，，
所以，为直角三角形.
故选：C.
24．已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是
A．正三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【详解】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.
详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，
由题意结合平面向量的运算法则可知：，，
而，据此可得：，从而：，
结合平面几何知识可知：，而，故.
即△ABC为等腰三角形.
本题选择C选项.
点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．
25．在四边形中，，则四边形的形状是 .
【答案】矩形
【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行.
【详解】由可知,进而，
由可得且，所以四边形为矩形，
故答案为：矩形
26．若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为 ．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
【答案】等腰三角形
【分析】取的中点，根据平面向量的线性运算计算，从而，于是．
【详解】取中点，连接，
则，
又，
，
，
，
；
；
的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
考点06 求平面几何的最值范围问题
27．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
28．已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：建立合适的坐标系，设，根据余弦函数的范围即可得到数量积范围；方法二：根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可.
【详解】方法一：不妨设圆心，，，，
所以，
因为，
所以.
方法二：如图，过圆心作，且与圆交于点M，N，连接，，
过M，N分别作，，垂足分别为G，H，过作，垂足为，
则在方向上的投影向量为，
则，，
又，所以.
故选：B.

29．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可．
【详解】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，

则，设，，，
则，
因为，则，
则，
故当，时取得最大值为5．
另解：令，则为中点，为中点，则，
所以，当为中点时取等．
故选：C
30．如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ）

A． B．-1
C． D．2
【答案】A
【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用二次函数求解最值即可，
【详解】由题意，，，
，所以，
所以，即平分，
由可得
，
所以当时，有最小值为.
故选：A
31．在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设出，表达出，利用三角换元求出最小值.
【详解】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，则，且，故，
所以，
令，则，
则，
因为，所以，，
故，
所以的最小值为，当且仅当时取得.

故选：D
32．在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的最小值．
【详解】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，则，，
由，，可设，,，则,，由，
所以，,，
所以，
当时，取得最小值为．
故答案为：．
33．在长方形中，，，点P为长方形内部的动点，且，当最小时， .
【答案】/
【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，由可得点在以为圆心，1为半径的半圆上，由此可得当共线时，最小，从而可求出点的坐标，进而可求出.
【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则
，
设，则，，
因为，所以，即，
所以点在以为圆心，1为半径的半圆上，
所以当共线时，最小，
过作于，因为，，所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
故答案为：

基础过关练
1．在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】由，可得，分析即得解
【详解】由题意，
，又
为钝角
则的形状是钝角三角形
故选：B
2．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向西南走
C．向东南走 D．向西南走
【答案】A
【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.
【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，
所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，
等价于向东南走.
故选：A.
3．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可.
【详解】∵
.
∴，
∴是直角三角形.
故选：C.
4．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的几何意义，结合图形即可求解.
【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理得，
故．
所以，
当过点圆上一点作平行于的圆的切线时，此时最大，
由于到的距离为,所以的最大值为
故选：B
5．（多选）如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】AC
【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，由坐标运算即可求解．
【详解】如图令，由于故，，
如图，，故，，
故，
同理可求得，即，
，，
，
故选：AC
6．（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.
【详解】对于A，根据题意，得，所以，
解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；
对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
7．已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 .
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算律可求出结果.
【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，，
所以，
所以
.
故答案为：
8．如图,在直角梯形中,,,,E为的中点,若,则 , .
【答案】
【分析】以D为原点,边所在直线为x轴,边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算性质、平面向量基本定理即可得出.
【详解】以D为原点,边所在直线为x轴,边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
不妨设，则，，，，，
，，，
∵，
∴，
∴，解得，
故答案为：；.
【点睛】本题考查了向量坐标运算性质、向量基本定理、方程解法，考查了推理能与计算能力，属于基础题.
9．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ．
【答案】
【解析】根据题中条件，先得到，，利用向量数量积的运算法则，计算，即可求出结果.
【详解】由题可知，所以，
由可得，
，
又，，
，
所以，则．
故答案为：.
10．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？

【答案】，理由见解析
【分析】根据向量基本定理得到，结合三点共线，求出，同理可证出，得到结论.
【详解】因为四边形为平行四边形，所以，
设，
因为是的中点，所以，
故，
又因为三点共线，
可设，即，
即，
故，相加可得，解得，
故，
同理可证，
故可知为的三等分点，
故.
11．如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【答案】答案见解析
【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功.
【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，
且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，
则重力对物体做的功，
支持力与位移方向垂直，做功为，
摩擦力与位移方向相反，对物体做功
．

12．如图，已知与的夹角为，，，，，与相交于点.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，分析可得，由数量积的运算性质计算可得答案；
（2）根据题意，设与的夹角为，则与的夹角也是，分析有，求出、的值，由向量夹角公式计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，，即是的中点，则，
则，则；
（2）设与的夹角为，则与的夹角也是，
，
则，
，
则．
能力提升练
1．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；②的范围为；
③当时，；④当时，.
其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.
【详解】对于②，当时，故无法抬动物体，故②错误；
对于①，根据题意，得，所以，
解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故①正确；
对于③，因为，所以当时，，所以，故③错误；
对于④，因为，所以当时，，所以，故④正确.
故选：B.
2．已知中，，，则此三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形.
【详解】如下图所示：

设M为AC中点，则，
所以，即为等腰三角形，
又，所以，
即，
所以，可得，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
3．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】B
【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】，
．
如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得．
故选：B
4．（多选）若正方形，O为所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．可以表示平面内任意一个向量
B．若，则O在直线BD上
C．若，，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】A由平面向量基本定理判断；B由向量共线的推论判断；C利用向量加法、数乘等线性运算用表示出；D由题设可得，若为中点，则，即可判断.
【详解】A：由题意，又，以为基底的坐标系中，
根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量，对；
B：由向量共线的推论知：，则O在直线BD上，对；
C：由题设，则，
所以，错；
D：由，则，
若为中点，则，即且，如下图示，
所以，对.
故选：ABD
5．在平面四边形中，，则 ； .
【答案】
【分析】根据求出B的大小，从而可判断△ABC的形状，从而求出；再求出，从而求出∠ACD的大小，再根据即可求出．
【详解】∵，
又，故，
∵，故，
∴为等边三角形，则；
∵，∴，又，∴，
得，
∴，
根据以上分析作图如下：
则∠BCD=150°，
则
．
故答案为：1；
6．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意可得，，进一步化为，再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．
【详解】由题意，，，
所以，，
又动点和分别在线段和上，且，，所以，解得，
，
当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，
故答案为：．
7．如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，，根据向量数量积的运算即可求解；
（2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）解：由题意，，，
又，
所以，
，即，
=
，
，即；
（2）解：，
==，
与的夹角即为，
.
8．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且.
(1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；
(2)若，求t的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用表示，结合向量的模公式，即可求得本题答案；
（2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案.
【详解】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心，
设，
所以，
；
（2）因为，，
所以，
，
，
，
由，得：，
所以，因为，，
所以，，
令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3.6.4.1~6.4.2平面几何、物理的向量应用
1.通过向量方法解决平面几何问题，例：几何的垂直、平行、夹角等问题；
2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题.
一、向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
二、向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
（3）动量是向量的数乘运算.
（4）功是力与位移的数量积.
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
考点01 向量在物理中的应用
1．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（　　）
A． B． C． D．
2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）

A． B． C． D．
3．（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）

A．越小越省力，越大越费力 B．的范围为
C．当时， D．当时，
4．（多选）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．夹角的余弦值为
D．夹角的余弦值为得
5．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
6．飞机从A地按北偏西的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，求该飞机飞行的路程和位移．
考点02 证明线段垂直
7．已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形
8．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
9．四边形中，，，则这个四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
10．用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．
11．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
考点03 求线段长度
12．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，三点共圆，，且点，，满足，若，则点到点的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
15．已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是
16．如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
考点04 求线段夹角
17．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .

19．如图，在中，已知，，，且.求.
20．在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
21．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则余弦值的最小值为 ．
考点05 判断多边形形状
22．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
23．是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
24．已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是
A．正三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
25．在四边形中，，则四边形的形状是 .
26．若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为 ．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
考点06 求平面几何的最值范围问题
27．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
30．如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ）

A． B．-1
C． D．2
31．在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
32．在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 .
33．在长方形中，，，点P为长方形内部的动点，且，当最小时， .
基础过关练
1．在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
2．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向西南走
C．向东南走 D．向西南走
3．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
4．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（多选）如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
6．（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
7．已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 .
8．如图,在直角梯形中,,,,E为的中点,若,则 , .
9．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ．
10．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？

11．如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
12．如图，已知与的夹角为，，，，，与相交于点.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值.
能力提升练
1．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；②的范围为；
③当时，；④当时，.
其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．已知中，，，则此三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
4．（多选）若正方形，O为所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．可以表示平面内任意一个向量
B．若，则O在直线BD上
C．若，，则
D．若，则
5．在平面四边形中，，则 ； .
6．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 .
7．如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
8．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且.
(1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；
(2)若，求t的最大值.

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