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19.2 平行四边形
教学目标：
掌握平行四边形的性质，了解两条平行线间的距离的概念。
通过平移与作图探索并掌握判别四边形是平行四边形的条件。
掌握三角形的中位线定理和平行线等分线段的性质。
重难点：
利用平行四边形的性质求边的取值范围或角的度数。
利用平行四边形的判定定理判别一个四边形是平行四边形。
利用三角形中位线定理求线段的长。
知识点1一：平行四边形的概念（重点，掌握）
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作“平行四边形ABCD”，图形如图所示。
用几何语言表示：
①∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
②在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD
【知识拓展】
平行四边形的概念具有双重意义：①如果一个四边形有两组对边分别平行，那么它必是平行四边形——平行四边形的判定；②如果一个四边形是平行四边形，那么其两组对边必定分别平行——平行四边形的性质。
平行四边形的概念是判定平行四边形的根本依据，其他判定平行四边形的方法都可以归结到这一概念上来。
掌握此概念要注意“两组对边分别平行”这一条件，只有一组对边平行不能判定四边形是平行四边形。
表示平行四边形时，一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次表示各顶点，切不可打乱顺序。
例1 如图所示，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则图中平行四边形共有（ ）
A.7个
B.8个
C.9个
D.11个
例2.如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，则图中共有 个平行四边形。
知识点二：平行四边形的性质及推论（重点，掌握，灵活运用）
平行四边形的性质
从边来看：平行四边形的对边平行且相等。
从角来看：平行四边形的对角相等，邻角互补。
从对角线来看，平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点是两条对角线的中点。
用几何语言描述：
如图所示，在□ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC；
∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠DCB，∠ABC+∠BAD=180°，
∠ABC+∠BCD=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∠ADC+∠BAD=180°；
OA=OC，OB=OD。
平行四边形的推论
夹在两条平行线间的线段平行线段相等。
两条平行线间的距离处处相等（两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离）。
【知识拓展】（1）平行四边形的性质分别从边、角、对角线三个方面说明了平行四边形的特征，应在能够证明的基础上理解记忆。
（2）要注意两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离之间的联系与区别。
确定两条直线间的距离要注意以下几点：①距离是指垂线段的长度，是大于0的；②平行线的位置确定后，它们之间的距离是定值，不随垂线段位置的改变而改变；③两条平行线间的距离处处相等，因此在做平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置。
平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底×高，其中任何一边都可以当底，高是这条边与对边之间的距离，即底确定，高也确定。
由于两条平行线间的距离处处相等，所以同底等高的平行四边形面积相等。
例1.如图所示，□ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（ ）
10cm B． 8cm C． 6cm D． 4cm
例2.如图所示，在□ABCD中，AB=6，BC=8。∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（ ）
A、2 B、3 C、4 D、6
知识点三：平行四边形的判定方法（重点，掌握）
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【知识拓展】
平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础。
以上判定方法应按边、角、对角线三个方面分类记忆，并与平行四边形的性质按边、角、对角线三个方面对比记忆，从而将平行四边形的判定与性质有机地联系起来。
判定方法可作为“画平行四边形”的依据。
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。
例1.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，求证四边形ABCD为平行四边形。
例2.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。
求证四边形FBED为平行四边形；
对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证△ABN≌△CDM。
知识点四：平分线等分线段的性质及三角形中位线的定义和定理（重点，掌握）
平分线等分线段的性质
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理
三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
【知识拓展】（1）平行线等分线段的性质是证明三角形中位线定理的依据。
（2）三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有对应的位置关系和数量关系。
三角形的中位线不同于三角形的中线，应从它们的定义加以区别。
在解题的过程中，如果出现多条线段的中点，常借助辅助线，构造三角形的中位线，使解题简便。
例1. 如图所示，点M、N分别是平行四边形ABCD中AB，CD的中点，CM交BD于E，AN交BD于F，求证BE=EF=FD。
例2.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB的中点，EF交AC于点H，则的值为
拓展练习
1、如图所示，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长。
如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若
BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A、4 B、6 C、8 D、10
如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，
∠CBD=23°，则∠COD是（ ）
A、61° B、63° C、65° D、67°
在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为
如图所示，在□ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为CD上一点，且DF=BE。过点F作FG⊥CD，交边AD于点G。求证DG=DC。
在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B丿处，AB丿和CD相交于点O。求证OA=OC。
如图所示，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF。求证∠BAE=∠CDF。
如图，BD是□ABCD的一条对角线。AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证
∠DAE=∠BCF。
如图所示，在□ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线BE，CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G。
求证：BE⊥CF；
AB=3，BC=5，CF=2，求BE的长。
如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于F。
求证△ADF≌△BFE；
若DF平分∠ADC，连接CE。试判断CE与DF的位置关系，并说明理由。
11、如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交与点B、D。求证四边形ABCD是平行四边形。
12、如图所示，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF经过点O，与AD、BC分别相交于点E、F，GH过点O，与AB、CD分别相交于点G、H，连接EG、FG、FH、EH。求证四边形EGFH是平行四边形。
13、如图所示，△ABC的三边长分别为a，b，c，它的三条中位线组成一个新的△A1B1C1,△A1B1C1的三条中位线组成一个新的△A2B2C2,，如此下去。
（1）求这个小三角形的周长．
（2）照上述方法继续做下去，到第n次时，这个小三角形的周长是多少？
14、如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF= 。
如图所示，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D丿处，折痕l交CD边于点E，连接BE。
求证四边形BCED丿是平行四边形。
若BE平分∠ABC，求证AB2=AE2+BE2.
如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF。
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
在□ABCD中，∠BAD的平分线AE分边BC为5cm和6cm两部分，求□ABCD的周长。
如图所示，在△ABC中，E、F分别为AC、AB上的点，BE、CF相交于点P，求证：AE+AF＞PE+PF。
如图所示，已知△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的一点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE，四边形CDEF是平行四边形吗？证明你的结论。当点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．
综合检测
1.如图所示，□ABCD对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A、AO=OD B、AO⊥OD C、AO=OC D、AO⊥AB
2.如图所示，在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
45° B. 55° C. 65° D. 75°
如图所示，□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌CDF，则添加的条件不能为（ ）
AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠2
如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E。∠CBD=90°，
BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
6、如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A. 13 B. 17 C. 20 D. 26
7、如平行四边形中两个内角度数比为1:2，则其中较大的内角是 度。
如图所示，在□ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长 cm。
如图所示，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD=4cm，则OE的长为 cm。
我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形。
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 _________ ；
（2）请证明你的结论．
如图所示，在□ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证CH=EH。
如图所示，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD。（1）求证四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证BD=MN。
如图所示，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF、CE。
求证AF=CE。
如图所示，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC，求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
如图所示，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC、CE，使AB=AC。
求证△BAD≌△ACE；
若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．
16、如图所示，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F。
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.

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