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培优点2　与球相关的“切”“接”问题
第八章　立体几何初步
14π

处理球的“接”问题的策略
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
3∶2
(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
√
√
P
I
D
A
C
B
如果是内切球；则球心到切点的距离相等
定球心
且为半径；如果是外接球，则球心到接点
的距离相等且为半径
选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽
可能的多包含球、儿何体的各种元素以及
作截面
体现这些元素间的关系)，达到空间问题平
面化的目的
求半径、
根据作出截面中的几何元素，建立关于球
下结论
半径的方程，并求解
0
B
1
0
2
0
2
A
T=1
B
0.
2
◆
●
☆
2
1
A
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与球相关的“切”“接”问题
类型一　几何体的外接球
　(1)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
(2)一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则该几何体外接球的体积为________．
【解析】　(1)依题意得，长方体的体对角线长为＝，
记长方体的外接球的半径为R，
则有R＝，因此球O的表面积为4πR2＝14π.
(2)设圆台的高为h，由轴截面的面积为6，
得＝6，解得h＝2，
设该圆台外接球的半径为R，
由题意得 ＋＝2，
解得R＝，
所以该几何体外接球的体积为
πR3＝π×＝π.
【答案】　(1)14π　(2)π
处理球的“接”问题的策略
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
类型二　几何体的内切球
　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为________．
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积为________．
【解析】　
(1)画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°，又∠PCB＝90°，所以CB＝PC＝r，PB＝2r，所以圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2.
(2)设球的半径为R，由R3＝，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a×sin ×＝1，所以a＝2，所以这个正三棱柱的体积V＝×(2)2×2＝6.
【答案】　(1)3∶2　(2)6
(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
1．已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：选A.设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝π，所以R3＝2，所以R＝，所以a＝2.
2．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.
如图，O为外接球球心，母线BB1长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝＝，所以外接球体积V＝π()3＝.故选B.
3．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以＝＝.
答案：
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
解析：
由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.
如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，
易知 AP＝×a＝a，OP＝a，
所以球的半径 R＝ OA 满足R2＝＋＝a2，
故 S球＝4πR2＝πa2.
答案：πa2
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与球相关的“切”“接”问题
类型一　几何体的外接球
　(1)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
(2)一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则该几何体外接球的体积为________．
处理球的“接”问题的策略
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
类型二　几何体的内切球
　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为________．
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积为________．
(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
1．已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为(　　)
A．2 B．
C． D．
2．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
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