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时间序列分析
第五章
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某蔬菜公司如何预测未来某个季度的蔬菜营业额？
某蔬菜公司为确定未来的发展计划，需要建立一个系统，这个系统将会使该公司能够至少提前一个季度预测出未来某个季度的蔬菜营业额。为建立这个系统，研究人员搜集了近三年12个季度的蔬菜营业额数据，如导入案例表和导入案例图所示。
导入案例
季度 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
营业额 y 250 320 370 340 270 335 410 360 290 365 435 395
导入案例表 某蔬菜公司三年12个季度蔬菜营业额（万元）
导入案例
导入案例图 某蔬菜公司三年12个季度蔬菜营业额
结合导入案例图来观察导入案例表中的数据，12个季度的蔬菜营业额是有波动的，有的季度营业额高一些，有的低一些。但这种波动又是具有某种规律性的，首先，各个季度的蔬菜营业额，大体上是沿着一个直线向上的方向上下波动，表现出一种长期稳定的上升趋势；其次，如果以一年为周期进行观察的话，每一年里各个季度的蔬菜营业额又都在按照某种固定的模式上下波动，第1季度最低，第2季度开始上升，第3季度继续上升，第4季度开始下降，显然这与一年里的四季更替有关。
导入案例
分析
研究人员已经意识到，在公司近三年12个季度的蔬菜营业额数据中，一定包含着蔬菜营业额未来变动的有用信息。关键是采用什么方法将其中的有用信息充分地挖掘出来，用之于蔬菜营业额未来变动情况的预测。通过本章的学习就能够找到答案。
目录
1
第一节 时间序列的基本问题
2
第二节 时间序列的水平分析
3
第三节 时间序列的速度分析
4
第四节 长期趋势与季节变动的测定
第一节 时间序列的基本问题
1
一
时间序列的基本问题
一、时间序列的含义及其分类
时间序列又称为动态序列，是指同一现象在不同时间上的观察值按照时间先后排列而形成的序列。
例如，表5-1列举了我国国内生产总值（GDP）从2008年至2013年的观察值，表5-2列举了我国人口从2008年至2013年的观察值。
年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013
国内生产总值/亿元 314045 340903 401513 472882 519470 568845
年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年末总人口/万人 132802 133450 134091 134735 135404 136072
表5-1 2008-2013年我国国内生产总值
表5-2 2008-2013年我国人口数
一
时间序列的基本问题
从表5-1和表5-2可以看出，时间序列形式上由现象的时间属性和现象在不同时间上的观察值两部分组成。根据观察时间的不同，现象所属的时间通常可以是年份、季度、月份或天，个别情况下可能是若干年（如五年、十年）、旬、周、小时等。根据表现形式的不同，现象的观察值可能是绝对数、相对数或者平均数。因此，根据观察值的表现形式的不同，时间序列可以分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。
（一）绝对数时间序列
绝对数时间序列是由一系列绝对数按时间的先后顺序排列而成的序列。它是时间序列中最基本的表现形式，用于反映现象在不同时间上达到的绝对水平。绝对数时间序列根据观察值所属的时间状况的不同，可分为时期序列和时点序列。
一
时间序列的基本问题
1．时期序列
时期序列包含的指标数值反映现象在一段时间内发展过程的活动总量，如工业总产值时间序列、商品销售额时间序列等。它的特点是：时期序列中的观察值具有可加性，各个观察值可以相加，用于表示现象在更长一段时期的活动总量；每一个观察值的大小与时期的长短有关，一般来说，时间越长，观察值就越大，反之就越小；时期序列中的每一个观察值通常都是通过连续不断地登记取得的。表5-1所示的时间序列就是一个时期序列。
一
时间序列的基本问题
2．时点序列
时点序列包含的观察值反映现象在某一瞬间时点上的总量，如人口数时间序列、土地面积时间序列、商品库存时间序列等。它的特点是：序列中的观察值不具有可加性，几个观察值相加后，无法说明这个数值是属于哪一个时点上的现象的数量，没有实际意义；序列中的数值大小与时间间隔长短没有直接关系；序列中的每个观察值通常是通过间隔登记方式取得的。表5-2所示的时间序列就是一个时点序列。
一
时间序列的基本问题
（二）相对数时间序列
相对数时间序列是由一系列相对数按时间的先后顺序排列而成的序列。它由绝对数时间序列派生而来，反映社会经济现象之间相互联系的发展过程。例如，把各个时期的商品流通费用额和商品销售额联系起来对比求得的流通费用率，或把各个时期的劳动生产率排列起来等就是相对数时间序列。表5-3所示的时间序列就是一个相对数时间序列。
年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年末总人口(‰) 5.89 5.28 5.17 5.08 4.87 4.79 4.79 4.95 4.92
表5-3 2005-2013年我国人口的自然增长率
一
时间序列的基本问题
（三）平均数时间序列
平均数时间序列是由一系列平均数按时间的先后顺序排列而成的序列。它反映现象一般水平的发展趋势。例如，各个时期职工的平均工资形成的时间序列、各个时期粮食平均亩产量形成的时间序列等都是平均数时间序列。平均数时间序列中各个观察值是不能相加的，相加没有意义。表5-4所示的时间序列就是一个平均数时间序列。
表5-4 2007-2013年我国人口的自然增长率
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年末总人口/万人 876 1095 1314 1490 1801 669 668
一
时间序列的基本问题
二、时间序列的编制原则
编制时间序列最重要和最基本的原则是可比性原则。所谓可比性，指的是时间序列中对应于不同时间的观察值可以相互比较，符合这一性质的时间序列才能够正确反映社会经济现象的变化过程和变化规律。具体地说，可比性包括以下几个方面：
（1）时间序列中各个观察值所属的时间长短应该一致。对于时间序列，因观察值的大小与时间长短直接相关，一般情况下，要求时期序列中各个观察值所属的时间长度应该一致。对于时点序列，虽然观察值与时点间隔没有直接关系，但是为了更好地反映现象发展变化的过程和规律，一般来说也应该尽可能使时点间隔相等。
一
时间序列的基本问题
（2）时间序列中各个观察值所反映现象的总体范围应该一致。无论是时期序列还是时点序列，观察值的大小都与现象总体范围有关系。如果随着时间的推移，现象总体范围发生了变化，在进行比较时就没有了意义，也就必须进行相应的调整。例如，地区的行政区划或部门隶属关系的变更，在变化发生的前后，如果观察值的计算范围不同，观察值就不能直接进行对比，也即需要进行相应的调整，使总体范围保持一致。
一
时间序列的基本问题
（3）时间序列中统计指标所包含的经济内容应该一致。在统计年鉴中统计指标的含义和内容随着时间的变化，有时也会发生变化。因此在编制时间序列时，需要进行调整，使前后指标包含的内容一致。
（4）时间序列中各指标的计量方式应该一致。在时间序列中，各项指标的计算口径、计算单位和计算方法应该前后一致，否则观察值就不能直接对比，需要进行相应的调整。
一
时间序列的基本问题
三、时间序列的作用
在社会经济统计中，编制和分析时间序列具有重要的作用，主要表现在以下几个方面。
（1）为分析和研究社会经济现象的发展速度、发展趋势及变化规律提供基本统计数据。
（2）通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化方向、速度和结果。
（3）对若干个相互联系的时间序列进行分析研究，可以揭示现象之间的联系程度和动态演变关系。
（4）建立数学模型，揭示现象的变化规律并对未来的发展趋势进行预测。
第二节 时间序列的水平分析
2
二
时间序列的水平分析
一、发展水平和平均发展水平
（一）发展水平
编制时间序列必须做进一步的动态分析。动态分析包括水平分析和速度分析。水平分析是速度分析的基础，水平分析指标主要有：发展水平、平均发展水平、增长水平和平均增长水平。
在时间数列中，各项具体的指标数值叫做发展水平或时间数列水平。它反映现象在不同时期所达到的水平，是计算其他动态分析指标的基础。
发展水平一般是指总量指标，如国内生产总值、年末人口数等；也可用相对指标来表示，如第三产业增加值占国内生产总值的比重等；或用平均指标来表示，如全国职工年平均工资等。
二
时间序列的水平分析
在时间数列中，由于发展水平所处的位置不同，有最初水平、最末水平、中间各项水平、基期水平和报告期水平之分。在时间数列中，第一个指标数值叫最初水平，最后一个指标数值叫最末水平，其余各指标数值叫中间各项水平。在对两个时间的发展水平作动态对比时，作为对比基础时期的水平称为基期水平，作研究时期的指标水平称为报告期水平或计算期水平。如果用符号 代表数列中各个发展水平，则就是最初水平，就是最末水平，其余就是中间各项水平。如表5-5所示。
二
时间序列的水平分析
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
进出口总额 21738 25616 22073 29728 36421 38668 41600
表 5-5 我国2007～2013年进出口贸易总额 单位：亿美元
表5-5中，2007年贸易总额21738亿美元是最初水平，2013年贸易总额41600亿美元是最末水平，其余各项数值为中间各项水平。如果2013年贸易总额与2007年进行对比，那么2007年贸易总额不仅是最初水平，也是基期水平，而2013年贸易总额不仅是最末水平，也是报告期水平或计算期水平。如果2011年贸易总额与2010年贸易总额对比，则2010年为基期水平，2011年为报告期水平。这是随着研究时间和目的的改变而改变的。
二
时间序列的水平分析
（二）平均发展水平
将不同时期的发展水平加以平均而得的平均数叫平均发展水平，在统计上又称为序时平均数或动态平均数。它与前面讲的一般平均数既有相同的一面，又有明显的区别。相同的是：二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平。区别是：第一，平均发展水平是同一现象在不同时期上发展水平的平均，从动态上说明其在某一段时间内发展的一般水平，它是根据动态数列来计算的；而一般平均数是同质总体内各单位标志值的平均，从静态上说明其在具体历史条件下的一般水平，它是根据变量数列来计算的。第二，平均发展水平是对同一现象不同时间上的数值差异的抽象化，而一般平均数是对同一时间总体某一数量标志值差异的抽象化。此外，平均发展水平还可解决时间数列中某些可比性问题，例如，由于各月的日历天数不同，会影响到企业总产值的大小，如果以计算出各月的每日平均总产值指标来进行对比，就具有可比性，更能反映总产值的发展变化情况。
二
时间序列的水平分析
序时平均数可根据绝对数时间数列计算，也可根据相对数时间数列或平均数时间数列来计算。绝对数时间数列序时平均数的计算方法是最基本的方法。现分别介绍如下：
1．由绝对数时间数列计算序时平均数
由于绝对数时间数列分为时期数列和时点数列，它们各具有不同性质，因而计算序时平均数的方法也就不一样。
1）由时期数列计算序时平均数
由于数列中各项指标数值相加等于全部时期的总量，所以可直接采用简单算术平均法，即用数列中各时期指标值之和除以时期项数即得序时平均数。其计算公式如下：
其中： 为序时平均数； 为各期发展水平;n为时期项数。
二
时间序列的水平分析
【例5-1】某地区2013年上半年各月货运量（包括铁路、公路、水运和民航货运量）资料如表5-6所示，求月平均货运量。
时期 1月 2月 3月 4月 5月 6月
货运量 1.720 1.543 1.725 1.757 1.817 1.876
表 5-6 某地区2013年上半年各月货运量 单位：亿吨
月平均货运量= （亿吨）
二
时间序列的水平分析
时点序列都是瞬间资料，在两个时点之间都有一定的间隔。严格地说，时点序列都是不连续的。但是，在社会经济统计实践中，由于资料所属时间的最小计算单位一般是“日”，如果时点数列的资料是逐日记录的，这样的时间序列就视为连续的时点序列；在实际统计工作中，对时点性质的指标，为了简化登记手续，往往每隔一定时间登记一次，时点定在月（季、年）初或末，这样的时点序列称为间断时点序列。两类时点序列序时平均数的计算方法有所不同，分述如下:
(1)连续时点序列序时平均数的计算。连续时点数列也分为间隔相等和间隔不相等两种情况。
①间隔相等的连续时点序列序时平均数的计算。如果掌握了整个研究时期中每天时点的资料，则可采用简单算术平均法，其计算公式如下：
2）由时点序列计算序时平均数
二
时间序列的水平分析
则该班本周出勤人数为：
（人）
②间隔不等的连续时点序列序时平均数的计算。如果掌握了一段时期中每次变动的资料（即只需在发生变动时记录即可），则可采用加权算术平均法，其计算公式如下：
其中, 为各时点水平所持续的间隔长度。
【例5-2】某班学生星期一至星期五出勤资料见表5-7。
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
人数/人 115 112 108 107 113
表 5-7 某班学生出勤资料
二
时间序列的水平分析
【例5-3】某企业2013年4月份职工人数资料见表5-8。
则该企业2013年4月份平均职工人数为:
(人)
日期（天） 1～5 6～13 14～26 27～30
职工人数（人） 364 368 372 360
（2）间断时点序列序时平均数的计算。间断时点数列也分为间隔相等和间隔不相等两种情况。
二
时间序列的水平分析
①间隔相等的间断时点数列序时平均数的计算。假设所研究现象在相邻两个时点数之间是均匀变动的，就可用两个相邻时点数的简单算术平均数得到这两个时点之间的序时平均数。由于间隔相等，无需加权，只需将所有两两相邻时点数的序时平均数再进行简单算术平均便可求得整个研究时期内的序时平均数。其计算公式如下：
其中，n为时点项数，其他符号同前。
由于这个公式采用的是“两头一半加中间除以项数减一”的办法，故称首末折半法。
二
时间序列的水平分析
则该企业2013年第二度月平均库存量为：
（件）
【例5-4】某企业2013年第二季度某成品库存量资料见表5-9。
时间 3月31日 4月30日 5月31日 6月30日
库存量（件） 3000 3300 2680 2800
②间隔不等的间断时点数列序时平均数的计算。如掌握的是间隔不等的间断时点资料，在间隔相等的间断时点数列的基础上需用不同的时点间隔长度作权数，用加权算术平均法计算平均发展水平，其公式如下：
其中， 为各时点间隔长度，其他符号同前。
二
时间序列的水平分析
则该商场2008年平均销售员人数为：
（人）
时间 1月1日 4月1日 9月1日 12月31日
销售员人数（人） 80 84 88 96
【例5-5】某商场2013年销售人数资料见表5-10。
必须指出，间断时点序列序时平均数的计算是假定所研究的现象在相邻时点之间的变动是匀速的。实际上现象的变化并非完全如此，所以其计算结果难免有误差，只是一个近似值。时点序列的间隔越大，这种假定性越大，其准确性就越差。
二
时间序列的水平分析
2．由相对指标时间序列计算序时平均数。
相对指标分为静态相对指标和动态相对指标，相应的时间序列就有静态相对指标时间序列和动态相对指标时间序列之分，这两类相对指标时间序列的性质不同，因而他们的序时平均数计算方法不大相同。在这里，仅介绍静态相对指标时间序列序时平均数的计算。动态相对指标时间序列序时平均数的计算在平均发展速度中介绍。
相对指标时间序列中的指标数值不能相加，因此，其序时平均数的计算不能由序列中的相对指标数值直接计算得到。由于相对指标是由两个相互联系的总量指标（或平均指标）对比得到的，故计算相对指标时间序列序时平均数时，必须先计算派生这个相对指标时间序列的两个总量指标（或平均指标）时间序列的序时平均数，然后再将两个序时平均数加以对比就得到相对指标时间序列的序时平均数。其计算公式如下：
二
时间序列的水平分析
则该企业2013年第二季度月平均计划完成程度为
式中， 代表相对指标时间序列的序时平均数； 代表分子时间序列的序时平均数； 代表分母时间序列的序时平均数。
应用这个公式的关键是计算 和 。根据对比的分子和分母指标的性质不同，相对指标时间序列计算又分为以下几种情况。
1）相对指标时间序列分子、分母都是时期序列
【例5-6】某企业2013年第二季度，即4～6月生产计划完成情况资料见表5-11。
时间 4月份 5月份 6月份
a实际产量/吨 1256 1367 1978
b计划产量/吨 1150 1280 1760
c产量计划完成程度（%） 109.2 106.8 112.4
二
时间序列的水平分析
2）相对指标时间序列分子、分母都是时点序列
【例5-7】某厂2013年第三季度（即7～9月）生产工人与职工人数资料见表5-12。
时间 6月30日 7月31日 8月31日 9月30日
a生产人数/人 645 670 695 710
b全体职工数/人 805 826 830 845
c生产工人占全体职工比重(%） 80.1 81.1 83.7 83.1
则该厂2013年第三季度月平均生产工人占全体职工比重为：
二
时间序列的水平分析
3）相对指标时间序列分子、分母中有一个时间数列和一个时点数列
【例5-8】某企业2013年第一季度，即1-3月劳动生产率资料见表5-13。
计算该企业2013年第一季度月平均劳动生产率及第一季度劳动生产率。
则该企业2013年第一季度每月平均劳动生产率为：
（百元/人）
时间 1月 2月 3月 4月
a产值（百元） 3000 3200 3400 —
b月初人数（人） 60 64 68 70
c劳动生产率（百元/人） 48.39 48.48 49.28 —
二
时间序列的水平分析
该企业2013第一季度劳动生产率有两种计算方式。一种用该企业2013年第一季度每月平均生产率乘月份个数 ，即 百元/人；另一种则采用下列公式计算：
(百元/人）
二
时间序列的水平分析
3．由平均指标时间序列计算序时平均数
平均指标时间序列有一般（静态）平均指标时间序列和动态平指标时间序列两种，这两种平均指标时间序列序时平均数的计算方法大不一样。
1）由静态平均指标时间序列计算序时平均数
静态平均指标时间序列，各项指标数值也是不能相加的，其指标数值也是由两个总量指标数值对比计算得到的，因此，其序时平均数的计算与静态相对指标时间序列序时平均数的计算是完全相同的。
【例5-9】某企业2013年第二季度，即4～6月工资总额及职工人数资料见表5-14。
日期 3月 4月 5月 6月
a工资总额（万元） — 85.5 84.8 86.2
b月末人数（人） 300 340 335 342
二
时间序列的水平分析
平均指标时间序列即平均工资时间序列虽然没有具体列出，但它是由工资总额时期序列和职工人数间隔相等的间断时点数列对比形成的。因此，该企业2013年第二季度月平均工资计算如下：
（万元/人）=2575（元/人）
（2）由动态平均指标时间序列计算序时平均数
动态平均指标时间序列序时平均数的计算方法有以下两种。
(1)当序列中各个时期的间隔相等时，可采用简单算术平均法计算序时平均数，其公式如下：
二
时间序列的水平分析
【例5-10】某企业2013年1-3月平均职工人数资料见表5-15。
则第一季度月平均职工人数为：
二是当序列中各个时期的间隔不等时，则以间隔长度为权数用加权算术平均法计算序时平均数，其公式如下：
时间 1月 2月 3月
平均职工人数（人） 380 385 390
表5-15 某企业2013年1-3月平均职工人数资料
（人）
二
时间序列的水平分析
则该旅游区2013年月平均人次为：
（万人次）
【例5-11】2013年某旅游区游客平均人数资料见表5-16。
时间 1～2月 3～5月 6～10月 11～12月
月平均人次（万人次） 30 25 37 20
二
时间序列的水平分析
二、 增长量与平均增长量
（一）增长量
增长量是报告期水平与基期水平之差，反映现象在一定时期内增长的绝对数量。
其计算公式为：增长量=报告期水平－基期水平。
增长量的计算结果有正负之分，正数表示增加（或增长），负数则表示减少（或降低）因此，增长量又称为增减量。
由于采用的基期不同，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，表明报告期较前一期增长的绝对量。而累计增长量是报告期水平与某一固定基期水平（通常为最初水平）之差，表明报告期较某一固定基期增长的绝对量。设时间序列为,则这两个指标可用公式表示如下:
逐期增长量： ， ，…,
累计增长量： , ，…，
二
时间序列的水平分析
（2）两个相邻的累计增长量之差等于报告期的逐期增长量，即:
逐期增长量和累计增长量之间存在这样的运算关系:
（1）逐期增长量之和等于相应时期的累计增长量，即:
例如
年份 2009 2010 2011 2012 2013
国内生产总值/亿元 340 903 401 513 472 882 519 470 568 845
逐期增长量/亿元 — 60 610 71 369 46 588 49 375
累计增长量/亿元 — 60 610 131 979 178 567 227 942
表 5-17 我国2009～2013年国内生产总值
二
时间序列的水平分析
逐期增长量之和=
=60610+71369+46588+49375
=227942（亿元）
两个相邻的累计增长量之差=
=227942－178567
=49375（亿元）
在统计实践中，为了消除季节变动的影响，常计算年距增长量指标，它是报告期水平与上年同期水平之差，表明报告期水平较上年同期水平增长的绝对量，其计算公式如下:
年距增长量=报告期水平－上年同期水平
二
时间序列的水平分析
【例5-12】某商店2013年第一季度梢售额为500万元，2012年第一季度销售额为450万元，则年距增长量为:
年距增长量=500－450=50（万元）
这说明该商店2013年第一季度销售额比上年同期增加了50万元。
（二）平均增长量
平均增长量是时间序列中逐期增长量的序时平均数，表明现象在一定时段内平均每期增长的绝对量。计算平均增长量可以将各逐期增长量相加除以逐期增长量个数，用简单算术平均法计算；也可以将累计增长量除以时间序列项数减1。用公式表示如下：
二
时间序列的水平分析
平均增长量也有正负之分，正值表示平均增加量（或增长量），负值表示平均减少量（或降低量）。若现象在一定时期内的逐期增长量大体相等，则其平均增长量可作为预测的依据。
【例5-13】根据表5-17中的资料计算平均增长量如下：
（亿元）
第三节 时间序列的速度分析
3
三
时间序列的速度分析
一、发展速度
发展速度描述现象在不同时间发展变化的程度，是报告期发展水平与基期发展水平之比。其计算公式如下:
由时序数列可以计算发展速度、增长速度、平均发展速度和平均增长速度。
由于采用的基期不同，发展速度可以分为定基发展速度和环比发展速度。
三
时间序列的速度分析
（一）定基发展速度
定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，说明现象在整个观察期内总的发展变化程度。若某个时间序列为，，，…，，，则定基发展速度用公式表示为：
， ，…… ，
（二）环比发展速度
环比发展速度是报告期水平与前一时期水平之比，说明现象逐期发展变化的程度。若某个时间序列为，，，…，，，则环比发展速度用公式表示为：
， ，…… ，
三
时间序列的速度分析
从计算公式中可以发现环比发展速度和定基发展速度之间存在一定的数量关系，即：
（1）环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度
（2）相邻2个时期的定基发展速度之商等于相应时期的环比发展速度，即：
三
时间序列的速度分析
【例5-14】表 5-18 所示的是某企业甲产品2008～2013年度销量及其定基发展速度和环比发展速度的计算。
年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013
销售量/万吨 50 56 60 64 70 78
定基发展速度（%） 100 112.0 120.0 128.0 140.0 156.0
环比发展速度（%） — 112.0 107.12 106.7 109.4 111.4
三
时间序列的速度分析
（三）年距发展速度
年距发展速度（或称为“同比发展速度”）是报告期发展水平与去年同期发展水平之比。它可以消除季节变动因素的影响，较确切地反映现象发展的速度。
三
时间序列的速度分析
【例5-15】某地区2013年第1季度钢产量为300万吨，2012年第1季度钢产量为240万吨，计算年距发展速度。
解：年距发展速度=
这说明2013年第1季度钢产量是上年同期产量水平的125%。
三
时间序列的速度分析
二、增长速度
增长速度是表明客观现象增长程度的相对指标。它可以根据增长量与基期发展水平对比求得，也可以根据发展速度来求得。公式如下：
-1
三
时间序列的速度分析
当发展速度大于1时，增长速度为正值，表明现象的增长程度，称为“增长率”；当发展速度小于1时，增长速度为负值，表明现象的降低程度，称为“降低率”。
由于基期的不同，增长速度也有环比增长速度和定基增长速度之分。
环比增长速度是将基期定为报告期的前一期，用报告期的增长量与前一期的发展水平对比而得，反映现象的逐期增长程度。用公式表示为：
三
时间序列的速度分析
定基增长速度是将基期固定为某一期，用报告期的增长量与固定基期的发展水平对比而得，反映现象在较长一段时间内的增长程度。用公式表示为：
从公式可以发现：
定基增长速度=定基发展速度－1
环比增长速度=环比发展速度－1
三
时间序列的速度分析
【例5-16】以2004～2013年我国国内生产总值为例，其发展速度和增长速度计算如表5-19所示。
表5-19
年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
国内生 产总值 /亿元 159878 183217 211924 257305 300670 340903 401513 472882 519470 568845
逐期 增长量 /亿元 — 23339 28707 45382 43364 40233 60610 71369 46588 49375
累计 增长量 /亿元 — 23339 52045 97427 140792 181025 241635 313004 359592 408967
环比发 展速度 （%） — 114.6 115.7 121.4 116.9 113.4 117.8 117.8 109.9 109.5
定基发 展速度 （%） — 114.6 132.6 160.9 188.1 213.2 251.1 295.8 324.9 355.8
环比增 长速度 （%） — 14.6 15.7 21.4 16.9 13.4 17.8 17.8 9.9 9.5
定基增长速度 （%） — 14.6 32.6 60.9 88.1 113.2 151.1 195.8 224.9 255.8

三
时间序列的速度分析
三、平均发展速度和平均增长速度
平均发展速度是某段较长时期内所属各环比发展速度的序时平均数，用来说明某社会经济现象较长时期内逐期平均发展变化的程度。平均增长速度是环比增长速度根据平均发展速度的内在联系计算的，平均增长速度=平均发展速度－100%。平均发展速度有两种计算方法，即几何平均法（也称为水平法）和方程式法（也称为累计法）。
三
时间序列的速度分析
此方法的计算依据：在基期发展水平的基础上，平均每期以 的速度发展，经过期后达到报告期的发展水平，那么 ，即：
（一）几何平均法
若以表示各时期环比发展速度，则：
三
时间序列的速度分析
【例5-17】根据表5-17中的资料计算我国1995～2005年卫生机构数平均发展速度和平均增长速度。
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
卫生机构数 190057 322566 315033 314097 300996 324771 330348 306038 291323 297540 298997
表 5-20
平均发展速度为：
平均发展速度为：
三
时间序列的速度分析
在计算和利用平均发展速度与平均增长速度说明问题时应注意：平均发展速度大于100%时，平均增长速度为正数，表明所研究的现象在一定时期内的逐期平均递增的程度；当平均发展速度小于100%时，平均增长速度为负数，表明所研究的现象逐期平均递减的程度。
几何平均法的计算特点是侧重考察数列中的最末水平，当现象在一段时期内的发展波动不大时，用几何平均法计算平均发展速度具有较高的代表性。
三
时间序列的速度分析
（二）方程式法
方程式法的基本思想是从最初水平出发，每期按照固定的平均发展速度发展，各期计划水平之和应等于到最后一期实际的累计水平。
其关系式如下：
若以 代表平均发展速度，则：
三
时间序列的速度分析
上式是一个高次方程，解得 的正根就是平均发展速度。解高次方程并非一件容易的事，因此用方程式法求解平均发展速度通常有两种方法。一种方法是查《平均增长速度查对表》求解；另一种方法就是采用计算机求解。
【例5-18】以某区域2008～2013年间用水总量资料（见表5-21）为例用《平均增长速度查对表》求平均发展速度。
即：
年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013
用水总量 5497.6 5567.4 5497.3 5320.4 5547.8 5633
表5-21 某地区用水量资料 （单位：亿立方米）
三
时间序列的速度分析
表 5-21 中：
从结果判断是递增还是递减，结果大于100 %，说明递增；若结果小于100 %，说明速度递减。
从查对表（见表5-22）找到同501.42%较接近的数就是515.2%，此数所在行查到的平均增长速度为1%，那么平均发展速度为1% +100%=101%。资料表明，某区域用水总量在2008～2013年每年递增1%。
总发展速度为：
=27565.9（亿立方米）
（亿立方米）
三
时间序列的速度分析
方程式法的计算特点是侧重考察各期发展水平的累计总和。当现象在一段时间内波动较大时，用此方法计算平均速度指标可以提高代表性。
注意，在分析问题时要把平均速度指标同总速度、分段速度和环比速度、速度指标与水平指标结合起来，才能作出比较确切和全面的认识。
平均年 增长（%） 5年发展水平总和 为基期的百分比（%） 平均年 增长（%） 5年发展水平总和 为基期的百分比（%） 平均年 增长（%） 5年发展水平总和
为基期的百分比（%）
1 515.2 11 691.3 21 918.3
2 530.8 12 711.5 22 944.2
3 546.8 13 732.3 23 970.8
4 563.3 14 753.5 24 998.0
5 580.2 15 775.4 25 1025.9
6 597.5 16 797.7 26 1054.4
7 615.3 17 820.7 27 1083.7
8 633.6 18 844.2 28 1113.6
9 652.3 19 868.3 29 1144.2
10 671.6 20 893.0 30 1175.6
表5-22 5年间年平均增长速度查对表
三
时间序列的速度分析
四、时间序列速度分析应注意的问题
应用速度指标分析社会经济现象时应当注意以下几点：
首先，时间序列中如果出现了零或负数，不宜用速度指标分析。例如，某企业连续4年利润额分别为10万元、－20万元、0.5万元，对于这样时间序列，要么无法计算速度指标进行分析，要么无法解释其实际意义。
其次，不能单纯看发展速度与增长速度，要把速度指标与绝对水平指标结合分析。一般而言，基期水平低，容易产生高速度；基期水平高，速度就相对低。因此，高速度可能掩盖低水平，而低速度又可能隐藏高水平。通常通过计算增长1%的绝对值来补充增长速度分析中的局限性。增长1%的绝对值是环比增长速度每增长1%的数量，计算公式为：
三
时间序列的速度分析
【例5-19】假定有甲、乙两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如表5-23所示。
解
年份 甲企业 乙企业
利润额（万元） 增长率（%） 利润额（万元） 增长率（%）
2012 2013 1000 1200 — 20 60 84 —
40
表5-23 甲、乙两个企业的有关资料
如果不看利润额的绝对值，仅就速度对甲、乙两个企业进行分析评价，可以看出乙企业的利润增长速度比甲企业高出1倍。如果就此得出乙企业的生产经营业绩比甲企业要好得多，这样的结论就是不切实际的。从利润的绝对额来看，两个企业的速度每增长1%所增加的利润绝对额是不同的。根据表5-20的资料计算，甲企业速度每增长1%，增加的利润额为10万元，而乙企业则为0.6万元，甲企业远高于乙企业。这说明甲企业的生产经营业绩不是比乙企业差，而是更好。
第四节 长期趋势与季节变动的测定
4
四
长期趋势与季节变动的测定
一、动态数列的构成因素
动态数列反映现象的发展变化。进行动态数列分析，除了考察现象发展过程中的水平和速度之外，还需要在定性认识的基础上用数学模型来对动态数列作定量分析，找出影响现象发展的基本因素或主要原因。社会经济现象多种多样，影响其发展的具体原因数不胜数。但就共同规律而言，影响现象发展变动的因素主要有长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四大因素。
四
长期趋势与季节变动的测定
（一）长期趋势（T）
长期趋势是指客观社会经济现象在一个相当长的时期内，由于受某种基本因素的影响按一定方向长期不断发展变化所呈现出来的一种基本趋势。尽管在这个时期内事物的发展有波动，但基本趋势不变。例如，股票市场的“牛市”和“熊市”。长期趋势可能呈现出不断向上增长的态势，也可能呈现出不断降低的趋势。
四
长期趋势与季节变动的测定
（二）季节变动（S）
季节变动是指由于自然条件的影响，社会经济现象在一年内或更短的时间内，随着季节的变化而引起的周期性变动。例如，农业生产资料和其他季节性商品的销售、旅游人数的变动等都有明显的季节性，而且年复一年呈规律性变动。季节变动一般以一年为周期，有的社会经济现象也有以一周、一月等为周期而变动的。
（三）循环变动（C）
季节变动是指由于自然条件的影响，社会经济现象在一年内或更短的时间内，随着季节的变化而引起的周期性变动。例如，农业生产资料和其他季节性商品的销售、旅游人数的变动等都有明显的季节性，而且年复一年呈规律性变动。季节变动一般以一年为周期，有的社会经济现象也有以一周、一月等为周期而变动的。
四
长期趋势与季节变动的测定
（四）不规则变动（I）
不规则变动是指社会经济现象在发展过程中受非确定性偶然因素的影响，而呈现的不规则变动，如天灾、战乱或自然灾害等。
动态数列的变动都是上述4种变动因素综合或其中一部分因素作用的结果。按照动态数列变动4类构成因素影响方式的不同，将这种关系一般可概括为两种不同的组合模型，即加法模型和乘法模型：
加法模型：
乘法模型：
式中
Y 代表动态数列的指标数值；
T 代表长期趋势的成分；
S 代表季节变动的成分；
C 代表循环变动的成分；
I 代表不规则变动的成分。
四
长期趋势与季节变动的测定
加法模型适用于4种因素存在相互独立的关系，此时动态数列的每一项指标值都是4种因素之和；乘法模型适用于4种因素存在相互影响的关系，此时动态数列的每一项指标值都是4种因素的乘积。
社会经济现象的发展变化，由于各种因素的变化是不确定的，因而客观事物在不同时间的发展具有很大的偶然性，但任何客观事物都有其内在本身的发展规律。如何探求其发展规律，掌握现象发展的本质特征，预测其发展趋势，是动态分析的一项重要工作。
四
长期趋势与季节变动的测定
二、长期趋势的分析与测定
由于受某种基本因素的影响，社会经济现象在一个相当长的时期内，总会呈现出增长、持平或下降的趋势。例如，我国国民生产总值、人均纯收入等近几年都呈现上升趋势；高新技术在生产中的应用使产品的单位成本、原材料消耗等呈现下降趋势。分析和预测长期趋势的意义在于：其一，能够把握现象的趋势变化，便于研究社会经济现象的规律性；其二，能够从数量方面来研究现象发展的规律性，探求合适的趋势线，为进行统计预测决策提供必要的条件；其三，测定长期趋势，可以消除原有动态数列中长期趋势的影响，以便更好地研究季节变动等问题。
四
长期趋势与季节变动的测定
在实际工作中，常把趋势分析与统计预测结合在一起。趋势分析与统计预测是现代化的管理方法，可以反映社会经济现象发展变化的规律，从而使我们对未来有比较科学的认识。通过预测可以为领导机关和管理部门制定正确的政策提供依据。
长期趋势的测定，就是运用一定的方法对动态数列进行修匀，排除季节变动、循环变动和不规则变动等因素的影响，显示出现变动的长期趋势。测定长期趋势的方法主要有时距扩大法、移动平均法和数学模型法。
四
长期趋势与季节变动的测定
（一）时距扩大法
时距扩大法是测定长期趋势最简便的一种方法。它是对原动态数列中较短的时距单位加以适当的合并，扩大每段计算包括的时间间隔，得出扩大了的较大时距单位的指标数值，形成新的动态数列，以消除原动态数列中受季节变动、循环变动和不规则变动等因素影响所引起的波动，显示出现象变动的长期趋势。
四
长期趋势与季节变动的测定
时距扩大法把较小单位扩大为较大单位时，要注意时间间隔的扩大程度要适度。间隔时间太短，难以排除偶然因素的影响；间隔时间太长，又会掩盖现象在不同时期发展变化的差异。间隔扩大到何种程度为宜，要根据原来数列的起伏程度和现象分析的具体特点而定，以能显示现象长期发展变化的趋势为宜。另外，前后扩大的时距应当一致，以便于相互比较，观察现象的发展趋势。
【例5-20】某农机厂2013年各月的产量如表5-24所示。
月份/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
产量/万台 100 140 120 160 140 180 200 190 180 210 220 200
表5-24 某农机厂2006年月产量
从表5-24中可以看出，各月的产量并不均匀，趋势不够明显，若将时距扩大为季度，情况如表5-25所示。
四
长期趋势与季节变动的测定
表 5-25 某农机厂2013年各季度产量
表5-25能够很明显地反映生产变动的总趋势是不断增长的。表中的总产量是时距扩大后按季度计算的总产量。利用总数来观察现象的发展趋势，只适用于时期数列。表中的平均月产量是时距扩大后计算的各间隔内的动态平均数。利用平均月产量也可以观察现象的发展趋势，这种方法既适用于时期数列，也适用于时点数列。
时距扩大法测定动态数列的长期趋势，其优点是简单易行，且其结果对做长期分析也很有用；缺点是把一个周期内数据变化的信息去掉了，不易用它做进一步的细致分析。可以说，时距扩大法是一种简单易行，但较为粗略的长期趋势测定方法。
季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
总产量/万台 360 480 570 630
平均月产量/万台 120 160 190 210
四
长期趋势与季节变动的测定
（二）移动平均数法
所谓移动平均，就是从数列的首项开始，按一定项数求序时平均数，逐项移动，边移动边平均，这样就可以得到一个由这些移动平均数构成的新的时间数列。由于取了平均数，因而意味着把一个个小总体内的差异抽象掉了。从图形上看，则是把一些由次要因素造成的不规则变动修匀了，如此，动态数列整体的趋势走向也就更明显了。一般来说，所选项数越多，修匀的作用越大，曲线就越平滑；项数越少，修匀的作用就越小。
如果数列中有自然周期，就以周期长度作为移动平均的项数。如果是季度资料，就取三项移动平均；是月度资料，就取十二项移动平均；是旬资料，可取三为项数。如果没有自然周期，使用奇数项最好。这样做的目的是为了保证平均值能与时间对应上，从而能够形成一对对数值，便于绘在直角坐标系中。如三项取平均，平均后的数值与第二项的位置相对应；五项平均，平均后的数值与第三项的位置相对应。
四
长期趋势与季节变动的测定
【例5-21】某个体企业历年固定资产总额资料如表5-26所示。
年份 固定资产总额 三项移动平均 五项移动平均
2001年 52 — —
2002年 57 55.0 —
2003年 56 60.3 59.6
2004年 68 63.0 63.6
2005年 65 68.3 66.2
2006年 72 69.0 70.4
2007年 70 73.0 74.4
2008年 77 78.3 80.2
2009年 88 86.3 84.8
2010年 94 92.3 88.8
2011年 95 93.0 93.0
2012年 90 94.3 —
2013年 98 — —
表5-26 某个体企业历年固定资产总额资料 单位：万元
四
长期趋势与季节变动的测定
现以 ， ， …，代表不同年份的固定资产总额 ， ， ,…， 代表移动平均后的固定资产总额， 代表移动的项数。采用三项移动平均，其计算公式为：
采用五项移动平均，其计算公式为：
例如：
四
长期趋势与季节变动的测定
.
.
.
又如：
=
=
=
四
长期趋势与季节变动的测定
从图5-1可以看出，五项移动平均后的数列三项移动平均后的数列更能显示现象的线性上升趋势。
如果采用偶数项，则平均后数值的位置在两个时间段的中间，为了整齐和便于绘图，必须再进行一次二项移正平均。
根据表5-26的资料绘成折线图，如图5-1所示。
图 5-1 固定资产总额折线图
四
长期趋势与季节变动的测定
【例5-22】某种产品各个时期在某地区的销售资料见表5-24。用移动平均法测定该数列的长期趋势。
时间 顺序 销售量 四项移动平均 二项移动平均
2009年 3季度 1 26 —
4季度 2 36 — —
2010年 1季度 3 10 22.0 22.25
2季度 4 16 22.5 22.50
3季度 5 28 22.5 22.70
4季度 6 36 23.0 23.50
2011年 1季度 7 12 24.0 24.50
2季度 8 20 25.0 26.00
3季度 9 32 27.0 27.50
4季度 10 44 28.0 28.50
2012年 1季度 11 16 29.0 29.75
2季度 12 24 30.5 31.25
3季度 13 38 32.0 33.75
4季度 14 50 35.5 36.75
2013年 1季度 15 30 38.0 —
2季度 16 34 — —
表 5-27 某种产品各个时期在某地区的销售资料 单位：万件
四
长期趋势与季节变动的测定
解该动态数列的每一个数值都是每个季度的销量。四个季度为一个周期，所以以四项为长度进行移动平均。
首先，将第一至第四项简单平均：
作为平均后的第一项置于四个数值中间，也就是在季度顺序第二项与第三项中间；然后，下移一项取平均，即第二项至第五项简单平均:
四
长期趋势与季节变动的测定
作为平均后的第二项，放在四个数值中间，也就是季度顺序第三项与第四项中间丢依此类推，直到算出最后一个移动平均数:
然后进行移动平均。由于项数取的是偶数项，所以以上计算结果均与时间错过半期，需要移动。可取二项进行移动平均。例如，（22.0+22.5）/2=22.25，放在二者中间，与原数列季度顺序第三项对齐；（22.5+22.5）/2=22.50，与原数列季度顺序第四项对齐；依此类推。经过二次移动平均形成的新的动态数列，比原数列少四项。新数列的数值一个比一个大，明显表现出现象的发展趋势。
四
长期趋势与季节变动的测定
（三）最小平方法
最小平方法又称最小二乘法，这是测定现象长期趋势比较常用的方法。其基本思路是：利用数学方法，配合一条较为理想的趋势线。这条趋势线必须满足两个条件：一是实际观测值与趋势值的离差平方和为最小值；二是实际观测值与趋势值的离差之和等于。在这两个条件中，第一条是最基本的条件。
在最小平方法配合趋势线之前，首先要对趋势线的形状进行判断，其方法是:
把原时间序列中的各个数值绘制到直角坐标图中，观察散点图的形状，如呈现直线变动，配合直线；如呈现曲线变动，配合曲线。有时也可以用近似方法判断：若观察值的一次差（逐期增长量）大体相同，可配合直线； 若二次差大体相同，可配合二次曲线；若观察值对数的一次差大体相同，可配合指数曲线；若观察值一次差的环比值大体相同，可配合修正指数曲线；若观察值对数一次差的环比值大体相同，可配合Gompertz曲线； 若观察值倒数一次差的环比值大体相同，可配合Logistic曲线。如果对同一时间序列有几种趋势线可供选择，以估计标准误差最小者为宜。这里仅介绍几种常用的趋势模型。
四
长期趋势与季节变动的测定
1．直线趋势模型
直线趋势线的一般形式为
设实际观测值为 ，根据最小平方法的要求，得：
式中，表示趋势值；a、b表示待定参数，a是直线的截距，b是直线的斜率，即t 每变动一个单位，平均增加或减少的量；t表示时间。
四
长期趋势与季节变动的测定
如果把Q看作待定参数a和b的函数，要令Q等于最小值，可对上式的a和b分别求偏导数，并使其等于0，即
经整理，可得到两个标准方程式：
式中，n表示时间序列项数。
解标准方程式，求得待定参数、的计算公式为：
四
长期趋势与季节变动的测定
【例5-23】根据某地区2007-2012年洗衣机产量见表5-28，配合直线趋势线，预测2014年洗衣机的产量。
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012
产量/千台 68 71 75 79 84 88
表 5-28 某地区2007-2012年的洗衣机产量
四
长期趋势与季节变动的测定
解（1）将计算所用数据列入计算表，如表5-29所示。
年份 产量 /千台 标准方程式法 简化计算法
2007 68 1 1 68 67.29 －5 25 －340 67.29
2008 71 2 4 142 71.37 －3 9 －213 71.37
2009 75 3 9 225 75.46 －1 1 －75 75.46
2010 79 4 16 316 79.54 1 1 79 79.54
2011 84 5 25 420 83.63 3 9 252 83.63
2012 88 6 36 528 87.71 5 25 440 87.71
合计 465 21 91 1699 465.00 0 70 143 465.00
表 5-29 最小平方法计算表
四
长期趋势与季节变动的测定
解方程组，得
(2)根据表5-26中的数据，得标准方程式：
则，直线趋势方程为：
（3）2014年的 =8，则2014年家用洗衣机的产量为
（千台）
将各年的 值代入所求方程式，可以得到各年洗衣机产量的趋势值（见表5-26）。可以验证实际观测值和趋势值的离差之和等于零。
四
长期趋势与季节变动的测定
例5-23中，从t的取值可以看出，直线趋势方程的原点取在时间序列的前一年，即2006年。如果把原点移到序列的正中间，求解a、b的标准方程式中， ，则标准方程式可以简化为
同样，a、b的计算公式也可简化为：
值得注意的是：在利用上述简化计算方法时，如果时间序列是奇数项，t的取值为…，－3，－2，－1，0，1，2，3，…；如是偶数项，t的取值为…，－5，－3，－1，1，3，5，…。
四
长期趋势与季节变动的测定
则直线趋势方程为：
【例5-24】根据某地区2007-2012年洗衣机产量见表5-28，配合直线趋势线，用简化计算方法预测2015年洗衣机的产量。
（1）将计算所用数据列入计算表，如表5-29所示。
（2）根据表5-29中的计算数据，直接求解a、b，得
解
(3)2014年的t=10，则2014年家用洗衣机的产量为
=77.5+2.0429×10=97.93(千台)
四
长期趋势与季节变动的测定
2．曲线趋势模型
曲线趋势的研究思路与直线趋势基本一样。可以用标准方程式求解，也可以用简化计算法求解。现实生活中，曲线类型很多，下面仅选择二次曲线和指数曲线进行讨论。
（1）二次曲线
二次曲线的一般方程式为
二次曲线方程式中，有a、b、c三个待定参数，根据最小平方法的要求，同样用求偏导数的方法，导出以下二个标准方程式：
四
长期趋势与季节变动的测定
同样，可能把坐标原点取在时间序列的正中间，使 =0， =0，上述标准方程式可以简化为
【例5-25】设某企业历年洗衣机产量资料如表5-30所示，其二次差大体相同，试配合二次曲线，并测试2015年企业的销售量。
年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
产量 988 1012 1043 1080 1126 1179 1239 1307 1382
表5-30 某企业2003-2011年的洗衣机产量
四
长期趋势与季节变动的测定
解 根据上述资料，利用简化计算法列计算表如表5-31所示，得到标准方程式：
表 5-31 最小平方法计算表 万台
年份 产量
2003 988 －4 －3952 16 15808 256 988.36
2004 1012 －3 －3036 9 9108 81 1011.69
2005 1043 －2 －2086 4 4172 16 1042.42
2006 1080 －1 －1080 1 1080 1 1080.53
2007 1126 0 0 0 0 0 1126.04
2008 1179 1 1179 1 1179 1 1178.93
2009 1239 2 2478 4 4956 16 1239.22
2010 1307 3 3921 9 11763 81 1306.89
2011 1382 4 5528 16 22112 256 1381.96
合计 10 356 0 2952 60 70 178 708 10 356.04
四
长期趋势与季节变动的测定
则二次曲线方程为：
解得:
将t=8代入上述方程式，预测2015年的销售量为
(万台)
四
长期趋势与季节变动的测定
（2）指数曲线
指数曲线方程式的一般形式为
将此方程式两边取对数化为直线形式，得
令 ,则
从而可按直线拟合的方法确定所需的指数曲线。
指数曲线方程式可转化为直线方程式：
四
长期趋势与季节变动的测定
把计算过程中所用数据列入表5-32中，并依据所列数据得简化方程式：
【例5-26】根据表5-32中某省2007-2012年各年平均人口数资料，各年人口增长速度大体一致，配合指数曲线，并预测2015年该省平均人口数。
年份 平均人数/万人 环比增长速度(%)
2007 6460.5 — －5 25 3.8103 －19.0515 6457.977
2008 6504.5 0.68 －3 9 3.8132 －11.4396 6503.261
2009 6547.0 0.65 －1 1 3.8160 －3.8160 6548.864
2010 6591.5 0.68 1 1 3.8190 3.8190 6594.786
2011 6644.0 0.80 3 9 3.8224 11.4672 6641.031
2012 6686.5 0.64 5 25 3.8252 19.1260 6687.599
合计 39434.0 — 0 70 22.9061 0.1051 39433.518
四
长期趋势与季节变动的测定
则，配合的指数曲线方程为：
从而，配合的直线趋势方程为：
求反对数得：
如果要预测2015年该省的年平均人口，t=10，预测结果为
（万人）
根据所求指数曲线方程，可以对应计算出某省2007—2012年每年平均人口的趋势值，很明显，实际观测值的和与趋势值的和近似相等。
=6571.785×
四
长期趋势与季节变动的测定
三、季节变动分析
季节变动是指社会经济现象受自然因素或社会因素的影响而形成的有规律的周期性变动，如人们常说的旅游淡旺季或销售淡旺季，再如农牧业生产中以农牧业产品为原料的加工工业的生产、农牧产品的购销或交通运输部门的客货运量等方面，因自然因素或社会因素的影响而带有明显的周期性变动。测定和分析季节变动的目的在于把握季节变动的规律，从而合理地组织生产、销售等各项经济活动。例如每年的五一假期、十一假期及春节假期，全国的交通部门掌握季节波动的规律，就可以早做安排，以组织好客流高峰的运输。
测定季节变动的方法常用的有两种：简单平均法、长期趋势剔除法。不管采用哪种方法，都需具备3～5个周期的资料，以消除偶然因素的影响，保证能比较客观地描述现象的季节变动规律。
四
长期趋势与季节变动的测定
（一）简单平均法
简单平均法也称为按月（季）平均法，该方法就是用简单平均方法计算季节指数，以季节指数反映季节波动的规律。计算步骤如下：
（1）分别计算各年同月（季）的平均数；
（2）计算若干年总的月（季）平均数；
（3）将各年同月（季）的平均数与若干年总的月（季）平均数相比，求得用百分数表示的各月（季）的季节比率（又称为季节指数），即
四
长期趋势与季节变动的测定
年份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 合计
2009 800.2 1101 840.9 950.7 1011 1006 1198 1241 941.7 1243 791.4 898 12022.9
2010 901 1290 1145 1047 1150 1178 1221 1421 1089 1487 1006 904 13837.1
2011 1016 1535 1280 1328 1366 1403 1521 1644 1218 1641 1174 1207 16331.8
合计 2717 3925 3266 3325 3527 3587 3940 4306 3248 4371 2971 3009 42191.8
月平均 季节 905.7 1308 1089 1108 1176 1196 1313 1436 1083 1457 990.3 1003 1171.994
指数% 77.3 112 92.9 94.6 100 102 112 122 92.4 124 84.5 85.6 1200.0
表5-33 某省2009-2011年接待国内游客人数的季节变动分析 单位：万人
【例5-27】某省2009-2011年各月接待国内游客人数资料见表5-33，计算各月的季节指数。
四
长期趋势与季节变动的测定
计算各月的季节指数：
=
解：运用简单算术平均的方法计算2009年、2010年和2011年1～12月各月的平均数（表5-33）；计算三年共36个月的平均数即总平均数，为1171.994万人（表5-33）。
四
长期趋势与季节变动的测定
其余各月的季节指数按此方法依次计算。
若时间序列没有偶然因素、季节因素的影响，那么每月的水平相同，总平均数与各月水平也相同，按季节比率的计算公式计算，各月的季节比率均为100%，那么12个月的季节指数之和为1200%，这就是表5-30右下角的1200%的含义。
由表5-30的资料可知，某省接待国内旅游者人数的旺季是每年的10月份和8月份，其季节指数分别为124%和122%；1月份和11月份为淡季，其季节指数分别为77%和84.50%，各年以这样的规律周而复始地变动。
四
长期趋势与季节变动的测定
（二）长期趋势剔除法
有些时间序列既有季节波动规律，也存在长期波动趋势，为了准确客观地反映季节规律，应该采用长期趋势剔除法测定季节波动规律。该方法是利用移动平均法测定并消除长期趋势后，再计算季节指数，以此来反映季节变动的规律。计算步骤如下：
(1)用12项（或四项）计算移动平均数即长期趋势值；
(2)剔除长期趋势：用时间序列各期数值除以长期趋势值；
(3)用简单平均法计算季节比率。
四
长期趋势与季节变动的测定
【例5-28】 根据表5-33的资料，用长期趋势剔除法计算季节指数。
解：
（1）因为是月份资料，所以用12项计算移动平均数即长期趋势值。由于是偶数项移动，因此要进行二次移动，见表5-34第（4）、（5）列。
（2）剔除长期趋势：用时间序列各期数值除以长期趋势值。由于移动平均之后，时间数列的前后各6项没有长期趋势值，所以从第7月开始计算。见表5-34第（6）列。
四
长期趋势与季节变动的测定
年度 月份 国内旅客人数y 一次移动趋势值y
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
2009 1 800.2 — — —
2 1100.6 — — —
3 840.9 — — —
4 950.7 — — —
5 1011.3 — — —
6 1006.2 — — —
7 1198.0 1001.9 1006.1 1.19
8 1241.1 1010.3 1018.2 1.22
9 941.7 1026.1 1038.7 0.91
10 1242.8 1051.4 1055.4 1.18
11 791.4 1059.4 1065.2 0.74
12 898.0 1070.9 1078.1 0.83
2010 1 901.0 1085.2 1086.2 0.83
2 1289.9 1087.1 1094.6 1.18
3 1144.8 1102.1 1108.2 1.03
4 1046.5 1114.3 1124.5 0.93
5 1149.5 1134.7 1143.7 1.01
6 1177.9 1152.6 1152.8 1.02
7 1220.6 1153.1 1157.9 1.05
8 1421.2 1162.7 1172.9 1.21
9 1088.5 1183.0 1188.7 0.92
10 1487.2 1194.3 1206.0 1.23
11 1006.0 1217.8 1226.8 0.82
12 904.0 1235.8 1245.2 0.73
表 5-34 用移动平均法剔除长期趋势的计算
年度 月份 国内旅客人数y 一次移动趋势值y
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2011 1 1015.8 1254.5 1267.0 0.80
2 1534.5 1279.6 1288.8 1.19
3 1280.0 1298.1 1303.5 0.98
4 1328.0 1308.9 1315.3 1.01
5 1365.9 1321.7 1328.7 1.03
6 1402.5 1335.7 1348.3 1.04
7 1521.1 1361.0 — —
8 1644.1 — — —
9 1217.8 — — —
10 1641.2 — — —
11 1173.5 — — —
12 1207.4 — — —
四
长期趋势与季节变动的测定
（3）用简单平均法计算季节比率：将剔除长期趋势后的比值按月排列，用简单平均法计算各月的季节指数。应该注意的是，如果由于计算中的四舍五入造成的误差，12个月的季节比率之和不等于1200%，则要进行调整。本例的具体做法是：计算调整系数=1200/1204=0.996678，用调整系数乘以各月的季节指数，得调整后的季节指数，见表5-35。应该用调整后的季节指数反映季节波动规律。
四
长期趋势与季节变动的测定
对比表5-35和表5-34的季节指数可见，两种方法的计算结果不同。从理论上说，长期趋势剔除法的结果更符合客观实际，因为它剔除了长期趋势的影响，能更准确地揭示季节波动的规律。
年份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 合计
2009 — — — — — — 1.19 1.22 0.91 1.18 0.74 0.83 6.07
2010 0.83 1.18 1.03 0.93 1.01 1.02 1.05 1.21 0.92 1.23 0.82 0.73 11.96
2011 0.8 1.19 0.98 1.01 1.03 1.04 — — — — — — 6.05
不均 0.815 1.185 1.005 0.97 1.02 1.03 1.12 1.215 0.915 1.205 0.78 0.78 1
季节 指数（%） 81.5 118.5 100.5 97.0 102.0 103.0 112.0 121.5 91.5 120.5 78.0 78.0 1204.0
调整后 的季节 指数% 81.2 118.1 100.2 96.7 101.7 102.7 111.6 121.1 91.2 120.1 77.7 77.7 1200.0
表 5-35 剔除长期趋势后季节指数计算表
1．简述时间序列的主要种类。
2．简述时期数列与时点数列的特点。
3．序时平均数与一般平均数有哪些共同点和区别？
4．测定季节变动的方法有哪些？它们有什么不同？
5．某商场2013年下半年销售额资料如下：
思考与练习
时间 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
销售额/万元 2180 2124 2198 2251 2159 2320 2450
根据以上资料，计算下半年平均销售额。
6．某商场2013年第二季度销售额资料如下：
思考与练习
时间 3月 4月 5月 6月
计划销售额/万元 2150 2200 2250 2300
实际销售额/万元 2200 2250 2280 2450
月末人数/人 520 522 521 524
请计算：
（1）第二季度平均实际销售额。
（2）第二季度平均职工人数。
（3）第二季度销售额平均计划完成程度。
（4）第二季度人均月销售额和销售额。
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