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微专题(二) 天体(或卫星)的两类典型问题(双星模型、卫星的变轨)
学习目标
1.理解双星模型的动力学特点，并能分析其运动规律．
2．会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后的速度变化．
关键能力·合作探究——突出综合性　素养形成
类型一　双星模型
归纳总结
1.“双星”模型
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体，不考虑其他天体的引力作用，在彼此间的万有引力作用下绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动，称为“双星”模型．
2．“双星”模型的分析方法
两颗星各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即：
对m1：＝r1　对m2：＝r2
3．“双星”模型的特点
(1)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
(2)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
(4)“双星”的运动周期T＝2π.
(5)“双星”的总质量公式m1＋m2＝.
典例示范　
例1 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O点做匀速圆周运动，如图所示．现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知万有引力常量为G.若AO>OB，则(　　)
A．星球A的线速度等于星球B的线速度
B．星球A所受向心力大于星球B所受向心力
C．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期增大
D．两星球的总质量等于
素养训练1　科学家发现．距离地球2 764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向．假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成．这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L，引力常量为G，则(　　)
A.因为OA>OB，所以m>M
B．两恒星做圆周运动的周期为2π
C．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，恒星A的周期缓慢增大
D．若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则恒星A的轨道半径将缓慢增大
素养训练2　银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图所示)．由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S1的质量为(　　)
A． B． D．
类型二　卫星的变轨
归纳总结
1.变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m.
(2)变轨运行
当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况：
①当F引＞m时，卫星做近心运动；
②当F引＜m时，卫星做离心运动．
2．变轨问题的两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动．
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)．
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小．
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小．
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道．
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．
　
典例示范
例2如图所示，某次发射同步卫星的过程如下，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
素养训练3　2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．关于探测器，下列说法正确的是(　　)
A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
　
随堂演练·自主检测——突出创新性　素养达标
1.2022年6月5日，我国用神舟十四号载人飞船顺利将陈冬、刘洋和蔡旭哲三名航天员送入太空．其发射过程示意图如图，椭圆轨道Ⅰ为转移轨道，圆轨道Ⅱ为神舟十四号和空间站组合体的运行轨道，A为椭圆轨道的近地点，轨道Ⅰ、Ⅱ相切于B点，则(　　)
A．神舟十四号在轨道Ⅰ上从A点运动到B点，加速度逐渐增大
B．神舟十四号在轨道Ⅰ上从A点运动到B点，线速度逐渐减小
C．组合体在轨道Ⅱ上运行的周期小于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行周期
D．组合体在轨道Ⅱ上运行的线速度小于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行线速度
2．宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍
3．(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在．该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小．若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等
C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小
D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
4．(多选)2020年7月23日，我国在海南文昌航天发射中心，成功将我国首个深空探测器天问一号火星探测器送上太空．探测器接近火星后，探测器需经历如图所示的变轨过程，轨道Ⅰ为圆轨道，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．探测器在轨道Ⅰ上P点的速度大于在轨道Ⅱ上的速度
B．探测器在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
C．探测器若从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，并已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
5．(多选)卫星回收过程的示意图如图所示，卫星在圆轨道1上运行，到达轨道的P点时点火变轨进入椭圆轨道2，到达轨道的Q点时，再次点火变轨进入圆轨道3.轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点．下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道2上的周期大于在轨道3上的周期
B．卫星在轨道1上的角速度小于在轨道3上的角速度
C．卫星在轨道1上的速率大于在轨道3上的速率
D．卫星在轨道1上经过P点时的速率小于在轨道2上经过P点时的速率
微专题(二)　天体(或卫星)的两类典型问题
(双星模型、卫星的变轨)
关键能力·合作探究
类型一
【典例示范】
例1　解析：双星围绕同一点同轴转动，其角速度、周期相等，由v＝rω可知，星球A的轨道半径较大，线速度较大，A错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知向心力大小相等，B错误；双星A、B之间的万有引力提供向心力，有G＝mAω2RA，G＝mBω2RB，其中ω＝，L＝RA＋RB，联立解得mA＋mB＝(RA＋RB)3＝，即T＝，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期也减小，C错误；根据C选项计算可得mA＋mB＝，D正确．
答案：D
素养训练1　解析：根据万有引力提供向心力有G＝m＝M，因为OA＞OB，所以m＜M，由于OA＋OB＝L，解得T＝2π ，当m增大时可知T减小，故A、C错误，B正确；根据m＝M，且OA＋OB＝L，解得OA＝，若恒星A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量m缓慢增大，其他量不变，则恒星A的轨道半径将缓慢减小，故D错误．
答案：B
素养训练2　解析：双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有G＝m2(r－r1)，解得m1＝.A对．
答案：A
类型二
【典例示范】
例2　解析：由G＝m＝mrω2得，v＝，ω＝，由于r1＜r3，所以v1＞v3，ω1＞ω3，A、B错；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，同理卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，C错，D对．
答案：D
素养训练3　解析：由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，由高轨道进入低轨道需要点火减速，A正确；根据开普勒第三定律＝，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝ 可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误．
答案：A
随堂演练·自主检测
1．解析：神舟十四号在轨道Ⅰ上从A点运动到B点，受到地球的引力逐渐减小，则加速度逐渐减小，A错误；神舟十四号在轨道Ⅰ上从A点运动到B点，即从远地点向近地点运动，由开普勒第二定律知，线速度减小，B正确；根据开普勒第三定律可知＝k，因在轨道Ⅱ上运行的轨道半径大于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行的半长轴，则组合体在轨道Ⅱ上运行的周期大于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行的周期，C错误；组合体从轨道Ⅰ上的B点要加速才能进入轨道Ⅱ，则在轨道Ⅱ上运行的线速度大于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行到B点时线速度，D错误．
答案：B
2．解析：任意两颗星之间的万有引力为F＝G，每一颗星受到的合力为F1＝F，由几何关系可知，它们的轨道半径为r＝L，合力提供它们的向心力＝m，联立解得v＝，A错误；根据＝ma，解得a＝，故加速度与它们的质量有关，B错误；根据＝m，解得T＝，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍， C正确；根据v＝ 可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度不变，D错误．
答案：C
3．解析：由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，它们的角速度ω相等，且有Fn＝mω2r可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由v＝ωr知，线速度之比为29∶36，A错误，B正确；设甲、乙两个黑洞质量分别为m1和m2，轨道半径分别为r1和r2，有＝m1()2r1，＝m2()2r2，联立可得＝，随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小，C正确；甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，由牛顿第二定律a＝可知，甲、乙两个黑洞的向心加速度大小a1∶a2＝29∶36，D错误．
答案：BC
4．解析：探测器在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使探测器减速到达轨道Ⅰ，则探测器在轨道Ⅰ上P点的速度小于在轨道Ⅱ上P点的速度，A、C错误；根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道上运动时半长轴越大其运行的周期越大，故B正确；根据万有引力定律可得G＝mω2R，根据ρ＝可得M＝ρπR3，联立解得ρ＝，所以当轨道Ⅰ贴近火星表面，并且已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，故D正确．
答案：BD
5．解析：根据开普勒第三定律，卫星在轨道2上的周期大于在轨道3上的周期，A正确；卫星绕中心天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力G＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝，由公式可知，半径越大，速度和角速度越小，B正确，C错误；从轨道1到轨道2 ，卫星在P点做逐渐靠近圆心的运动，要实现这个运动必须使卫星所需向心力小于万有引力，所以应给卫星减速，所以在轨道1上经过P点时的速率大于在轨道2上经过P点时的速率，D错误．
答案：AB(共29张PPT)
微专题(二)
天体(或卫星)的两类典型问题(双星模型、卫星的变轨)
学习目标
1 ．理解双星模型的动力学特点，并能分析其运动规律．
2．会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后的速度变化．
类型一　双星模型
归纳总结
1.“双星”模型
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体，不考虑其他天体的引力作用，在彼此间的万有引力作用下绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动，称为“双星”模型．
答案：D
答案：B
答案：A
类型二　卫星的变轨
归纳总结
1.变轨问题概述
2．变轨问题的两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动．
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)．
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小．
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小．
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道．
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
典例示范
例2如图所示，某次发射同步卫星的过程如下，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是(　　)
答案：D
素养训练3　2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．关于探测器，下列说法正确的是(　　)
A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
答案：A
A．神舟十四号在轨道Ⅰ上从A点运动到B点，加速度逐渐增大
B．神舟十四号在轨道Ⅰ上从A点运动到B点，线速度逐渐减小
C．组合体在轨道Ⅱ上运行的周期小于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行周期
D．组合体在轨道Ⅱ上运行的线速度小于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行线速度
1.2022年6月5日，我国用神舟十四号载人飞船顺利将陈冬、刘洋和蔡旭哲三名航天员送入太空．其发射过程示意图如图，椭圆轨道Ⅰ为转移轨道，圆轨道Ⅱ为神舟十四号和空间站组合体的运行轨道，A为椭圆轨道的近地点，轨道Ⅰ、Ⅱ相切于B点，则(　　)
答案：B
2．宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
答案：C
3．(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在．该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小．若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等
C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小
D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
答案：BC
4．(多选)2020年7月23日，我国在海南文昌航天发射中心，成功将我国首个深空探测器天问一号火星探测器送上太空．探测器接近火星后，探测器需经历如图所示的变轨过程，轨道Ⅰ为圆轨道，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．探测器在轨道Ⅰ上P点的速度大于在轨道Ⅱ上的速度
B．探测器在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
C．探测器若从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，并已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
答案：BD
5．(多选)卫星回收过程的示意图如图所示，卫星在圆轨道1上运行，到达轨道的P点时点火变轨进入椭圆轨道2，到达轨道的Q点时，再次点火变轨进入圆轨道3.轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点．下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道2上的周期大于在轨道3上的周期
B．卫星在轨道1上的角速度小于在轨道3上的角速度
C．卫星在轨道1上的速率大于在轨道3上的速率
D．卫星在轨道1上经过P点时的速率小于在轨道2上经过P点时的速率
答案：AB微专题(一) 水平面内和竖直面内的圆周运动问题
学习目标
1.会分析水平面的圆周运动的向心力来源，并能求解临界和极值问题．
2．会分析竖直面内的圆周运动的两种模型：绳模型和杆模型．
关键能力·合作探究——突出综合性　素养形成
类型一　水平面内的圆周运动
　
归纳总结
1.不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值fm时，物体运动的速度也达到最大，即fm＝，解得vm＝ .
2．与支持面或杆的弹力有关的临界问题
此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等．
3．绳子被拉断
质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Tm时，物体的速度最大，即Tm＝，解得vm＝ .这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度．
　
典例示范
例1 如图所示，在水平转台上放一个质量为M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力fm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(孔光滑)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到O孔的距离可能是(重力加速度g＝10 m/s2，木块、小球均视为质点)(　　)
A．16 cm B．5 cm
C．60 cm D．36 cm
素养训练1　餐桌上有一半径为40 cm的转盘，转盘上放着三个相同的碗，碗a和碗b在转盘边缘，碗c在距离转盘中心20 cm的位置，碗b装有一个苹果．若碗可看成质点，随转盘一起匀速转动．下列说法正确的是(　　)
A．转盘对三个碗的摩擦力大小一样
B．碗a和b的线速度始终相同
C．碗a和c的向心加速度大小之比为1∶2
D．若转速逐渐增大，碗a与碗b同时滑出
类型二　竖直面内的圆周运动
　
归纳总结
1.轻绳模型
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧的小球做圆周运动．
(1)临界状态．
小球在最高点时，绳子拉力(或压力)为零，小球只受重力．重力充当向心力，由mg＝m，得v＝.
(2)三种情况．
①v＝时，mg＝m，即重力恰好等于向心力，小球所受的拉力(或压力)为零．
②v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点．
③v>时，mg2．轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内的小球做圆周运动．
(1)临界状态．
小球在最高点时，轻杆弹力或轨道压力为零，小球只受重力．重力充当向心力，由mg＝m，得v＝.
(2)三种情况．
①v＝时，mg＝m，即重力恰好等于向心力，轻杆(或圆管)与小球间无作用力．
②v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球对轻杆(或圆管)有向下的压力，小球受到向上的支持力，mg－N＝m.
③v>时，mg　
典例示范
例2 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g取10 m/s2，求：
(1)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(2)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
素养训练2　
(多选)如图所示，长为r＝0.3 m的轻杆一端固定质量为m的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴(垂直于纸面)于O点连接．现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，已知转动过程中轻杆对小球的最大作用力为1.75mg，轻杆不变形，重力加速度g＝10 m/s2.下列判断正确的是(　　)
A．小球转动的角速度为5 rad/s
B．小球通过最高点时对杆的作用力为零
C．转动过程中杆对小球的作用力总是沿杆的方向
D．若将题目中的杆换成绳，则小球不能完成圆周运动
随堂演练·自主检测——突出创新性　素养达标　
1.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将(　　)
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
2.(多选)如图所示，小球P用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆转动．若转动角速度为ω，则下列说法正确的是(　　)
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
3.(多选)如图所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则(　　)
A．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
B．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
C．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
D．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
4.(多选)如图所示的装置中，质量均为m的小球A、B系在等长度的轻绳OA、OB下端，并都以转速n绕过O点的竖直轴在同一水平面内做匀速圆周运动，质量为2m的物块C静止不动；若将C换成质量为3m的物块D，要保证在系统稳定时，A、B仍绕过O点的竖直轴在同一水平面内以相同的转速做匀速圆周运动，同时D静止不动，则A、B的质量和两球做匀速圆周运动的转速n可以如何调整(　　)
A．增大A、B的质量，增大转速n
B．保持A、B的质量不变，增大转速n
C．减小A的质量，B的质量不变，减小转速n
D．增大A、B的质量，减小转速n
5．(多选)球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接，如图所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么(　　)
A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B．球A转动的半径是球B转动半径的一半
C．当A球质量增大时，球A向外运动
D．当ω增大时，球B向外运动
6.如图所示，水平长杆AB可绕过B端的竖直轴OO′匀速转动，原长l＝20 cm的轻弹簧一端系质量m＝0.4 kg的小球(视为质点)，另一端连在B端，已知小球与水平杆间的动摩擦因数μ＝0.4，弹簧的劲度系数k＝130 N/m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)当弹簧处于原长时，求杆的最大角速度ωmax；
(2)当弹簧伸长Δx＝5 cm时，求杆的角速度ω的取值范围．
微专题(一)　水平面内和竖直面内的圆周运动问题
关键能力·合作探究
类型一
【典例示范】
例1　解析：木块在水平面内转动时，水平转台对木块的支持力与木块自身重力相平衡，拉力与水平转台对木块的静摩擦力的合力提供木块做圆周运动的向心力．设木块到转台中心的距离为R，木块以角速度ω转动所需向心力为Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，此时转台对木块的摩擦力为零．若R1>R，Mω2R1>mg，转台对木块的摩擦力方向沿转台半径指向中心，由牛顿第二定律得f1＋mg＝Mω2R1，当f1＝fm时，R1最大．所以，木块到转台中心的最大距离为R1＝＝ m＝0.32 m；若R2答案：A
素养训练1　
解析：碗所受摩擦力提供向心力，则f＝mω2r，即fa＝mω2r、fb＝(m0＋m)ω2r、fc＝mω2×，故A错误；由v＝ωr可知，碗a和b的线速度大小相等，方向不同，故B错误；由公式a＝ω2r可知，碗a和碗c的向心加速度大小之比为2∶1，故C错误；当碗与转盘间的摩擦达到最大静摩擦时，有μmg＝r得ω0＝ ，由此可得，转动半径相同时，临界角速度相同，转速相同，所以碗a与碗b同时滑出，故D正确．
答案：D
类型二
【典例示范】
例2　解析：
(1)在最高点，对小球受力分析如图甲
由牛顿第二定律得mg＋F1＝
将v1＝4 m/s代入得轻绳拉力F1＝15 N
(2)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙
由牛顿第二定律得F2－mg＝
将F2＝45 N代入得v2＝4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s.
答案：(1)15 N　(2)4 m/s
素养训练2　
解析：当小球转至最低点时，轻杆对小球的作用力最大，则根据牛顿第二定律有Fm－mg＝mω2r，代入数据可得，小球转动的角速度为ω＝5 rad/s，故A正确；小球在最高点时，根据牛顿第二定律可得F＋mg＝mω2r，小球通过最高点时对杆的作用力为F＝－0.25mg，负号表示作用力方向与重力相反，即方向竖直向上，则小球在最高点受到杆竖直向上的支持力．若将杆换成绳，绳子在最高点不能提供支持力，则小球不能完成圆周运动，B错误，D正确；由于小球是做匀速圆周运动，则转动过程中，杆对小球的作用力不一定沿杆方向，小球的合外力提供向心力，一定沿杆方向，故C错误．
答案：AD
随堂演练·自主检测
1．解析：设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝，把v0＝代入得F＝0.说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确．
答案：D
2．解析：小球P的重力、绳子BP的张力及绳子AP中可能存在的张力的合力提供P做匀速圆周运动的向心力．用正交分解法求出小球P分别在水平、竖直两个方向受到的合力Fx合、Fy合，由牛顿运动定律列方程，Fx合＝mrω2，Fy合＝0，分析讨论可知A、B、C正确，D错误．
答案：ABC
3．解析：在最高点，若小球对内壁为压力，则mg－N＝，解得N＝mg－；若小球对外壁为压力，则mg＋N′＝，解得N′＝－mg，小球的速度大小不同，压力大小可能相同，故A错误，B正确；在最低点，根据牛顿第二定律可知N－mg＝，解得N＝＋mg，小球的速度大小不同，对管壁的作用力大小一定不同，故C正确，D错误．
答案：BC
4．解析：如果要保证在系统稳定时，A、B仍绕过O点的竖直轴在同一水平面内以相同的转速做匀速圆周运动，同时D静止不动，则A、B的质量相等，故C错误；以A、B为整体受力分析，有T＝2mg，即右侧绳子拉力与夹角，转速无关，只与A、B的质量有关，换上D后，绳子上的拉力增大，因此，需要增大A、B的质量，转速增大减小无影响，故A、D正确，B错误．
答案：AD
5．解析：因为杆光滑，两球间细线的相互拉力提供向心力，所以FA＝FB，故选项A错误；由F＝mω2r，mA＝2mB，得rB＝2rA，故选项B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，故选项C正确；当ω增大时，球B不动，故选项D错误．
答案：BC
6．解析：(1)对小球受力分析，知最大静摩擦力提供其做圆周运动所需向心力μmg＝l
解得ωmax＝2 rad/s.
(2)若小球离心趋势最大，受力分析可得
kΔx＋μmg＝(l＋Δx)
解得ω1＝9 rad/s
若小球向心趋势最大，受力分析可得
kΔx－μmg＝(l＋Δx)
解得ω2＝7 rad/s
则角速度ω的取值范围7 rad/s≤ω≤9 rad/s.
答案：(1)2 rad/s　(2)7 rad/s≤ω≤9 rad/s(共28张PPT)
微专题(一)
水平面内和竖直面内的圆周运动问题
学习目标
1．会分析水平面的圆周运动的向心力来源，并能求解临界和极值问题．
2．会分析竖直面内的圆周运动的两种模型：绳模型和杆模型．
典例示范
例1 如图所示，在水平转台上放一个质量为M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力fm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(孔光滑)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到O孔的距离可能是(重力加速度g＝10 m/s2，木块、小球均视为质点)(　　)
A．16 cm B．5 cm
C．60 cm D．36 cm
答案：A
素养训练1　餐桌上有一半径为40 cm的转盘，转盘上放着三个相同的碗，碗a和碗b在转盘边缘，碗c在距离转盘中心20 cm的位置，碗b装有一个苹果．若碗可看成质点，随转盘一起匀速转动．下列说法正确的是(　　)
A．转盘对三个碗的摩擦力大小一样
B．碗a和b的线速度始终相同
C．碗a和c的向心加速度大小之比为1∶2
D．若转速逐渐增大，碗a与碗b同时滑出
答案：D
类型二　竖直面内的圆周运动
归纳总结
1.轻绳模型
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧的小球做圆周运动．
典例示范
例2 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g取10 m/s2
(1)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(2)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
答案：15 N　
下列判断正确的是(　　)
A．小球转动的角速度为5 rad/s
B．小球通过最高点时对杆的作用力为零
C．转动过程中杆对小球的作用力总是沿杆的方向
D．若将题目中的杆换成绳，则小球不能完成圆周运动
素养训练2　
(多选)如图所示，长为r＝0.3 m的轻杆一端固定质量为m的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴(垂直于纸面)于O点连接．现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，已知转动过程中轻杆对小球的最大作用力为1.75mg，轻杆不变形，重力加速度g＝10 m/s2.
答案：AD
解析：当小球转至最低点时，轻杆对小球的作用力最大，则根据牛顿第二定律有Fm－mg＝mω2r，代入数据可得，小球转动的角速度为ω＝5 rad/s，故A正确；小球在最高点时，根据牛顿第二定律可得F＋mg＝mω2r，小球通过最高点时对杆的作用力为F＝－0.25mg，负号表示作用力方向与重力相反，即方向竖直向上，则小球在最高点受到杆竖直向上的支持力．若将杆换成绳，绳子在最高点不能提供支持力，则小球不能完成圆周运动，B错误，D正确；由于小球是做匀速圆周运动，则转动过程中，杆对小球的作用力不一定沿杆方向，小球的合外力提供向心力，一定沿杆方向，故C错误．
答案：D
2.(多选)如图所示，小球P用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆转动．若转动角速度为ω，则下列说法正确的是(　　)
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
答案：ABC
解析：小球P的重力、绳子BP的张力及绳子AP中可能存在的张力的合力提供P做匀速圆周运动的向心力．用正交分解法求出小球P分别在水平、竖直两个方向受到的合力Fx合、Fy合，由牛顿运动定律列方程，Fx合＝mrω2，Fy合＝0，分析讨论可知A、B、C正确，D错误．
3.(多选)如图所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则(　　)
A．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
B．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
C．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
D．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
答案：BC
4.(多选)如图所示的装置中，质量均为m的小球A、B系在等长度的轻绳OA、OB下端，并都以转速n绕过O点的竖直轴在同一水平面内做匀速圆周运动，质量为2m的物块C静止不动；若将C换成质量为3m的物块D，要保证在系统稳定时，A、B仍绕过O点的竖直轴在同一水平面内以相同的转速做匀速圆周运动，同时D静止不动，则A、B的质量和两球做匀速圆周运动的转速n可以如何调整(　　)
A．增大A、B的质量，增大转速n
B．保持A、B的质量不变，增大转速n
C．减小A的质量，B的质量不变，减小转速n
D．增大A、B的质量，减小转速n
答案：AD
解析：如果要保证在系统稳定时，A、B仍绕过O点的竖直轴在同一水平面内以相同的转速做匀速圆周运动，同时D静止不动，则A、B的质量相等，故C错误；以A、B为整体受力分析，有T＝2mg，即右侧绳子拉力与夹角，转速无关，只与A、B的质量有关，换上D后，绳子上的拉力增大，因此，需要增大A、B的质量，转速增大减小无影响，故A、D正确，B错误．
5．(多选)球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接，如图所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么(　　)
A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B．球A转动的半径是球B转动半径的一半
C．当A球质量增大时，球A向外运动
D．当ω增大时，球B向外运动
答案：BC
解析：因为杆光滑，两球间细线的相互拉力提供向心力，所以FA＝FB，故选项A错误；由F＝mω2r，mA＝2mB，得rB＝2rA，故选项B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，故选项C正确；当ω增大时，球B不动，故选项D错误．
6.如图所示，水平长杆AB可绕过B端的竖直轴OO′匀速转动，原长l＝20 cm的轻弹簧一端系质量m＝0.4 kg的小球(视为质点)，另一端连在B端，已知小球与水平杆间的动摩擦因数μ＝0.4，弹簧的劲度系数k＝130 N/m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)当弹簧处于原长时，求杆的最大角速度ωmax；
(2)当弹簧伸长Δx＝5 cm时，求杆的角速度ω的取值范围．
答案：7 rad/s≤ω≤9 rad/s

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