资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台(总课时09)§1.4角平分线（1）一.选择题：1．巳知点C在∠AOB的内部，下面的等式中，能表示OC是∠AOB的平分线的式子有（ ）①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOC=0.5∠AOB；④∠BOC=0.5∠AOB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（ ） A．17 B．18 C．20 D．253．如图2，AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P作PE⊥AB于点E若PE=2.5则两平行线AD与BC间的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．64．如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，则图中的全等三角形对数共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．如图4，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，则下列结论：①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正确的有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题：6．如图5，①已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有_______；②反之如果PM=PN，且_______________，那么OP平分∠AOB．7．如图6，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是______．8．如图7,已知BD丄AN于点B，交AE于点O，OC丄AM于点C，且OB= OC，如果∠OAB=25°，则∠ADB=____．9．如图8，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是_____．10．如图9，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数为__________．三.解答题:11．如图10，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．12．如图11，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．图3图2图5图6图7图8图9图10图1121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台(总课时09)§1.4角平分线（1）一.选择题：1．巳知点C在∠AOB的内部，下面的等式中，能表示OC是∠AOB的平分线的式子有（ D ）①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOC=0.5∠AOB；④∠BOC=0.5∠AOB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（C） A．17 B．18 C．20 D．253．如图2，AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P作PE⊥AB于点E若PE=2.5则两平行线AD与BC间的距离为（ C ）A．3 B．4 C．5 D．64．如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，则图中的全等三角形对数共有（C） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．如图4，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，则下列结论：①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正确的有（ D ）个A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题：6．如图5，①已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有PM=PN；②反之如果PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，那么OP平分∠AOB．7．如图6，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是_6_．8．如图7,已知BD丄AN于点B，交AE于点O，OC丄AM于点C，且OB= OC，如果∠OAB=25°，则∠ADB=40°．9．如图8，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是3cm．10．如图9，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数为①②③．三.解答题:11．如图10，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵∠C＝∠BAD，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．12．如图11，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．解（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP=CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP=EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，，∴BD=CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，，∴AD=AE，∵AB=6cm，AC=10cm，∴6+AD=10-AE，即6+AD=10-AD，解得AD=2cm．图3图2图5图6图7图8图9图10图1121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台(总课时09)§1.4角平分线（1）【学习目标】理解角平分线的性质定理及判定定理,并会运用定理解决简单问题.【学习重难点】角平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用.【导学过程】一.知识回顾1.你能利用折纸的方法得到一个角的平分线吗？将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论 2.你还记得角平分线上的点有什么性质吗 _________________________________________.二.探究新知探究一：角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∴△PDO≌______(___)．∴PD=___(_____________________)几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．∴PD=PE温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.探究二：角平分线的判定定理交换角平分线的性质定理的题设和结论得到的逆命题是什么？它是真命题吗？请你说明理由.逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知:如图2,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上证明：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP是∠AOB的角平分线．温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.三.典例与练习例1.如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴___平分∠BAC（_________________________________________________________）又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=______.在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，∴DE=___AD=___________（________________________________________________________________________）.练习1.如图4，AP平分∠BAC，∠C=90，若PC=2cm，则点P到AB边的距离是___cm.例2.如图5，已知：BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF交于点D，若BD=CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=______=90°，∠BDF=______,∵BD=CD,∴△BDF≌______（______）∴DF=___(________________________）又∵BE⊥AC，CF⊥AB∴AD平分∠BAC.(________________________)练习2.如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．四.课堂小结1.角平分线的性质定理：_________________________________.2.角平分线的判定定理：______________________________________________________.3.性质定理判定定理的关系五.分层过关1.已知点P在∠AOB的内部且点P到∠AOB两边的距离相等,若∠POB=45°,则∠AOB等于( )A.30° B.45° C.60° D.90°2.如图7，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．43.如图8，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）A．1 B．6 C．3 D．124.如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是 ___．5.如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8.求DE的长；6.已知：如图11，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上7.如图12，△ABC中，∠BAC=60，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE．其中正确的有_________．（填写序号）AOB对折翻折展开A(B)OOPD(E)PCCC图1∠1=___，∠PDO=_____=90°，OP=___，图2图3图5图4图6互逆点在角平分线上点到角的两边距离相等图7图8图9图10图11图1221世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台(总课时09)§1.4角平分线（1）【学习目标】理解角平分线的性质定理及判定定理,并会运用定理解决简单问题.【学习重难点】角平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用.【导学过程】一.知识回顾1.你能利用折纸的方法得到一个角的平分线吗？将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论 2.你还记得角平分线上的点有什么性质吗 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.二.探究新知探究一：角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．∴PD=PE温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.探究二：角平分线的判定定理交换角平分线的性质定理的题设和结论得到的逆命题是什么？它是真命题吗？请你说明理由.逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知:如图2,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL），∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．即：点P在在∠AOB的角平分线上．角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP是∠AOB的角平分线．温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.三.典例与练习例1.如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，∴DE=0.5AD=0.5×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.练习1.如图4，AP平分∠BAC，∠C=90，若PC=2cm，则点P到AB边的距离是2cm.例2.如图5，已知：BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF交于点D，若BD=CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=∠CED=90°，∠BDF=∠CDE,∵BD=CD,∴△BDF≌△CDE（AAS）∴DF=DE(全等三角形对应边相等）又∵BE⊥AC，CF⊥AB∴AD平分∠BAC.练习2.如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在△CDF与△EDB中，∵，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在△ACD与△AED中，∵，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．四.课堂小结1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角平分线上.3.性质定理判定定理的关系五.分层过关1.已知点P在∠AOB的内部且点P到∠AOB两边的距离相等,若∠POB=45°,则∠AOB等于(D)A.30° B.45° C.60° D.90°2.如图7，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(B)A．1 B．2 C．3 D．43.如图8，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（C）A．1 B．6 C．3 D．124.如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是 45 ．5.如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8.求DE的长；解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC＝8，∴AB=10，∵AD平分∠CAB，∴DE＝CD，AE=AC=6,设CD=DE=x,则BD=8-x,BE=10-6=4,在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2=BE2+DE2，即：（8-x）2=16+x2解得：x=3,∴DE＝3.6.已知：如图11，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上证明：作PE⊥AB，交AB延长线于E.PH⊥BC于H，PG⊥AC，交AC的延长线于点G，∵BP是外角平分线，∴PE=PH，∵PC是外角平分线∴PG=PH∴PM=PQ∴P在∠A的平分线上.7.如图12，△ABC中，∠BAC=60，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE．其中正确的有_①②④_．（填写序号）AOB对折翻折展开A(B)OOPD(E)PCCC图1∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，图2图3图5图4图6互逆点在角平分线上点到角的两边距离相等图7图8图9图10图11图1221世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 （导学案）§1.4角平分线（1）（学生版）.doc （导学案）§1.4角平分线（1）（教师版）.doc （课时练习）§1.4角平分线（1）（学生版）.doc （课时练习）§1.4角平分线（1）（教师版）.doc
资源列表