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(总课时10)§1.4角平分线（2）
【学习目标】能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
【学习重难点】利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.角形角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
用途：证明两条线段相等依据之一.
2.角形角平分线判定定理：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
用途：证明点在直线上(或直线经过某一点)依据之一.
二.探究新知
1.折一折：拿一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.观察这三条角平分线,你发现了什么
结论:三角形三个角的平分线相交于一点.
2.做一做：利用尺规作出三角形三个角的角平分线，观察这三条角平分线,你又发现了什么
结论:三角形三个角的角平分线相交于一点.
3.命题:三角形的三条角平分线相交于一点；并且这一点到三边的距离相等.
已知：已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PF=PE．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．且有：PD=PE=PF
结论：三角形的三条角平分线相交于一点；并且这一点到三边的距离相等.
三.典例与练习
例1.如图2，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．
解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB,∴DE=CD=4cm，
又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，
又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE,
在等腰Rt△BDE中，由勾股定理得，BD=4cm
∴AC=BC=CD+BD=4+4(cm).
(2)由(1)的求解过程易知:Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE
∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.
练习1.已知：如图3，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE
证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF，AE＝AF，∠CEB＝∠CFD＝90°
∵∠B+∠ADC＝180°,∠CDF+∠ADC＝180°∴∠B＝∠CDF∴△CBE≌△CDF（AAS）∴DF＝BE
∵AF＝AD+DF∴AF＝AD+BE,∴AE＝AD+BE
例2.直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
满足条件的有4处：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
练习2.如图4，已知Rt△ABC，∠C=90°，三内角平分线的交点P，
PD⊥BC于D点，PE⊥AB于E点，PF⊥AC于F点，求证：PD=（a+b-c）
证明：∵PD=PE=PF，∴由等面积易得ab=(a+b+c)×PD
即(a+b)2-a2-b2=2(a+b+c)×PD
(a+b)2-c2=2(a+b+c)×PD，(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)×PD
∴PD=(a+b-c)
练习3.已知：如图5，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)．
∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．
(2)∵OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”)．
四.课堂小结
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质 到三角形三个顶点距离相等 到三边的距离相等
五.分层过关
1.下列结论不正确的有：（ B ）
A在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个；
B.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个；
C.三角形三条角平分线交于一点；
D.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.
2.如图6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ D ）
A．DC＝DE，B．∠AED＝90°C．∠ADE＝∠ADC D．DB＝DC
3.如图7，在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.若BC=32，且BD∶DE=9∶7，则CD的长为14.
4.如图8，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12 cm，则DE的长是2.4cm.
5.如图9，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求证：AD=CD+AB．
证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．∴MC=ME．
得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．
同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．
6.如图10，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF.求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.
证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，
∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，
∴∠CAG=∠BAG=0.5∠BAC，
∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=0.5∠ACB，∠ABP=0.5∠ABC，
∴∠CPG=∠PAC+∠PCA=0.5（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=0.5（∠BAC+∠ABC），
∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=1/2（∠BAC+∠ACB）+0.5（∠BAC+∠ABC）
=∠BAC+0.5（180°-∠BAC）=90°+0.5∠BAC．
A
F
B
C
P
E
D
N
M
图1
图2
图3
图4
图5
图9
图6
图8
图7
图10
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(总课时10)§1.4角平分线（2）
一.选择题：
1.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( D )
A. 两角平分线交点在三角形内 B. 两角平分线的交点在第三个角的平分线上
C. 两角平分线交点到三边距离相等 D. 两角平分线交点到三个顶点的距离相等
2.如图1，O为△ABC内一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( B )
A. △BOD≌△BOF B. ∠OAD＝∠OBF C. ∠COE＝∠COF D. AD＝AE
3.如图2，已知△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是40，50，60，△ABC三条角平分线交于点O，
则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ B ）A. 2：3：4 B. 4：5：6 C. 3：4：5 D. 1：2：3
4.如图3，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接 AO并延长，交BC于点D，OH⊥BC于点H；若∠BAC=60°，OH=3cm，则OA=（ A ）
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
5.如图4，点P是Rt△ABC各内角平分线的交点，如果AB=3，BC=4，AC=5，PE⊥BC，那么PE=（ A ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
二.填空题：
6.如图5，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点I，连接AI，则∠BAI＝125°．
7.如图6,在△ABC中,N是三条角平分线的交点,EF⊥BN于点N,∠BAN=20°,∠ENA=30°,则∠FNC=20 .
8.如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P.若∠BPC＝40°，则∠CAB＝80°.
9.如图8，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60 ，则下列结论：①∠ABP=30 ；②∠APC=60 ；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论是：①②③④（填序号）
三.解答题:
10.如图9，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m，30m，40m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花．请你设计出一个方案，并说明你的理由．
方案：如图，分别作∠C和∠B的平分线，它们相交于点P，连接PA，
则△PAB，△PAC，△PBC的面积之比就是2∶3∶4.
理由：如图，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.
∵点P是∠C和∠B的平分线上的点，∴PE＝PF＝PH.∴S△ABP＝0.5AB×PE＝10PE，S△BCP＝0.5BC×PH＝20PH，S△ACP＝0.5AC×PF＝15PF，∴S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4.
11.如图10，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．
（1）证明：PC=PD．（2）若OP=4，求OC+OD的长度．
解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC=∠PFD=90°．
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，∴∠PCE＋∠PDO=360°－90°－90°=180°．
而∠PDO＋∠PDF=180°，∴∠PCE=∠PDF．
在△PCE和△PDF中，∵∠PCE=∠PDF，∠PEC=∠PFD，PE=PF，∴△PCE≌△PDF（AAS）∴PC=PD．
（2）∵∠AOB=90°，OM平分∠AOB，
∴△POE与△POF为等腰直角三角形，∴OE=PE=PF=OF．
∵OP=4，∴OE=．由（1）知△PCE≌△PDF，∴CE=DF，∴OC+OD=OE+OF=2OE=．
12.如图11，探究性问题如图11①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图11②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断FE与FD之间的数量关系．(不需证明)
(2)如图11③，在△ABC中，∠B＝60°，请问：你在(1)中所得到的结论是否仍然成立？
解：在OP上任找一点E，过点E分别作EC⊥OM于点C，ED⊥ON于点D，可得△OEC与△OED是以OP为对称轴的全等三角形，如图所示．(答案不唯一)
(1)FE＝FD.(2)仍然成立．
证明：过点F作FG⊥AB于点G，作FH⊥BC于点H，作FK⊥AC于点K.
∵AD,CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FK.
在四边形BGFH中，∠GFH＝360°－60°－90°×2＝120°.
∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∠B＝60°，∴∠FAC＋∠FCA＝0.5×(180°－60°)＝60°.
在△AFC中，∠AFC＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝180°－60°＝120°，
∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFD＝∠GFH，∴∠EFG＝∠DFH.
在△EFG和△DFH中，∵∠EFG＝∠DFH，FG＝FH，∠EGF＝∠DHF＝90°，
∴△EFG≌△DFH(ASA)，∴FE＝FD.
图4
图3
图2
图1
图8
图7
图6
图5
图9
图10
图11
H
G
K
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一.选择题：
1.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )
A. 两角平分线交点在三角形内 B. 两角平分线的交点在第三个角的平分线上
C. 两角平分线交点到三边距离相等 D. 两角平分线交点到三个顶点的距离相等
2.如图1，O为△ABC内一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )
A. △BOD≌△BOF B. ∠OAD＝∠OBF C. ∠COE＝∠COF D. AD＝AE
3.如图2，已知△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是40，50，60，△ABC三条角平分线交于点O，
则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ ）A. 2：3：4 B. 4：5：6 C. 3：4：5 D. 1：2：3
4.如图3，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接 AO并延长，交BC于点D，OH⊥BC于点H；若∠BAC=60°，OH=3cm，则OA=（ ）
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
5.如图4，点P是Rt△ABC各内角平分线的交点，如果AB=3，BC=4，AC=5，PE⊥BC，那么PE=（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
二.填空题：
6.如图5，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点I，连接AI，则∠BAI＝____．
7.如图6,在△ABC中,N是三条角平分线的交点,EF⊥BN于点N,∠BAN=20°,∠ENA=30°,则∠FNC=___.
8.如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P.若∠BPC＝40°，则∠CAB＝______°.
9.如图8，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60 ，则下列结论：①∠ABP=30 ；②∠APC=60 ；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论是：_________（填序号）
三.解答题:
10.如图9，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m，30m，40m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花．请你设计出一个方案，并说明你的理由．
11.如图10，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．
（1）证明：PC=PD．（2）若OP=4，求OC+OD的长度．
12.如图11，探究性问题如图11①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图11②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断FE与FD之间的数量关系．(不需证明)
(2)如图11③，在△ABC中，∠B＝60°，请问：你在(1)中所得到的结论是否仍然成立？
图4
图3
图2
图1
图8
图7
图6
图5
图9
图10
图11
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(总课时10)§1.4角平分线（2）
【学习目标】能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
【学习重难点】利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算.
【导学过程】
一.知识回顾
1.角形角平分线性质定理：________________________________________.
用途：证明两条线段相等依据之一.
2.角形角平分线判定定理：________________________________________________________.
用途：证明点在直线上(或直线经过某一点)依据之一.
二.探究新知
1.折一折：拿一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.观察这三条角平分线,你发现了什么
结论:___________________________________.
2.做一做：利用尺规作出三角形三个角的角平分线，观察这三条角平分线,你又发现了什么
结论:____________________________________.
3.命题:三角形的三条角平分线相交于一点；并且这一点到三边的距离相等.
已知：已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=___.
(_______________________________________)．同理：PF=___．∴PD=___．
∴点P在∠BAC的平分线上(_______________________________________________)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．且有：PD=___=___
结论：三角形的三条角平分线_________；并且___________________________.
三.典例与练习
例1.如图2，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．
解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB,∴DE=______，
又∵AC=BC，∴∠B=______，
又∵∠C=90°，∴∠B=____________，∴BE=DE,
在等腰Rt△BDE中，由勾股定理得，BD=______.
∴AC=BC=__________________.
(2)由(1)的求解过程易知:Rt△ACD≌Rt△AED(____)∴AC=____
∵BE=____=____,∴AB=______=______.
练习1.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE
证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝___，AE＝___，∠CEB＝___＝90°
∵∠B+∠ADC＝180°,___+∠ADC＝180°∴∠B＝___∴△CBE≌______（___）∴___＝BE
∵AF＝AD+DF∴AF＝AD+___,∴AE＝______
例2.直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
练习2.如图4，已知Rt△ABC，∠C=90°，三内角平分线的交点P，
PD⊥BC于D点，PE⊥AB于E点，PF⊥AC于F点，求证：PD=（a+b-c）
证明：∵PD=___=___，∴由等面积易得ab=______×PD
即(a+b)2-a2-b2=______×PD
(a+b)2-c2=______×PD，(a+b+c)(a+b-c)=_________×PD
∴PD=(a+b-c)
练习3.已知：如图5，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
四.课堂小结
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于_________一点 交于________一点
钝角三角形 交于_________一点
直角三角形 交于_________点
交点性质 到三角形________距离相等 到____的距离相等
五.分层过关
1.下列结论不正确的有：（ ）
A在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个；
B.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个；
C.三角形三条角平分线交于一点；
D.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.
2.如图6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DE，B．∠AED＝90°C．∠ADE＝∠ADC D．DB＝DC
3.如图7，在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.若BC=32，且BD∶DE=9∶7，则CD的长为___.
4.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12 cm，则DE的长是___cm.
5.如图9，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求证：AD=CD+AB．
6.如图10，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF.求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.
A
B
C
P
N
M
图1
图2
图3
图4
图5
图9
图6
图8
图7
图10
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