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项目五
静态分析技术
任务三　平均指标分析
任务要求
1. 掌握平均指标的概念及简单算术平均数、加权算术平均数的计算方法。
2. 掌握简单调和平均数、加权调和平均数、中位数和众数的计算方法。
任务引入
某校高职财会0906 班利用假期到某商场进行社会实践,同学们通过认真调查,获得有
关资料如下:
1. 某商场某月员工工资总额为180 000 元,员工总数为200 人,则该月员工的平均工资就是算术平均数。
2. 某商场家电部门有10 名员工,各员工月工资分别为:900、1 000、1 200、1 500、800、
900、1 150、1 050、1 200、1 350 元。
3. 某商场服装部门有20 名员工,其日销售量资料如表5. 3-1 所示。
任务描述
1. 计算算术平均数。
2. 计算简单算术平均数。
3. 计算加权算术平均数。
4. 计算中位数、众数。
思考：
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一、平均指标的概念、特点、种类和作用
(一) 平均指标的概念
平均指标又称统计平均数,是反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。
(二) 平均指标的特点
(1) 平均指标把总体各单位标志值的差异抽象化了。
(2) 平均指标是个代表值,代表总体各单位标志值的一般水平。
(三) 平均指标的种类
（1）算术平均数；（2）调和平均数；（3）几何平均数；（4）众数；（5）中位数。
前三种称为数值平均数，后两种平均数称为位置平均数。
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一、平均指标的概念、特点、种类和作用
(四) 平均指标的作用
(1) 平均指标可以反映总体各单位变量分布的集中趋势。
(2) 平均指标可以用来比较同类现象在不同单位发展的一般水平。
(3) 平均指标可以用来比较同一单位的同类指标在不同时期的发展状况。
(4) 平均指标还可以用来分析现象之间的依存关系等。
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二、强度相对指标与平均指标的区别
(1) 指标的含义不同。强度相对指标说明的是某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度;而平均指标说明的是现象发展的一般水平。
(2) 计算方法不同。强度相对指标与平均指标虽然都是两个有联系的总量指标之比,但是,强度相对指标分子与分母的联系,只表现为一种经济关系,而平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的比例关系,其分子与分母的联系是一种内在的联系,即分子是分母(总体单位)所具有的标志,对比结果是对总体各单位某一标志值的平均。
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三、平均指标的计算
(一) 算术平均数的计算
在实际工作中,由于资料的不同,算术平均数有两种计算形式,即简单算术平均数和加权算术平均数。
1. 简单算术平均数
（1）涵义：
简单算术平均数适用于未分组的统计资料,如果已知各单位标志值和总体单位数,可采用简单算术平均数方法计算。
（2）计算公式：
例如，某售货小组5 个人,某天的销售额分别为520、600、480、750、440 元,则平均每人日销售额为:
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三、平均指标的计算
(一) 算术平均数的计算
2. 加权算术平均数
（1）涵义：
加权算术平均数适用于分组的统计资料,如果已知各组的变量值和变量值出现的次数,则可采用加权算术平均数计算。
（2）计算公式：
例：已知某加工车间日产量资料如表5. 3-4 所示。
要求: 试以频数和频率为权数分别计算该车间日平均产量。
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三、平均指标的计算
(一) 算术平均数的计算
2. 加权算术平均数
解:
根据表5. 3-4 制作表5. 3-5。
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三、平均指标的计算
(二) 调和平均数的计算
在统计工作中,调和平均数常常被作为算术平均数的变形来使用。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种形式。
1、简单调和平均数的计算公式为:
2、加权调和平均数的计算公式为:
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三、平均指标的计算
(二) 调和平均数的计算
例: 某月某企业按工人劳动生产率高低分组的生产班组数和产量资料如表5. 3- 6所示。
试计算该企业工人平均劳动生产率。
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三、平均指标的计算
(二) 调和平均数的计算
解：列表计算,如表5. 3-7 所示。
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三、平均指标的计算
(二) 调和平均数的计算
加权算术平均数与加权调和平均数是计算平均指标时常常用到的两个指标。加权算术平均数中的权数一般情况下是资料已经分组得出分配数列的情况下标志值的次数。而加权调和平均数的权数是直接给定的标志总量。
在经济统计中,经常因为无法直接得到被平均标志值的相应次数的资料而采用调和平均数形式来计算,使调和平均数的计算结果与加权算术平均数的计算结果相同,所以：
式中,x 为变量值, x 为平均数,m 为标志值, f 为次数, Σf 为总次数。
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三、平均指标的计算
(二) 调和平均数的计算
在实际应用加权算术平均数时,需注意权数的选择。
应用平均指标必须注意的问题有:
(1) 计算和应用平均指标,必须注意现象总体的同质性。
(2) 用组平均数补充说明总平均数。
(3) 计算和运用平均数时,要注意极端数值的影响,因为算术平均数受极端数值的影响很明显。
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三、平均指标的计算
(三) 中位数的计算
Ⅰ、涵义：
将总体单位的某一数量标志的各个标志值按照大小顺序排列,居于中间位置的那个标志值就是中位数。
Ⅱ、计算：
根据所掌握资料的不同,有三种方法,现分述如下:
1. 根据未分组资料计算
(1) 先把标志值按大小顺序排列。例如,某部门有9 名员工,日销售量(单位:件)按大小顺序排列为:15、17、19、20、22、23、23、25、26。
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三、平均指标的计算
(三) 中位数的计算
1. 根据未分组资料计算
(2) 求中点位置。中点位置=( n +1)/2 ,n 代表标志值的个数(或总体单位数),中点位置=(9 +1)/2 =5,则中位数是第5 位上的标志值22 件。
如果标志值的个数为偶数,则应取中点位置上、下两个标志值的算术平均数为中位数。
例如,若上述部门为10 人,还有1 名员工的日销售量为31 件,这时中点位置= (10 +1)/2 =5. 5,则中位数为第5 名和第6 名员工日销售量的算术平均数,即:(22 +23)/2 =22. 5(件)。
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三、平均指标的计算
(三) 中位数的计算
2. 根据单项变量数列计算
(1) 先求出累计次数。累计次数可以按较小制累计,也可以按较大制累计,选择一种即可。例如,某部门员工销售某商品的有关资料如表5. 3-8 所示。
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三、平均指标的计算
(三) 中位数的计算
2. 根据单项变量数列计算
(2) 用(Σf + 1)/2 的公式,求出中位数的中点位置。中位数的中点位置=(72 +1)/2 =36. 5,即中位数在位置36. 5 上。
(3) 根据累计次数找出中位数。从累计次数栏里找出包括中点位置的累计次数,在表中较小制累计中是57,较大制累计中是49,则该累计次数所对应的标志值140 件即为中位数。
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三、平均指标的计算
(三) 中位数的计算
3. 根据组距数列计算
(1) 确定中位数所在组。要确定中位数所在组,首先要计算累计次数,然后用Σf/2 计算中点位置。它表明了在中点位置以左和以右所包括的单位数。先以某商场部门经理有关月收入的资料为例加以说明,如表5. 3-9 所示。
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三、平均指标的计算
(三) 中位数的计算
3. 根据组距数列计算
在本例中,中点位置= Σf/2 =300/2 =150,说明在中点位置以左和以右各有150 个单位。最后,找出包括中点位置的累计次数所对应的组,该组即为中位数所在组。在本例中,累计次数177 包括了中点位置150,则177 所对应的组1 400 ~1 600 元就是中位数所在组。
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三、平均指标的计算
(三) 中位数的计算
3. 根据组距数列计算
(2) 计算中位数的近似值。
中位数的近似公式为:
下限公式:
上限公式:
采用下限公式与上限计算中位数的结果是一致的,因此,选其中任何一个公式计算均可。
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想一想：
三、平均指标的计算
2021 年中国城市GDP 排名前六的情况
排名 城市 生产总值/ 亿元 增长率/ %
1 上海市 43 214. 85 8. 1(沪)
2 北京市 40 269. 6 8. 5(京)
3 深圳市 30 664. 85 6. 7(粤)
4 广州市 28 231. 97 8. 1(粤)
5 重庆市 27 894. 02 8. 3(渝)
6 苏州市 22 718. 34 8. 7(苏)
如何确定中位数
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三、平均指标的计算
(四) 众数
众数是指总体中出现次数最多的标志值。有时我们可以利用众数来说明社会经济现象的一般水平。
下面分别介绍在不同资料情况下众数的确定方法。
1. 根据单项变量数列计算
在单项变量数列条件下,确定众数比较简单。首先在次数栏里找到最大次数,然后找出最大次数这一组的标志值,这个标志值即为众数。
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三、平均指标的计算
(四) 众数
2. 根据组距数列计算
在组距数列条件下,众数的确定分两步进行:
第一步,找出众数所在组。最大次数所对应的组即为众数所在组。
第二步,根据公式计算众数。在众数所在组究竟哪个数值是众数,要根据众数的近似公式来计算。
众数的近似计算公式为:
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问题讨论：
三、平均指标的计算
中位数能够把总体平分为两个部分。总体中有一半单位的标志值小于中位数,一半单位的标志值大于中位数。众数是指总体中出现次数最多的标志值。中位数与众数有什么不同 在无明显集中趋势的情况下,两者的计算有何特性
能力测试：
某公司下属三个工厂的全年销售额和利润率如表5. 3-10 所示。
要求: (1) 计算利润率的简单算术平均数;
(2) 计算以销售额加权的平均利润率;
(3) 判定综合利润率是简单算术平均数还是加权平均数,并说明理由。
课后阅读与思考：
思考：
中国经济向好为全球经济复苏贡献强大动能
近期,中国经济年中“成绩单”陆续公布,多项主要经济指标释放积极信号:生产供给逐步回升,居民消费持续升温,外贸进出口增速提升,物价总体稳定在合理区间,吸收外资延续两位数增长……随着中国疫情防控形势持续向好,稳经济政策措施加快落地生效,中国经济正在稳步恢复。
外媒认为,中国经济复苏强于预期。在全球经济形势复杂严峻背景下,中国已成为“投资者的避风港”,将继续为全球经济复苏提供强大动能。
……
1. 请指出阅读材料中出现的静态指标及指标值。
2. 结合阅读材料,请你谈谈中国经济向好对世界经济发展的影响。
平均指标的概念、特点和种类
平均指标分析
强度相对指标与平均指标的区别
算术平均数的计算
调和平均数的计算
众数的计算
要点回顾
中位数的计算
平均指标的计算
《统计基础职业能力训练》
项目五 静态分析技术
任务三 平均指标分析：专业运用能力训练一——能力训练七，专业拓展能力训练题
关键概念：简单算术平均数、加权算术平均数
简单调和平均数、加权调和平均数
中位数、众数
课后训练
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项目五
静态分析技术
任务四　标志变异指标分析
任务要求
1. 理解标志变异指标的概念。
2. 掌握极差、平均差、标准差、标准差系数的计算方法。
任务引入
某工厂乙组工人日产量资料如表5. 4-1 所示。
任务描述
1. 计算乙组平均每个工人的日产量。
2. 计算乙组工人日产量的标准差。
思考：
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一、标志变异指标的概念
1、涵义：
标志变异指标又称标志变动度,它综合反映总体各个单位标志值的差异程度或离散程度。
2、作用：
第一,反映现象总体总单位变量分布的离中趋势；
第二,说明平均指标的代表性程度,标志变异指标愈大,其代表性越弱；
第三,测定现象变动的均匀性或稳定性程度,如产品质量稳定性、投资的风险程度等。
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想一想：
标志变异指标在统计分析中具有重要作用,那么在统计实际工作中如何体现标志变异指标的作用呢 你能举出哪些相应实例
一、标志变异指标的概念
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二、标志变异指标的种类和计算
经常使用的反映离散程度的标志变异指标包括极差(全距)、平均差、方差和标准差等。
(一) 极差(全距)
1、涵义：
极差(全距)是指一个数列中两个极端值即最大值和最小值之差,用字母R 表示。
2、计算公式：
极差(全距) = 最大标志值- 最小标志值
例：甲数列:　50、60、70、80、90,R =90 -50 =40
乙数列:　68、69、70、71、72,R =72 -68 =4
计算结果表明甲数列的极差(全距)远远大于乙数列的极差(全距)。
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二、标志变异指标的种类和计算
根据组距数列求极差(全距)的计算公式为:
极差(全距) = 最高组上限- 最低组下限
例:已知某加工车间日产量资料如表5. 4-3 所示。
极差(全距) = 最高组上限- 最低组下限=100 -60 =40(件)
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二、标志变异指标的种类和计算
(二) 平均差
1、涵义：平均差是各单位标志值对平均数的离差绝对值的平均数。
2、计算公式：
在资料经过分组后,平均差的计算公式为:
式中,x 为标志值, x 为算术平均数,n 为标志值的个数,f 为次数, Σf 为总次数。
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二、标志变异指标的种类和计算
(二) 平均差
例:某企业64 名员工按日销售量编制成变量数列,如表5. 4-4 所示。
将表中的有关数据代入平均差计算公式,得:
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二、标志变异指标的种类和计算
(三) 方差和标准差
方差的计算公式为：
式中,δ2 为方差,x 为变量值, x 为算术平均数,n 为总体单位数。
标准差也称为均方差,其计算公式为:
式中,δ 为标准差。
当资料是分组数据时,方差和标准差的计算可采用加权形式,其计算公式分别为:
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二、标志变异指标的种类和计算
(三) 方差和标准差
例：甲、乙两企业某年各月总销售额资料如表5. 4-5 所示。分别计算这两个企业的全年平均月销售额及月销售额分布的标准差。
相关知识
二、标志变异指标的种类和计算
(三) 方差和标准差
根据上述资料计算得到:
虽然甲、乙两个企业年销售额均为1 200 万元,月平均销售额也均为100 万元,但乙企业的标准差高达29. 149 0 万元,远大于甲企业的标准差3. 605 6 万元,说明乙企业的月销售额平均100 万元代表性差,各月销售额分布非常不均衡,有明显的前松后紧现象。
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二、标志变异指标的种类和计算
相关知识
二、标志变异指标的种类和计算
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二、标志变异指标的种类和计算
(四) 离散系数
1、涵义：
离散系数又称变异系数,是统计学中的常用指标,也是衡量资料中各观测值离散程度的一个统计量,主要用于比较不同水平的变量数列的离散程度及平均数的代表性。
2、应用：
当进行两个或多个资料离散程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。
如果度量单位和(或)平均数不同时,比较其离散程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较,此时计算出来的离散系数也称为标准差系数。
3、计算公式：
式中,V 表示离散系数(标准差系数),其他符号同前。
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二、标志变异指标的种类和计算
二、标志变异指标的种类和计算
(四) 离散系数
例: 甲、乙两个工厂生产某产品的相关计算资料见表5. 4-6。
从算出的标准差系数看,甲厂为3. 75%,乙厂为5%,甲厂小于乙厂的,所以可准确地判定甲厂工人平均月产量的代表性高于乙厂的。
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二、标志变异指标的种类和计算
(四) 离散系数
问题讨论：
A、B 两组各有6 位学生参加同一次语文测验,A 组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A 组的标准差为17. 08 分,B 组的标准差为2. 16 分,说明A 组学生之间的差距要比B 组学生之间的差距大得多。平均数与标准差的意义各有哪些
能力测试：
1. 某企业部门一和部门二各有10 名员工,日销售量如表5. 4-8 所示,分别计算两部分的平均差并说明两部门平均数的代表性大小。
能力测试：
2. 某企业员工月工资分组资料如表5. 4-9 所示。试计算方差和标准差。
课后阅读与思考：
思考：
标准差———选基金
标准差是一种表示分散程度的统计观念。标准差已广泛应用在股票以及共同基金投资风险的衡量上,主要是根据基金净值在一段时间内波动的情况计算而来的。一般而言,标准差越大,表示净值的涨跌越剧烈,风险程度也越大。实务的运作上,可进一步运用单位风险报酬率的概念,同时将报酬率的风险因素考虑在内。所谓单位风险报酬率是指衡量投资人每承担一单位的风险,所能得到的报酬,以夏普指数最常为投资人运用。
在投资基金上,一般人比较重视的是业绩,但往往买进了近期业绩表现最佳的基金之后,基金表现反而不如预期,这是因为所选基金波动度太大,没有稳定的表现。衡量基金波动程度的工具就是标准差。……
如何根据标准差规避基金投资风险
标志变异指标的概念
标志变异指标分析
又称标志变动度
三个作用
要点回顾
方差和标准差
标志变异指标的种类
极差(全距)
平均差
《统计基础职业能力训练》
项目五 静态分析技术
任务四 标志变异指标分析：专业运用能力训练一——能力训练六，专业拓展能力训练题
关键概念：极差(全距)、平均差、方差
标准差、标准差系数
课后训练
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