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第三单元 函数
第1节 平面直角坐标系及函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1平面直角坐标系 ☆ 平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查,分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。预计2024年各地中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大。
考点2点的坐标特征与变换 ☆☆
考点3 函数的概念 ☆☆☆
考点4 函数图象信息 ☆☆☆
1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征：
(1)各象限内点的坐标特征如图所示．
(2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
(3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为(x，0)，在y轴上为(0，y)．若在第一、三象限的角平分线上，则x＝y；若在第二、四象限的角平分线上，则x＋y＝0．
(4)坐标系内点的对称及平移：
点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称
对称点的坐标 (x，－y) (－x，y) (－x，－y)
将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x，y＋b)或(x，y－b)．
(5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
①平行于x轴的直线上，所有点的 纵 坐标相等．
②平行于y轴的直线上，所有点的 横 坐标相等．
2．函数与图象：
(1)函数的定义：
一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
(2)函数自变量的取值范围：
由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义．
(3)函数的三种表示方法：
①解析法；②列表法；③图象法．
(4)函数图象的画法：
①列表；②描点；③连线．
■考点一　平面直角坐标系的相关概念
◇典例1：（2023 港南区模拟）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（　　）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
【考点】坐标确定位置．
【答案】C
【点拨】根据猴山（﹣2，2）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定熊猫馆的位置．
【解析】解：如图所示：
熊猫馆的点的坐标是（1，3），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．
◆变式训练
1．（2023 延吉市一模）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示中海福商店的点的坐标是 　（﹣4，﹣3）　．
【考点】坐标确定位置．
【答案】（﹣4，﹣3）．
【点拨】根据弘义阁的点的坐标和本仁殿的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出中福海商店的点的坐标．
【解析】解：根据题意可建立如下坐标系：
由坐标系可知，表示中福海商店的点的坐标是（﹣4，﹣3），
故答案为：（﹣4，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
2．（2022 宁波模拟）以下能够准确表示宣城市政府地理位置的是（　　）
A．离上海市282千米 B．在上海市南偏西80°
C．在上海市南偏西282千米 D．东经30.8°，北纬18°
【考点】坐标确定位置；方向角．
【答案】D
【点拨】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【解析】解：能够准确表示宣城市政府地理位置的是：东经30.8°，北纬18°．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．
3．（2023 同心县模拟）如图是某片区平面示意图，超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标；
（3）若在（﹣3，﹣2）处建汽车站，在（2，﹣1）处建花坛，请在平面示意图中标出汽车站和花坛的位置．
【考点】坐标确定位置．
【答案】（1）见解析；
（2）体育场（﹣4，2）、火车站（﹣1，1），文化宫（0，﹣2）；
（3）汽车站和花坛的位置见解析图．
【点拨】（1）根据超市的坐标是（﹣2，4）建立坐标系即可；
（2）根据体育场、火车站和文化宫在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（3）在坐标系中找出（﹣3，﹣2），（2，﹣1）两点即可．
【解析】解：（1）如图；
（2）由图可知，体育场（﹣4，2）、火车站（﹣1，1），文化宫（0，﹣2）；
（3）汽车站和花坛的位置如图所示．
【点睛】本题考查的是坐标确定位置，根据题意建立坐标系是解题的关键．
■考点二 点的坐标特征与变换
◇典例2：（2023 西湖区二模）在平面直角坐标系中，点A（a，a2﹣1）在第二象限内，则a的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
【考点】点的坐标．
【答案】B
【点拨】根据第二象限内点的坐标特点可知：a＜0，a2﹣1＞0，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：∵点A（a，a2﹣1）在第二象限内，
∴a＜0，a2﹣1＞0，
∴a的取值可以是﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系、解不等式、点的坐标，解答本题的关键是明确第二象限内点的坐标符号是（﹣，+）．
2．（2021 丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（　　）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；生活中的平移现象；坐标与图形变化﹣平移；坐标确定位置．
【答案】C
【点拨】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5个单位．
【解析】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵A（﹣1，b），B（1，b），
∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，
∵C（2，b），D（3.5，b），
∴可以将点C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5个单位，
或可以将D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5个单位，
故选：C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
◆变式训练
1．（2023 婺城区模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【答案】B
【点拨】根据点A横纵坐标符号判定即可．
【解析】解：∵A（﹣2，3），﹣2＜0，3＞0，
∴点A（﹣2，3）在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查点所在象限，熟练掌握平面直角坐标系各象限内事业的坐标符号：第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）是解题的关键．
2．（2023 丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【答案】B
【点拨】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【解析】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（2023 临安区二模）若点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点成中心对称，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝﹣2 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【答案】D
【点拨】利用关于原点对称的点的坐标特点解答即可．
【解析】解：∵点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，
∴a＝﹣3，b＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
■考点三　函数的概念及自变量的取值范围
◇典例4：（2023 宁波模拟）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≤﹣2
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】A
【点拨】被开方数x+2大于0，求解即可．
【解析】解：根据题意，x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，一般考虑被开方数非负数，分母不等于0．
◆变式训练
1．（2023 龙湾区模拟）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的概念．
【答案】B
【点拨】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【解析】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此，选项B中的图象，表示y是x的函数，故B符合题意；
选项A、C、D中的图象，不表示y是x的函数，故A、C、D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
2．（2023 咸丰县一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2且x≠0 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2或x≠0 D．x＞﹣2
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【答案】A
【点拨】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，x≠0，
解得：x≥﹣2且x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．（2023 达州）函数y＝的自变量x的取值范围是 　x＞1　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】x＞1．
【点拨】由二次根式的被开方数大于等于0可得x﹣1≥0，由分式有意义的性质可得x﹣1≠0，即可求出自变量x的取值范围．
【解析】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣1≠0，
即x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
■考点四 函数图象信息题
◇典例5：（2022 台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【答案】C
【点拨】在不同时间段中，找出y的值，即可求解．
【解析】解：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，
吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，
吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【考点】函数的图象．
【答案】D
【点拨】根据图象逐个分析即可．
【解析】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
2．（2023 天台县一模）德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如表：
天数t … 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 …
波动值s … 0.3 0 0.3 1 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3 …
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点，连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当t＝14时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？
（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：根据研究，当s＞10时处于情绪高潮期，心情愉快；s＜10时为情绪低潮期，心情烦躁；s＝10时为临界日，心情平稳，若小海从出生到今天的天数为5501天，则今天他心情如何？
【考点】函数的图象．
【答案】（1）①见解析；
②当t＝14时，s＝10；当s的值最大时，t＝7；
（2）当0≤t≤7时，s随t的增大而增大；当7≤t≤21时，s随t的增大而减小；当s的值最大时，t＝7；当s的值最小时，t＝21；变化周期是28（答案不唯一）；
（3）小海属于情绪高潮期，心情愉快．
【点拨】（1）①根据所给表格数据结合已有图象利用描点作图方法完成作图即可；
②根据函数图象即可解答；
（2）结合函数图象即可写出；
（3）根据周期为28天可得5501÷28＝196 13，即当t＝13时，s＞10，以此即可解答．
【解析】解：（1）①补全该函数的图象如图所示，
②根据图象以及周期性易知当t＝14时，s＝10；
当s的值最大时，t＝7；
（2）当0≤t≤7时，s随t的增大而增大；当7≤t≤21时，s随t的增大而减小；当s的值最大时，t＝7；当s的值最小时，t＝21；变化周期是28（答案不唯一）；
（3）周期为28天，5501÷28＝196 13，
即当t＝13时，s＞10，所以小海属于情绪高潮期，心情愉快．
【点睛】本题主要考查函数的图象，读懂题意，正确理解函数图象，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
1．（2022 衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【答案】C
【点拨】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A点位置．
【解析】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，
∴点A（﹣1，﹣2）在第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键．
2．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【考点】坐标确定位置．
【答案】A
【点拨】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
3．（2022 萧山区模拟）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（　　）
A．北偏东30° B．钱塘明月4号楼301室 C．金惠路97号 D．东经118°，北纬40°
【考点】坐标确定位置；方向角．
【答案】A
【点拨】根据平面内的点与有序实数对一一对应对各选项进行判断．
【解析】解：塘明月4号楼301室、金惠路97号、东经118°，北纬40°都可确定物体位置，而北偏东30°只能确定方向，但不能确定具体物体的位置．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
4．（2023 拱墅区二模）点M（m，n）在y轴上，则点M的坐标可能为（　　）
A．（﹣4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣2，0） D．（0，2）
【考点】点的坐标．
【答案】D
【点拨】根据y轴上的点的横坐标为0判断即可．
【解析】解：∵点M（m，n）在y轴上，
∴m＝0，
∴（0，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握y轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
5．（2021 宁波一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】C
【点拨】根据被开方数大于等于0，得到关于x的一元一次不等式组，解之即可．
【解析】解：根据题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式有意义的条件以及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
6．（2022 南浔区一模）在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，﹣1），点B的对应点为B′（4，0），则点B的坐标为（　　）
A．（9，﹣1） B．（﹣1，0） C．（3，﹣1） D．（﹣1，2）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【答案】D
【点拨】利用点A与点A′的坐标特征得到平移的规律，然后利用此平移规律由B′点的坐标确定点B的坐标．
【解析】解：∵点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，﹣1），
∴线段A′B′是由线段AB先向右平移5个单位，再向下平移2个单位得到，
而点B的对应点为B′（4，0），
∴点B的坐标为（﹣1，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
7．（2022 椒江区二模）平面直角坐标系中，点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），则ab＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【答案】B
【点拨】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a＝﹣1，b＝3，再代入即可得到答案．
【解析】解：∵点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），
∴a＝﹣1，b＝3，
ab＝（﹣1）3＝﹣1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
8．（2023 浙江舟山）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【答案】D
【点拨】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【解析】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．
9．（2023 温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（　　）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
【考点】函数的图象．
【答案】B
【点拨】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【解析】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），
小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米
由图象可得：，
解得：x+y+z＝2700，
∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，
∴x+y＝2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
10．（2022 温岭市一模）如图，网格格点上三点A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为（a，b）、（c，d）、（a+c，b+d），则下列判断错误的是（　　）
A．a＜0 B．b＝2d C．a+c＝b+d D．a+b+d＝c
【考点】点的坐标．
【答案】C
【点拨】根据坐标平移可得，把点A向右2个单位再向上平移1个单位得到点B可得，把点A向右平移3个单位再向下平移1个单位得到点B，可得，即可算出a、b、c、d的值，计算即可得出答案．
【解析】解：根据坐标平移可得，
，
，
解得：a＝﹣1，b＝2，c＝2，d＝1，
∵a＝﹣1，∴a＜0，A选项正确，故A选项不符合题意；
∵b＝2d，∴B选项正确，故B选项不符合题意；
∵a+c＝﹣1+2＝1，b+d＝2+1＝3，∴a+c≠b+d，∴C选项不正确，故C选项符合题意；
∵a+b+d＝﹣1+2+2＝3＝c，∴D选项正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点到坐标，根据点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键．
11．（2023 衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 　（1，3）　．
【考点】点的坐标．
【答案】（1，3）．
【点拨】根据A、B两点的坐标确定平面直角坐标系的位置，即可得C点的坐标．
【解析】解：如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：
由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）．
【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的位置，属于基础题．
12．（2023 椒江区一模）若点P（a，b）在第二象限，则Q（﹣b，a）在第 　三　象限．
【考点】点的坐标．
【答案】三
【点拨】根据第二象限的坐标特征得到a＜0，b＞0，则﹣b＜0，然后根据第三象限的坐标特征对点Q进行判断．
【解析】解：∵点P（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴Q（﹣b，a）在第三象限．
故答案为三．
【点睛】本题考查了点的坐标：记住各象限内点的坐标特征以及坐标上点的坐标特征．
13．（2023 金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　（﹣5，4）　．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【答案】（﹣5，4）
【点拨】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．
【解析】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
14．（2023 诸暨市模拟）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）两点为“等距点”，则k的值为 　﹣或1　．
【考点】点的坐标；解一元一次方程．
【答案】﹣或1．
【点拨】根据题意可得：|k+3|＝4或|4k﹣3|＝4，然后分两种情况进行计算，即可解答．
【解析】解：∵P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）两点为“等距点”，
∴|k+3|＝4或|4k﹣3|＝4，
当|k+3|＝4时，
∴k+3＝±4，
解得：k＝1或k＝﹣7，
当k＝1时，k+3＝4，4k﹣3＝1，点Q（4，1）的“长距”等于4；
当k＝﹣7时，k+3＝﹣4，4k﹣3＝﹣31，点Q（4，1）的“长距”等于31，不符合题意，舍去；
当|4k﹣3|＝4时，
∴4k﹣3＝±4，
解得：k＝或k＝﹣，
当k＝时，k+3＝，4k﹣3＝4，点Q（4，1）的“长距”等于，不符合题意，舍去；
当k＝﹣时，k+3＝，4k﹣3＝﹣4，点Q（4，1）的“长距”等于4；
综上所述：k的值为﹣或1，
故答案为：﹣或1．
【点睛】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，分两种情况讨论是解题的关键．
15．（2021 舟山）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【考点】函数的概念；数学常识．
【答案】详见解析部分．
【点拨】（1）根据函数的定义，可直接判断；
（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．建议合理即可．
【解析】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．
【点睛】本题主要考查函数图象的应用，结合题干中“百米赛跑数学模型”读出图中的数据是解题关键．
16．（2022 宁波模拟）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 　1500　米，小红在商店停留了 　4　分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
【考点】函数的图象．
【答案】见试题解析内容
【点拨】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程．
【解析】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，
故小红在12﹣14分钟最快，速度为＝450（米/分）；
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米）．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
17．（2022 舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【考点】函数的图象．
【答案】（1）①见解答；②当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；（2）①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；②当x＝14时，y有最小值为80；（3）5＜x＜10或18＜x＜23．
【点拨】（1）①先描点，然后画出函数图象；
②利用数形结合思想分析求解；
（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明；
（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
【解析】解：（1）①如图：
②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；
（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：
①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x＝14时，y有最小值为80；
（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，
∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，
即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．
【点睛】本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键．
1．（2022 义乌市模拟）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【答案】B
【点拨】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解析】解：点（﹣1，2）的横坐标小于0，纵坐标大于0，点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（2023 柯城区校级一模）在平面直角坐标系中，点M（m﹣1，2m）在x轴上，则点M的坐标是（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（0，﹣1）
【考点】点的坐标．
【答案】B
【点拨】根据x轴上的点的纵坐标为0，得出m的值进而得出M的坐标．
【解析】解：点M（m﹣1，2m）在x轴上，则2m＝0，
解得m＝0，
∴M（﹣1，0），
故选：B．
【点睛】本题考查了x轴上的点的坐标特征，掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
3．（2022 拱墅区模拟）若点A（﹣1，n）在第二象限，则点A′（﹣1，﹣n）在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【考点】点的坐标．
【答案】C
【点拨】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数求出n的符号情况，然后求出点A′所在的象限即可．
【解析】解：∵点A（﹣1，n）在第二象限，
∴n＞0，
∴﹣n＜0，
则点A′（﹣1，﹣n）在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（2023 金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；关于原点对称的点的坐标．
【答案】B
【点拨】根据平移规律确定B′的坐标即可得出结论．
【解析】解：∵点B′由点B（1，2）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
∴此时B′坐标为（3，3）．
∴A与B′关于y轴对称．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．
5．（2022 台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（　　）
A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）
【考点】坐标与图形变化﹣对称；坐标确定位置．
【答案】B
【点拨】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解析】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，
∴飞机D的坐标为（﹣40，a），
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
6．（2022 龙港市模拟）在平面直角坐标系中，将第四象限的点M（a，a﹣3）向上平移2个单位落在第一象限，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】点的坐标．
【答案】B
【点拨】根据题意构建不等式解决问题．
【解析】解：由题意得：
，
解得1＜a＜3，
故a的值可以是2，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2023 黄石）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】C
【点拨】由题意可得x≥0且x﹣1≠0，解得x的取值范围即可．
【解析】解：由题意可得x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．（2023 内蒙古）若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【答案】B
【点拨】依据题意，由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，故m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0，从而判断m，n的符号可以得解．
【解析】解：由题意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0．
∴m，n异号，且m，n中绝对值较大的为正．
又m＜n，
∴m＜0，n＞0．
∴（m，n）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
9．（2023 宁波模拟）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原来的速度返回，父亲在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下列给出的图象中表示父亲离家距离与离家时间的函数关系是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象；函数的概念．
【答案】C
【点拨】由题意知，当x＝0时，y＝0；当x＝20时，y＝900；当x＝30时，y＝900；当x＝45时，y＝0；找出满足以上条件的图象即可．
【解析】解：由题意知，当x＝0时，y＝0；
当x＝20时，y＝900；
当x＝30时，y＝900；
当x＝45时，y＝0；
∴满足以上条件的函数关系为C选项，
故选C．
【点睛】本题考查了与路程问题有关的函数图象．解题的关键在于理解题意．
10．（2023 上城区模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（　　）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
【考点】函数的图象．
【答案】D
【点拨】根据函数图象逐项判断即可．
【解析】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意；
B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为＝0.08千米/分钟，故此选项错误，不符合题意；
C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意；
D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键．
11．（2023 嵊州市一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里，s表示离家路程，t表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【答案】D
【点拨】根据匀速行驶，可得路程随时间匀速增加，根据原地休息，路程不变，根据加速返回，可得路程随时间逐渐减少，可得答案．
【解析】解：由题意，得：
以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
12．（2023 杭州二模）点M（m+1，m+3）在y轴上，则点M的坐标为　（0，2）　．
【考点】点的坐标．
【答案】（0，2）．
【点拨】直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．
【解析】解：∵点M（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
故m+3＝2，
则点M的坐标为：（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特点是解题关键．
13．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 　x≠8　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：由题意得：x﹣8≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠8．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
14．（2023 贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 　（9，﹣4）　．
【考点】坐标确定位置．
【答案】（9，﹣4）．
【点拨】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标．
【解析】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，
龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）；
故答案为：（9，﹣4）．
【点睛】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标．
15．（2023 浙江二模）一辆汽车油箱内有油62升．如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化．
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y（升） 50 38 26 14
请根据表格中的数据写出y（升）与x（千米）之间的关系式y＝　62﹣0.12x　．
【考点】函数关系式．
【答案】62﹣0.12x
【点拨】根据题意列出算式，即可求出答案．
【解析】解：（50﹣38）÷（200﹣100）＝0.12（升/千米），
y＝62﹣0.12x．
故答案为：62﹣0.12x．
【点睛】本题考查了函数关系式，常量和变量等知识点，能根据题意列出函数关系式是解此题的关键．
16．（2022 丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　（，﹣3）　．
【考点】坐标与图形性质；多边形；中心对称图形．
【答案】（，﹣3）
【点拨】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题．
【解析】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3），
所以A点的坐标是（，﹣3），
故答案为：（，﹣3）．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
17．（2021 杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC 　＝　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
【考点】坐标与图形性质；直角三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】＝．
【点拨】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
【解析】解：连接DE，
由上图可知AB＝2，BC＝2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
又∵AE＝＝＝，
同理可得DE＝＝，
AD＝＝，
则在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE，
故答案为：＝．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形．
18．（2023 舟山三模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）请说明点D的实际意义．
（3）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
【考点】函数的概念．
【答案】（1）y是关于x的函数；理由见解答；
（2）点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%；
（3）见解答．
【点拨】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答；
（2）根据点的坐标的意义即可解答；
（3）提出一条合理的建议即可．
【解析】解：（1）根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，
∴y是关于x的函数；
（2）点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%；
（3）由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新．
【点睛】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键．
19．（2020 慈溪市模拟）小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示．请结合图象回答：
（1）①当t＝41秒时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②过山车所达到的最大高度是多少？
（2）请描述30秒后，高度h（米）随时间t（秒）的变化情况．
【考点】函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）①根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象即可得当t＝41秒时，h的值；
②结合图图象可得过山车所达到的最大高度是98米；
（2）根据图象分三段描述即可．
【解析】解：（1）①当t＝41秒时，h的值是15米．
它的实际意义为当时间为41秒时，过山车高度为15米；
②过山车所达到的最大高度是98米；
（2）当30＜t≤41时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而减小；
当41＜t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大；
当53＜t≤60时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而减小．
【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
20．（2023 兰山区一模）如图①和图②，并给出的关键信息有：哥哥、妹妹、家、书店．哥哥妹妹同时从家外出．
（1）请根据给出的关键信息以及两幅图，用精炼的语言创设一个问题情境，恰好能表达图①和图②中图象对应的函数关系．
（2）请根据（1）一种所创设的情境，用精炼的语言描述一下第30分钟时，两图中所表达的现实情境．
（3）请根据一中所创设的情境，第35分钟时图①和图②中速度更快的是填图①和图②．
【考点】函数的图象．
【答案】（1）哥哥和妹妹以相同的速度同时从家外出，20分钟后到达距离家900米的书店．哥哥到达书店后，立即以原来的速度返回家中（如图①），妹妹留在书店看了10分钟书后加快了速度返回家中（如图②）；
（2）第30分钟，哥哥在返回家的途中（或在离家450米处等），妹妹即将开始返程回家（或仍在离家900米处等）；
（3）图②．
【点拨】（1）根据给出的关键信息以及两幅图，用语言创设一个问题情境即可；
（2）根据（1）一种所创设的情境，进行回答即可；
（3）根据图象回答即可．
【解析】解：（1）哥哥和妹妹以相同的速度同时从家外出，20分钟后到达距离家900米的书店．哥哥到达书店后，立即以原来的速度返回家中（如图①），妹妹留在书店看了10分钟书后加快了速度返回家中（如图②）．
（2）第30分钟，哥哥在返回家的途中（或在离家450米处等），
妹妹即将开始返程回家（或仍在离家900米处等），
（3）根据图象可以得出：第35分钟时图①和图②中速度更快的是图②．
【点睛】本题考查了函数的图形，解决本题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
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第三单元 函数
第1节 平面直角坐标系及函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1平面直角坐标系 ☆ 平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查,分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。预计2024年各地中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大。
考点2点的坐标特征与变换 ☆☆
考点3 函数的概念 ☆☆☆
考点4 函数图象信息 ☆☆☆
1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征：
(1)各象限内点的坐标特征如图所示．
(2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到坐标原点的距离为 ．
(3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为 ，在y轴上为 ．若在第一、三象限的角平分线上，则 ；若在第二、四象限的角平分线上，则 ．
(4)坐标系内点的对称及平移：
点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称
对称点的坐标
将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为( ，y)或( ，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x， )或(x， )．
(5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
①平行于x轴的直线上，所有点的 坐标相等．
②平行于y轴的直线上，所有点的 坐标相等．
2．函数与图象：
(1)函数的定义：
一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的 ，x叫做 ．
(2)函数自变量的取值范围：
由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使 有意义．
(3)函数的三种表示方法：
① ；② ；③ ．
(4)函数图象的画法：
①列表；② ；③连线．
■考点一　平面直角坐标系的相关概念
◇典例1：（2023 港南区模拟）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（　　）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
◆变式训练
1．（2023 延吉市一模）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示中海福商店的点的坐标是 　　．
2．（2022 宁波模拟）以下能够准确表示宣城市政府地理位置的是（　　）
A．离上海市282千米 B．在上海市南偏西80°
C．在上海市南偏西282千米 D．东经30.8°，北纬18°
3．（2023 同心县模拟）如图是某片区平面示意图，超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标；
（3）若在（﹣3，﹣2）处建汽车站，在（2，﹣1）处建花坛，请在平面示意图中标出汽车站和花坛的位置．
■考点二 点的坐标特征与变换
◇典例2：（2023 西湖区二模）在平面直角坐标系中，点A（a，a2﹣1）在第二象限内，则a的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（　　）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
◆变式训练
1．（2023 婺城区模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023 临安区二模）若点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点成中心对称，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝﹣2 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
■考点三　函数的概念及自变量的取值范围
◇典例4：（2023 宁波模拟）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≤﹣2
◆变式训练
1．（2023 龙湾区模拟）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 咸丰县一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2且x≠0 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2或x≠0 D．x＞﹣2
3．（2023 达州）函数y＝的自变量x的取值范围是 　　．
■考点四 函数图象信息题
◇典例5：（2022 台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023 自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
2．（2023 天台县一模）德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如表：
天数t … 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 …
波动值s … 0.3 0 0.3 1 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3 …
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点，连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当t＝14时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？
（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：根据研究，当s＞10时处于情绪高潮期，心情愉快；s＜10时为情绪低潮期，心情烦躁；s＝10时为临界日，心情平稳，若小海从出生到今天的天数为5501天，则今天他心情如何？
1．（2022 衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
3．（2022 萧山区模拟）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（　　）
A．北偏东30° B．钱塘明月4号楼301室 C．金惠路97号 D．东经118°，北纬40°
4．（2023 拱墅区二模）点M（m，n）在y轴上，则点M的坐标可能为（　　）
A．（﹣4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣2，0） D．（0，2）
5．（2021 宁波一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
6．（2022 南浔区一模）在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，﹣1），点B的对应点为B′（4，0），则点B的坐标为（　　）
A．（9，﹣1） B．（﹣1，0） C．（3，﹣1） D．（﹣1，2）
7．（2022 椒江区二模）平面直角坐标系中，点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），则ab＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．（2023 浙江舟山）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023 温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（　　）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
10．（2022 温岭市一模）如图，网格格点上三点A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为（a，b）、（c，d）、（a+c，b+d），则下列判断错误的是（　　）
A．a＜0 B．b＝2d C．a+c＝b+d D．a+b+d＝c
11．（2023 衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 　　．
12．（2023 椒江区一模）若点P（a，b）在第二象限，则Q（﹣b，a）在第 　 　象限．
13．（2023 金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　　．
14．（2023 诸暨市模拟）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）两点为“等距点”，则k的值为 　　．
15．（2021 舟山）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
16．（2022 宁波模拟）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 　1500　米，小红在商店停留了 　4　分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
17．（2022 舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
1．（2022 义乌市模拟）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 柯城区校级一模）在平面直角坐标系中，点M（m﹣1，2m）在x轴上，则点M的坐标是（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（0，﹣1）
3．（2022 拱墅区模拟）若点A（﹣1，n）在第二象限，则点A′（﹣1，﹣n）在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2023 金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
5．（2022 台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（　　）
A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）
6．（2022 龙港市模拟）在平面直角坐标系中，将第四象限的点M（a，a﹣3）向上平移2个单位落在第一象限，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023 黄石）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
8．（2023 内蒙古）若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023 宁波模拟）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原来的速度返回，父亲在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下列给出的图象中表示父亲离家距离与离家时间的函数关系是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023 上城区模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（　　）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
11．（2023 嵊州市一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里，s表示离家路程，t表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023 杭州二模）点M（m+1，m+3）在y轴上，则点M的坐标为　　．
13．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 　　．
14．（2023 贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 　　．
15．（2023 浙江二模）一辆汽车油箱内有油62升．如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化．
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y（升） 50 38 26 14
请根据表格中的数据写出y（升）与x（千米）之间的关系式y＝　　．
16．（2022 丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　　．
17．（2021 杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC 　＝　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
18．（2023 舟山三模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）请说明点D的实际意义．
（3）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
19．（2020 慈溪市模拟）小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示．请结合图象回答：
（1）①当t＝41秒时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②过山车所达到的最大高度是多少？
（2）请描述30秒后，高度h（米）随时间t（秒）的变化情况．
20．（2023 兰山区一模）如图①和图②，并给出的关键信息有：哥哥、妹妹、家、书店．哥哥妹妹同时从家外出．
（1）请根据给出的关键信息以及两幅图，用精炼的语言创设一个问题情境，恰好能表达图①和图②中图象对应的函数关系．
（2）请根据（1）一种所创设的情境，用精炼的语言描述一下第30分钟时，两图中所表达的现实情境．
（3）请根据一中所创设的情境，第35分钟时图①和图②中速度更快的是填图①和图②．
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