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第三章 函数
第2节 一次函数的图象与性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的相关概念 ☆ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质等，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律.
考点2 一次函数的图象 ☆☆
考点3一次函数的性质 ☆☆☆
考点4 一次函数的图象变换 ☆☆☆
1．有关概念：
一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．一次函数的表达式通常用待定系数法来求．
2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线．
k>0 k<0
直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过(0，b)，两点的一条直线．
b>0 b<0 增减性
k>0 y随x的增大而增大
k<0 y随x的增大而减小
4．k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0)
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当= 0，即b=0时，直线经过原点．
3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
5．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当b>0时，向上平移|b|个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)．
6．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝.
■考点一　一次函数的相关概念
◇典例1：（2022 郫都区模拟）若函数y＝（m﹣1）x|m|+2是一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【考点】一次函数的定义．
【答案】B
【点拨】一次函数解析式的特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．根据一次函数的定义即可列方程求解．
【解析】解：根据题意得：，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
◆变式训练
1．（2023 天心区校级一模）下列函数中，一定是一次函数的是（　　）
A．y＝﹣8x B．y＝+3 C．y＝5x2+6 D．y＝﹣kx+1
【考点】一次函数的定义．
【答案】A
【点拨】根据一次函数的定义，逐一分析四个选项，此题得解．
【解析】解：A、∵﹣8≠0，
∴y＝﹣8x是一次函数，A符合题意；
B、∵自变量x的次数为﹣1，
∴y＝+3不是一次函数，B不符合题意；
C、∵自变量x的次数为2，
∴y＝5x2+6不是一次函数，C不符合题意；
D、当k＝0时，函数y＝1为常数函数，不是一次函数，D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，牢记一次函数的定义是解题的关键．
2．（2022 铁西区二模）若y＝x+2﹣3b是正比例函数，则b的值是（　　）
A．0 B．﹣ C． D．﹣
【考点】正比例函数的定义．
【答案】C
【点拨】由正比例函数的定义可得2﹣3b＝0．
【解析】解：由正比例函数的定义可得：2﹣3b＝0，
解得：b＝．
故选：C．
【点睛】解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
■考点二 一次函数的图象
◇典例2：（2021 萧山区模拟）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【答案】B
【点拨】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【解析】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
∴﹣a＞0，﹣c＜0，
∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
◆变式训练
1．（2023 西湖区二模）已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3
【考点】一次函数的图象．
【答案】C
【点拨】根据一次函数的图象的性质知，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则应有，求解即可．
【解析】解：∵直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，
∴，
解得k＜1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数与y轴的交点，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．
2．（2023 鄞州区校级模拟）若式子有意义，则一次函数y＝kx+1﹣k的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；二次根式有意义的条件．
【答案】B
【点拨】先求出k的取值范围，再判断出k及﹣k的符号，进而可得出结论．
【解析】解：∵式子有意义，
∴k﹣1＞0，
解得k＞1，
∴﹣k＜﹣1，
∴一次函数y＝kx+1﹣k的图象过一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
■考点三 一次函数的性质
◇典例3：（2023 绍兴模拟）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（2，1）在该直线上，设m＝2k﹣b，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜1 C．1＜m＜2 D．﹣1＜m＜2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【答案】B
【点拨】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣2k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k＞0，b＞0，则k的范围为0＜k＜，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围．
【解析】解：把（2，1）代入y＝kx+b得2k+b＝1，b＝﹣2k+1，
因为直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
所以k＞0，b＞0，即﹣2k+1＞0，
所以k的范围为0＜k＜，
因为m＝2k﹣b＝2k﹣（﹣2k+1）＝4k﹣1，
所以m的范围为﹣1＜m＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：对于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．解决本题的关键是用k表示出m．
◆变式训练
1．（2023 越城区三模）已知点A（x1，y1）、B（x1﹣3，y2）在直线y＝﹣2x+3上，则y1　＜　y2（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
【考点】一次函数的性质．
【答案】＜．
【点拨】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＞x1﹣3，即可得出结论．
【解析】解：∵直线y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x1﹣3，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
2．（2023 开化县模拟）关于一次函数y＝2x的图象，下列说法正确的是（　　）
A．经过点（1，1） B．在第二、四象限 C．关于x轴成轴对称 D．y随x的增大而增大
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【答案】D
【点拨】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可．
【解析】解：A、当x＝1时，y＝2．所以图象不过（1，1），故错误；
B、因为k＝2＞0，所以一次函数y＝2x的图象在第一、三象限，故错误；
C、关于原点成中心对称，故错误；
D、因为k＝2＞0，所以y随x的增大而增大，故正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质．
3．（2023 淳安县一模）已知一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2023 B．m＞2023 C．m＝2023 D．m＞0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【答案】A
【点拨】根据一次函数的增减性可知m﹣2023＜0，进一步求解即可．
【解析】解：∵一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，
∴m﹣2023＜0，
∴m＜2023，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
■考点四　一次函数的图象变换
◇典例4：（2021 缙云县一模）直线y＝﹣2x+b过点（3，1），将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是　y＝﹣2x+3　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【答案】见试题解答内容
【点拨】将（3，1）代入y＝﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解析】解：将（3，1）代入y＝﹣2x+b，
得：1＝﹣6+b，
解得：b＝7，
∴y＝﹣2x+7，
将直线y＝﹣2x+7向下平移4个单位后所得直线的解析式是y＝﹣2x+7﹣4，即y＝﹣2x+3，
故答案为y＝﹣2x+3．
【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
◆变式训练
1．（2022 定海区校级模拟）在直角坐标系中，将直线y＝6x将上平移得到直线y＝kx+3，则直线y＝kx+3与x轴的交点的坐标是（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【答案】D
【点拨】根据向下平移纵坐标减求出平移后的直线解析式，然后由一次函数与方程的关系解答．
【解析】解：将直线y＝6x将上平移得到直线y＝6x+3．
令y＝0，则6x+3＝0．
解得x＝﹣．
故直线y＝kx+3与x轴的交点的坐标是（﹣，0）．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2．（2021 北仑区一模）如图，A（1，0），B（3，0），M （4，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度向右移动，且经过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若l与线段BM有公共点，则t的取值范围为　2≤t≤6　．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】分别求出直线l经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围．
【解析】解：当直线y＝﹣x+b过点B（3，0）时，
0＝﹣3+b，
解得：b＝3，
0＝﹣（1+t）+3，
解得t＝2．
当直线y＝﹣x+b过点M（4，3）时，
3＝﹣4+b，
解得：b＝7，
0＝﹣（1+t）+7，
解得t＝6．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：2≤t≤6，
故答案为2≤t≤6．
【点睛】此题考查两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
1．（2021 青田县模拟）若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【考点】正比例函数的图象．
【答案】D
【点拨】把点（1，2）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值．
【解析】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），
∴2＝k，
解得，k＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
2．（2020 杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象．
【答案】A
【点拨】求得解析式即可判断．
【解析】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
3．（2022 婺城区校级模拟）当b＜0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【答案】B
【点拨】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解析】解：∵一次函数y＝x+b中k＝1＞0，b＜0，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：B．
【点睛】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
4．（2023 吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【答案】D
【点拨】根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
【解析】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5．（2021 东阳市模拟）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】正比例函数的性质．
【答案】B
【点拨】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解析】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，
可得：m＝±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．
6．（2021 西湖区二模）在函数y＝﹣2x+b的图象上有A（1，y1），B（2，y2）两个点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【考点】一次函数的性质．
【答案】C
【点拨】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合1＜2，即可得出y1＞y2．
【解析】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵1＜2，
∴y1＞y2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7．（2021 嘉善县一模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么以下选项正确的是（　　）
A．kb≥0 B．kb≤0 C．kb＞0 D．kb＜0
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【答案】D
【点拨】由一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出k＜0，b＞0，此题得解．
【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
∴kb＜0，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
8．（2021 杭州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4），若将直线l向上平移2个单位后经过原点，则直线的表达式为（　　）
A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝﹣2x﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【答案】D
【点拨】求得点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4）平移后的对应点，然后根据题意得到a+2+a﹣2＝0，求得a＝0，即可求得A、B的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【解析】解：将直线l向上平移2个单位后经过原点，则点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4）平移后对应的点的坐标为（﹣1，a+2）和（1，a﹣2），
∵将直线l向上平移2个单位后经过原点，
∴点（﹣1，a+2）和点（1，a﹣2）关于原点对称，
∴a+2+a﹣2＝0，
∴a＝0，
∴A（﹣1，0），B（1，﹣4），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，求得A、B的坐标是解题的关键．
9．（2023 舟山模拟）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　）
A． B．（1，﹣1） C． D．（0，﹣2）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．
【答案】A
【点拨】当线段AB最短时，AB⊥BC，求出直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣1，联立方程组求出点的坐标．
【解析】解：当线段AB最短时，AB⊥BC，
∵直线BC为y＝x﹣2，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴0＝1+b，
∴b＝﹣1，
∴直线AB的解析式为 y＝﹣x﹣1
解 ，得，
∴B（，﹣）．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短，解方程组求直线的交点坐标，关键是明确线段AB最短时，是AB垂直于CD．
10．（2023 嘉善县一模）已知实数a，b，c，d同时满足a﹣b+1＝0，2c﹣2d﹣1＝0，则代数式（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与几何变换；勾股定理；等腰直角三角形．
【答案】D
【点拨】先求出，进而得到点A（a，b）在直线y＝x+1上，点B（c，d）在直线上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2可以看作是AB2，再根据直线y＝x+1与直线平行，则当AB与直线y＝x+1垂直时，AB有最小值，即AB2有最小值，据此求解即可．
【解析】解：∵a﹣b+1＝0，2c﹣2d﹣1＝0，
∴，
∴点A（a，b）在直线y＝x+1上，点B（c，d）在直线上，
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2可以看作是AB2，
∵直线y＝x+1与直线平行，
∴当AB与直线y＝x+1垂直时，AB有最小值，即AB2有最小值，
如图所示，设直线与x轴交于B点，直线y＝x+1与x轴交于C点，与y轴交于D，
∴，
∴，
∴∠OCD＝45°，
又∵AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确把求（a﹣c）2+（b﹣d）2转换成求两条平行直线上两点的距离是解题的关键．
11．（2023 临平区二模）若一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（a，b），则2a﹣b+2023的值为 　2024　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【点拨】把点（a，b）代入一次函数y＝2x﹣1可以确定a、b的关系，然后利用整体代值的方法即可求解．
【解析】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（a，b），
∴b＝2a﹣1，
∴2a﹣b＝1，
∴2a﹣b+2023＝1+2023＝2024．
故答案为：2024．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，同时也利用了整体代值的思想．
12．（2021 余杭区一模）当kb＜0时，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第　一、四　象限．
【考点】一次函数的性质．
【答案】一、四
【点拨】由于kb＜0，先根据有理数相乘，同号得正，异号得负，分情况讨论；再结合以下性质分析即可：一次函数y＝kx+b中，k＞0时，图象上升，k＜0时，图象下降，b是图象与y轴的交点，b＞0，图象交y轴于正半轴，b＜0，图象交y轴于负半轴．
【解析】解：∵kb＜0，
∴k、b异号．
当k＞0，b＜0时，y＝kx+b图象经过第一、三、四象限；
当k＜0，b＞0时，y＝kx+b图象经过第一、二、四象限；
综上，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第一、四象限．
故答案为：一、四．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，分类讨论并明确一次函数y＝kx+b中k和b的不同取值与函数图象所处位置的关系是解题的关键．
13．（2023 钱塘区三模）点P是正比例函数y＝kx上一点，把点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点仍在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值为 　﹣1.5　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】﹣1.5．
【点拨】首先设点P的坐标为（a，ka），然后得出点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点的坐标为（a+2，ka﹣3），最后将点（a+2，ka﹣3）代入正比例函数的解析式即可求出k的值．
【解析】解：设点P的横坐标为a，则点P的坐标为（a，ka），
将点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后得到的点的坐标为（a+2，ka﹣3），
∵点（a+2，ka﹣3）仍在正比例函数y＝kx的图象上，
∴ka﹣3＝k（a+2），
解得：k＝﹣1.5
故答案为：﹣1.5．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的图象，点的平移，解答此题的关键是设出点P的坐标，并得出点P平移后的坐标．
14．（2022 瓯海区模拟）直线y＝﹣2x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，D．若AB＝AD，则点C的坐标是 　（﹣1.5，0）　．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【答案】（﹣1.5，0）．
【点拨】先由直线AB的解析式求出A、B两点的坐标，进而得到点D的坐标，利用直线平移时k的值不变，只有b发生变化得出直线CD的解析式，进而求出点C的坐标．
【解析】解：∵直线y＝﹣2x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（1.5，0），B（0，3），
∴OA＝1.5，OB＝3，
∵将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D，AB＝AD，
∴OD＝OB＝3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∵平移后的直线与原直线平行，
∴直线CD的函数解析式为：y＝﹣2x﹣3，
∴点C的坐标是（﹣1.5，0）．
故答案为：（﹣1.5，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出直线CD的解析式是解题的关键．
15．（2023 杭州）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　5　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．
【答案】5．
【点拨】解法一：利用待定系数法求出分别求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，最后比较大小即可得到答案．
解法二：作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，利用待定系数法求出直线BC解析式中k，b的值即可得到答案．
【解析】解：解法一：设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，
将点A（0，2），B（2，3）代入得，，
解得：，
∴k1+b1＝，
设直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，
将点A（0，2），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k2+b2＝，
设直线BC的解析式为y3＝k3x+b3，
将点B（2，3），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝5，
∴k1+b1＝，k2+b2＝，k3+b3＝5，其中最大的值为5．
解法二：如图，作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，
设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，直线BC的解析式为y3＝k3x+b3，
由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，
即当x＝1时，k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3，
将点B（2，3），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝5，
k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键．
16．（2023 临平区校级二模）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），图象过A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求该一次函数的表达式：
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝2x+3；
（2）﹣2．
【点拨】（1）把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）把点P（m，n）代入一次函数y＝2x+3的解析式中，可得到n＝2m+3，代入（n﹣4）（m+2）﹣mn即可得到答案．
【解析】解：（1）把A（2，7），B（﹣1，1）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+3；
（2）∵点P（m，n）在该一次函数图象上，
∴n＝2m+3，
∴（n﹣4）（m+2）﹣mn
＝（2m﹣1）（m+2）﹣m（2m+3）
＝2m2+3m﹣2﹣2m2﹣3m
＝﹣2．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式．
17．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）m＝；直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．
（2）当t＝0，y1﹣y2的最大值为．
【点拨】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式；
（2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案．
【解析】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝；
设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，
∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，
∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+，
∵﹣＜0，
∴y1﹣y2随t的增大而减小，
∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案．
18．（2022 富阳区一模）已知一次函数y＝k（x﹣3）（k≠0）．
（1）求证：点（3，0）在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（4，﹣2），求k的值．
（3）若k＜0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且y1＜y2，判断x1﹣x2＜0是否成立？请说明理由．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）﹣4；
（3）不成立，理由见解答过程．
【点拨】（1）令x＝3，得y＝0即可得证；
（2）一次函数y＝k（x﹣3）图象向上平移2个单位得y＝k（x﹣3）+2，将（4，﹣2）代入可得k；
（3）由y1＜y2列出x1、x2的不等式，根据k＜0可得答案．
【解析】解：（1）在y＝k（x﹣3）中令x＝3，得y＝0，
∴点（3，0）在y＝k（x﹣3）图象上；
（2）一次函数y＝k（x﹣3）图象向上平移2个单位得y＝k（x﹣3）+2，
将（4，﹣2）代入得：﹣2＝k（4﹣3）+2，
解得k＝﹣4；
（3）x1﹣x2＜0不成立，理由如下：
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y＝k（x﹣3）图象上，
∴y1＝k（x1﹣3），y2＝k（x2﹣3），
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∵y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，即k（x1﹣x2）＜0，
而k＜0，
∴x1﹣x2＞0，
∴x1﹣x2＜0不成立．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形．
1．（2023 盐池县一模）若函数y＝（m+1）x+1﹣m2是正比例函数，则m的值是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＞1
【考点】正比例函数的定义．
【答案】B
【点拨】直接利用正比例函数的定义进而得出答案．
【解析】解：根据题意知，
解得m＝1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（2023 无锡）将函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+3 C．y＝4x﹣3 D．y＝4x+5
【考点】一次函数图象与几何变换．
【答案】A
【点拨】根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【解析】解：将函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是y＝2x+1﹣2＝2x﹣1，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
3．（2023 衢州二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝mx+m（m≠0）的图象过点（1，2），则该函数图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【答案】D
【点拨】根据已知条件分别求出m，再根据一次函数的图象性质判断即可．
【解析】解：∵一次函数y＝mx+m（m≠0）的图象过点（1，2），
∴m+m＝2，
∴m＝1，
∴一次函数为y＝x+1，
∴一次函数图象经过一、二、三象限，
∴不经过第四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征和一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．（2022 钱塘区一模）若函数y＝ax+b的图象经过（0，﹣1），（1，2）两点，则a﹣b＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【点拨】由函数图象经过两点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于a，b的二元一次方程，再利用②﹣2×①即可求出a﹣b的值．
【解析】解：∵函数y＝ax+b的图象经过（0，﹣1），（1，2）两点，
∴，
∴②﹣2×①得：a﹣b＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
5．（2023 绍兴模拟）直线y＝kx﹣1上有一点P，P关于y轴的对称点坐标为（﹣2，1），则k的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【答案】D
【点拨】根据点P关于y轴的对称点坐标为（﹣2，1），可得出点P的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解析】解：∵点P关于y轴的对称点坐标为（﹣2，1），
∴点P的坐标为（2，1）．
又∵点P在直线y＝kx﹣1上，
∴1＝2k﹣1，
∴k＝1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的一元一次方程是解题的关键．
6．（2022 诸暨市模拟）如图，周长为定值的平行四边形ABCD中，∠B＝65°，设AB的长为x，AD的长为y，平行四边形ABCD的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．反比例函数关系，一次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【考点】一次函数的定义；平行四边形的性质．
【答案】D
【点拨】先设平行四边形ABCD的周长为a，根据2（x+y）＝a得出y＝﹣x+；再根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，从而得出结论．
【解析】解：设平行四边形ABCD的周长为a，根据题意得：
2（x+y）＝a，
∴y＝﹣x+；
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
∵S＝AB sin65° BC
＝xysin65°
＝x（﹣x+）sin65°
＝﹣sin65° x2+sin65° ，
∴S与x满足的函数关系是二次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数的应用，关键是找等量关系列出函数解析式．
7．（2023 西湖区一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　）
A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0
【考点】一次函数的图象．
【答案】B
【点拨】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答．
【解析】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过第一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过第一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，且|b1|＞|b2|，
∵A、k1+k2＜0，
故A不符合题意；
B、k1k2＞0，
故B符合题意；
C、b1+b2＞0，
故C不符合题意；
D、b1 b2＜0，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
8．（2021 江干区二模）一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝kbx在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；函数自变量的取值范围．
【答案】B
【点拨】根据一次函数及正比例函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、∵一次函数的图象经过一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0；
∴kb＜0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第二、四象限．
故本选项错误；
B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
∴kb＜0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第二、四象限．
故本选项正确；
C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
∴kb＞0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第一、三象限．
故本选项错误；
D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0．
∴kb＞0，
∴正比例函数y＝kbx应该经过第一、三象限．
故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数及正比例函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
9．（2021 滨江区二模）已知一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d（a，b，c，d均为常数，且a c≠0）在平面直角坐标系中的图象如图所示，则（　　）
A．c＜a＜d＜b B．a＜c＜d＜b C．d＜b＜c＜a D．d＜b＜a＜c
【考点】一次函数的性质．
【答案】D
【点拨】一次函数y＝kx+b（k≠0）中，k＞0时，图象过第一，第三象限；k＜0时，图象过第二，第四象限；|k|越大，直线与y轴越接近；由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
【解析】解：∵两个一次函数的图象都过了第一，第三象限，
∴a，c＞0，且c＞a，
根据两个一次函数的图象与y的交点的位置可得：b，d＜0，且b＞d，
∴d＜b＜a＜c，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记一次函数中k，b的性质是解题的关键．
10．（2021 吴兴区二模）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣2，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【点拨】当直线y＝kx﹣1过点A时，求出k的值，当直线y＝kx﹣1过点B时，求出k的值，介于二者之间的值即为使直线y＝kx﹣1与线段AB有交点的x的值．
【解析】解：①当直线y＝kx﹣1过点A时，将A（﹣2，1）代入解析式y＝kx﹣1得，k＝﹣1，
②当直线y＝kx﹣1过点B时，将B（1，2）代入解析式y＝kx﹣1得，k＝3，
∵|k|越大，它的图象离y轴越近，
∴当k≥3或k≤﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB有交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，要注意，AB是线段这一条件，不要当成直线．
11．（2023 成县三模）一次函数的图象经过点（1，﹣1）、（﹣2，5），则一次函数的解析式为 　y＝﹣2x+1　．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【点拨】直线y＝kx+b（k≠0）经过点（1，﹣1）、（﹣2，5），代入可求出函数关系式．
【解析】解：设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．
由题意，得，
解得 ．
即该一次函数解析式为：y＝﹣2x+1．
故答案为y＝﹣2x+1．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，注意利用一次函数的特点来列出方程组求解是解题关键．
12．（2021 毕节市）将直线y＝﹣3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　y＝﹣3x﹣2　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【答案】y＝﹣3x﹣2．
【点拨】根据平移k值不变，只有b值发生改变解答即可．
【解析】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝﹣3x﹣2．
故答案为：y＝﹣3x﹣2．
【点睛】本题考查直线的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
13．（2021 金东区二模）若一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣4的图象不经过第一象限，则k的取值范围是　3＜k≤4　．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【答案】3＜k≤4．
【点拨】分两种情况考虑，当一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣4的图象经过第二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k值；当一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣4的图象经过第二、三、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解析】解：分两种情况考虑：
当一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣4的图象经过第二、四象限时，，
解得：k＝4；
当一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣4的图象经过第二、三、四象限时，，
解得：3＜k＜4．
∴k的取值范围是3＜k≤4．
故答案为：3＜k≤4．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＝0 y＝kx+b的图象在二、四象限；k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
14．（2023 黄岩区一模）已知点A（a，b）在一次函数y＝2x﹣1图象上，则a2+b+3的最小值为 　1　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【答案】1．
【点拨】将点A（a，b）代入一次函数解析式得出，b＝2a﹣1，代入代数式，根据配方法即可求解．
【解析】解：∵点A（a，b）在一次函数y＝2x﹣1图象上，
∴b＝2a﹣1，
∴a2+b+3
＝a2+2a﹣1+3
＝a2+2a+1+1
＝（a+1）2+1，
∵（a+1）2+1≥1，
∴a2+b+3≥1，
∴a2+b+3的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2023 长兴县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，则直线OB的函数表达式是 　y＝x　．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【答案】y＝x．
【点拨】延长BC，交x轴于点D，则BC⊥x轴，设OC＝BC＝a，利用菱形的性质和直角三角形的边角关系定理，用含a的代数式表示出线段OD，BD的长度，进而得到点B的坐标，最后利用待定系数法解答即可得出结论．
【解析】解：延长BC，交x轴于点D，如图，
则BC⊥x轴．
∵∠AOC＝60°，
∴∠COD＝30°．
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝BC＝OA＝AB，∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠COB+∠COD＝60°．
设OC＝BC＝a，
∴OD＝OC cos∠COD＝a×＝a，CD＝OC＝a，
∴BD＝BC+CD＝a，
∴B（a，a）．
设直线OB的解析式为y＝kx，
∴a＝ak，
∴k＝．
∴直线OB的函数表达式是y＝x．
故答案为：y＝x．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，点的坐标的特征，正比例函数的性质，待定系数法，利用线段的长度表示出点B的坐标是解题的关键．
16．（2023 杭州一模）已知y与x+m（m为常数）成正比例，且当x＝3时y＝5，当x＝1时y＝1．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若点P（a，b）在（1）中函数的图象上，求4a2﹣b2﹣2b﹣3的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【答案】（1）y＝2x﹣1；
（2）﹣2．
【点拨】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据点P（a，b）在（1）中函数的图象上，可得2a﹣1＝b，进一步可得2a＝1+b，整体代入求4a2﹣b2﹣2b﹣3的值即可．
【解析】解：（1）设y＝k（x+m），
∵当x＝3时y＝5，当x＝1时y＝1，
∴，
解得，
∴y＝2（x﹣）＝2x﹣1；
（2）∵点P（a，b）在（1）中函数的图象上，
∴2a﹣1＝b，
∴2a＝1+b，
∴4a2﹣b2﹣2b﹣3
＝（1+b）2﹣b2﹣2b﹣3
＝﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
17．（2023 北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）函数的解析式为y＝x+1，C（3，4）；（2）2．
【点拨】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）求出n的值即可．
【解析】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，
解得：k＝1，b＝1，
∴该函数的解析式为y＝x+1，
由题意知点C的纵坐标为4，
当y＝x+1＝4时，
解得：x＝3，
∴C（3，4）；
（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，
因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，
所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，
代入（3，4）得：4＝×3+n，
解得：n＝2．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
18．（2021 滨江区校级三模）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）A（2，﹣1）一定在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，理由见解答过程；
（2）m的值是2；
（3）一次函数解析式为y＝3x﹣7或y＝﹣x+．
【点拨】（1）把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1，计算得y＝﹣1，即可得答案；
（2）把B（1，t），C（3，t+2）代入，即可解得m的值；
（3）分两种情况：当m﹣1＞0时，把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1即可解得m＝4，得到解析式，当m﹣1＜0时，同理可得一次函数解析式为y＝﹣x+．
【解析】解：（1）A（2，﹣1）一定在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，理由如下：
把x＝2代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：y＝2（m﹣1）﹣2m+1＝﹣1，
∴x＝2时，y＝﹣1，即（2，﹣1）在y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上；
（2）∵点B（1，t），C（3，t+2）都在一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1的图象上，
∴，解得，
∴m的值是2；
（3）当m﹣1＞0，即m＞1时，一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，y有最大值2，
把（3，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：3（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m＝4，
∴此时一次函数解析式为y＝3x﹣7；
当m﹣1＜0，即m＜1时，y＝（m﹣1）x﹣2m+1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y有最大值2，
把（﹣2，2）代入y＝（m﹣1）x﹣2m+1得：﹣2（m﹣1）﹣2m+1＝2，解得m＝，
∴此时一次函数解析式为y＝﹣x+，
综上所述，一次函数解析式为y＝3x﹣7或y＝﹣x+．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标的特征及一次函数的性质．
19．（2021 永嘉县校级模拟）如图，一条直线过点A（0，4），B（2，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴的负半轴分别交于点C、D，使DB＝DC．
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）求证：OD＝OA；
（3）求△BCD的面积；
（4）在直线AB或直线CD上是否存在点P，使△PBC的面积等于△BCD的面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数综合题；正比例函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【点拨】先证明△ABO≌△DCO求出D的坐标，利用已知两点求出直线CD的解析式，再利用面积公式求出点的坐标．
【解析】解：（1）∵DB＝DC，BC⊥OD，
∴OC＝OB，
∵B（2，0），
∴C（﹣2，0），
∵OC＝OB，∠AOB＝∠DOC，∠ABO＝∠DCO，
∴△ABO≌△DCO，
∴OA＝OD，
∴D（0，﹣4），
设直线CD的函数解析式：y＝ax+b，代入得，
解得，
直线CD：y＝﹣2x﹣4；
（2）由（1）知OD＝OA，
∴OD＝OA；
（3）△BCD的面积是：S＝×BC×OD＝×（2+2）×4＝8，
∴△BCD的面积是：8；
（4）存在，直线AB上：（﹣2，8）、（6，﹣8）；直线CD上：（﹣6，8）、（2，﹣8）．
【点睛】此题的关键是考查一次函数的解析式的求法和面积公式的应用．
20．（2022 钱塘区二模）如图，直线l1分别与x轴，y轴交于A，B两点，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，3），过点B的直线l2：y＝x+3交x轴于点C．点D（n，6）是直线l1上的一点，连接CD．
（1）求l1的解析式；
（2）求C、D的坐标；
（3）求△BCD的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝﹣x+3；
（2）C（﹣6，0），D（﹣2，6）；
（3）12．
【点拨】（1）利用待定系数法求AB的解析式；
（2）先解方程x+3＝0得C点坐标为（﹣6，0），然后把D（n，6）代入y＝﹣x+3中求出n得到D点坐标；
（3）利用三角形面积公式，根据S△BCD＝S△DAC﹣S△BAC进行计算．
【解析】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，
把A（2，0）、B（0，3）代入得，解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+3；
（2）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴C点坐标为（﹣6，0），
把D（n，6）代入y＝﹣x+3得﹣n+3＝6，解得n＝﹣2，
∴D点坐标为（﹣2，6）；
（3）S△BCD＝S△DAC﹣S△BAC
＝×（2+6）×6﹣×（2+6）×3
＝12．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一个已知点的坐标就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
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第三章 函数
第2节 一次函数的图象与性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的相关概念 ☆ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质等，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律.
考点2 一次函数的图象 ☆☆
考点3一次函数的性质 ☆☆☆
考点4 一次函数的图象变换 ☆☆☆
1．有关概念：
一般地，函数 (k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为 (k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做 ．一次函数的表达式通常用待定系数法来求．
2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过 两点的一条直线．
k>0 k<0
直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过 两点的一条直线．
b>0 b<0 增减性
k>0 y随x的增大而增大
k<0 y随x的增大而减小
4.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0)
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当= 0，即b=0时，直线经过原点．
3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
5．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当 时，向上平移|b|个单位；当 时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)．
6．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝.
■考点一　一次函数的相关概念
◇典例1：（2022 郫都区模拟）若函数y＝（m﹣1）x|m|+2是一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
◆变式训练
1．（2023 天心区校级一模）下列函数中，一定是一次函数的是（　　）
A．y＝﹣8x B．y＝+3 C．y＝5x2+6 D．y＝﹣kx+1
2．（2022 铁西区二模）若y＝x+2﹣3b是正比例函数，则b的值是（　　）
A．0 B．﹣ C． D．﹣
■考点二 一次函数的图象
◇典例2：（2021 萧山区模拟）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023 西湖区二模）已知直线的函数表达式为y＝kx﹣3（k≠0），当自变量满足1≤x≤3时，其对应的函数图象都在x轴下方，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＞1 C．k＜1 D．k＜3
2．（2023 鄞州区校级模拟）若式子有意义，则一次函数y＝kx+1﹣k的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
■考点三 一次函数的性质
◇典例3：（2023 绍兴模拟）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（2，1）在该直线上，设m＝2k﹣b，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜1 C．1＜m＜2 D．﹣1＜m＜2
◆变式训练
1．（2023 越城区三模）已知点A（x1，y1）、B（x1﹣3，y2）在直线y＝﹣2x+3上，则y1　　y2（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
2．（2023 开化县模拟）关于一次函数y＝2x的图象，下列说法正确的是（　　）
A．经过点（1，1） B．在第二、四象限 C．关于x轴成轴对称 D．y随x的增大而增大
3．（2023 淳安县一模）已知一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2023 B．m＞2023 C．m＝2023 D．m＞0
■考点四　一次函数的图象变换
◇典例4：（2021 缙云县一模）直线y＝﹣2x+b过点（3，1），将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是　　．
◆变式训练
1．（2022 定海区校级模拟）在直角坐标系中，将直线y＝6x将上平移得到直线y＝kx+3，则直线y＝kx+3与x轴的交点的坐标是（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．
2．（2021 北仑区一模）如图，A（1，0），B（3，0），M （4，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度向右移动，且经过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若l与线段BM有公共点，则t的取值范围为　　．
1．（2021 青田县模拟）若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（2020 杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 婺城区校级模拟）当b＜0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021 东阳市模拟）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
6．（2021 西湖区二模）在函数y＝﹣2x+b的图象上有A（1，y1），B（2，y2）两个点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
7．（2021 嘉善县一模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么以下选项正确的是（　　）
A．kb≥0 B．kb≤0 C．kb＞0 D．kb＜0
8．（2021 杭州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4），若将直线l向上平移2个单位后经过原点，则直线的表达式为（　　）
A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝﹣2x﹣2
9．（2023 舟山模拟）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　）
A． B．（1，﹣1） C． D．（0，﹣2）
10．（2023 嘉善县一模）已知实数a，b，c，d同时满足a﹣b+1＝0，2c﹣2d﹣1＝0，则代数式（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023 临平区二模）若一次函数y＝2x﹣1的图象经过点（a，b），则2a﹣b+2023的值为 　　．
12．（2021 余杭区一模）当kb＜0时，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第　　象限．
13．（2023 钱塘区三模）点P是正比例函数y＝kx上一点，把点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点仍在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值为 　　．
14．（2022 瓯海区模拟）直线y＝﹣2x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，D．若AB＝AD，则点C的坐标是 　　．
15．（2023 杭州）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　　．
16．（2023 临平区校级二模）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），图象过A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求该一次函数的表达式：
（2）若点P（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
17．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
18．（2022 富阳区一模）已知一次函数y＝k（x﹣3）（k≠0）．
（1）求证：点（3，0）在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（4，﹣2），求k的值．
（3）若k＜0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且y1＜y2，判断x1﹣x2＜0是否成立？请说明理由．
1．（2023 盐池县一模）若函数y＝（m+1）x+1﹣m2是正比例函数，则m的值是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＞1
2．（2023 无锡）将函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+3 C．y＝4x﹣3 D．y＝4x+5
3．（2023 衢州二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝mx+m（m≠0）的图象过点（1，2），则该函数图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022 钱塘区一模）若函数y＝ax+b的图象经过（0，﹣1），（1，2）两点，则a﹣b＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
5．（2023 绍兴模拟）直线y＝kx﹣1上有一点P，P关于y轴的对称点坐标为（﹣2，1），则k的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1
6．（2022 诸暨市模拟）如图，周长为定值的平行四边形ABCD中，∠B＝65°，设AB的长为x，AD的长为y，平行四边形ABCD的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．反比例函数关系，一次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
7．（2023 西湖区一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　）
A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0
8．（2021 江干区二模）一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝kbx在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021 滨江区二模）已知一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d（a，b，c，d均为常数，且a c≠0）在平面直角坐标系中的图象如图所示，则（　　）
A．c＜a＜d＜b B．a＜c＜d＜b C．d＜b＜c＜a D．d＜b＜a＜c
10．（2021 吴兴区二模）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣2，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
11．（2023 成县三模）一次函数的图象经过点（1，﹣1）、（﹣2，5），则一次函数的解析式为 　．
12．（2021 毕节市）将直线y＝﹣3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　　．
13．（2021 金东区二模）若一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣4的图象不经过第一象限，则k的取值范围是　　．
14．（2023 黄岩区一模）已知点A（a，b）在一次函数y＝2x﹣1图象上，则a2+b+3的最小值为 　1　．
15．（2023 长兴县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，则直线OB的函数表达式是 　 　．
16．（2023 杭州一模）已知y与x+m（m为常数）成正比例，且当x＝3时y＝5，当x＝1时y＝1．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若点P（a，b）在（1）中函数的图象上，求4a2﹣b2﹣2b﹣3的值．
17．（2023 北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．
18．（2021 滨江区校级三模）已知一次函数y＝（m﹣1）x﹣2m+1，其中m≠1．
（1）无论m取何值，判断点A（2，﹣1）是否一定在一次函数的图象上，并说明理由．
（2）若点B（1，t），C（3，t+2）都在该一次函数的图象上，求m的值．
（3）当﹣2≤x≤3时，函数有最大值为2，求函数表达式．
19．（2021 永嘉县校级模拟）如图，一条直线过点A（0，4），B（2，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴的负半轴分别交于点C、D，使DB＝DC．
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）求证：OD＝OA；
（3）求△BCD的面积；
（4）在直线AB或直线CD上是否存在点P，使△PBC的面积等于△BCD的面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（2022 钱塘区二模）如图，直线l1分别与x轴，y轴交于A，B两点，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，3），过点B的直线l2：y＝x+3交x轴于点C．点D（n，6）是直线l1上的一点，连接CD．
（1）求l1的解析式；
（2）求C、D的坐标；
（3）求△BCD的面积．
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