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第三章 函数
第3节 一次函数的应用及综合问题
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数与方程（组） ☆ 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 单独考查一次函数与方程、不等式的题目近年比较少.
考点2 一次函数与不等式（组） ☆☆
考点3一次函数的应用 ☆☆☆
考点4 一次函数的综合 ☆☆
1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在 时所对应的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在 时所对应的x的取值范围．
3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的 ．
4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
■考点一　一次函数与方程（组）
◇典例1：（2021 辽宁）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
◆变式训练
1．（2021 贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．（2022 梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
■考点二 一次函数与不等式（组）
◇典例2：（2023 德州）已知直线y＝3x+a与直线y＝﹣2x+b交于点P，若点P的横坐标为﹣5，则关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为（　　）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
◆变式训练
1．（2023 丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
2．（2023 同心县模拟）一次函数y1＝mx+n与y2＝kx+a的图象如图所示，则mx+n＞kx+a的解集为（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
3．（2022 西湖区一模）已知函数y1＝2x+m，y2＝﹣mx+m（m为常数，m≠0）．
（1）若点（﹣1，1）在y1的图象上，
①求m的值．
②求函数y1与y2的交点坐标．
（2）当m＞0，且0＜y2＜y1时，求自变量x的取值范围．
■考点三 一次函数的应用
◇典例3：1．（2023 杭州二模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则（　　）
A．明明的速度是80米/分 B．第二次相遇时距离B地800米
C．出发25分时两人第一次相遇 D．出发35分时两人相距2000米
2．（2023 丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
◆变式训练
1．（2023 绍兴模拟）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（　　）元．
A．200 B．250 C．400 D．500
2．（2022 丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
■考点四　 一次函数的综合
◇典例4：（2022 钱塘区二模）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
（3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．
◆变式训练
1．（2023 沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）以线段MN，MC为邻边作 MNQC，直线QC与x轴交于点E．
①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
1．（2023 路桥区一模）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（2023 婺城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
3．（2022 龙港市模拟）如图，一次函数y＝x+b的图象过点（﹣2，3），则不等式x+b＞3的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞3 C．x＞0 D．x＞2
4．（2023 舟山一模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
5．（2023 龙港市二模）小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超s（km）市返回家中．小聪离家的路程s（km）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（　　）
A．小聪去超市途中的速度是0.1km/分 B．小聪回家途中的速度是0.2km/分
C．小聪在超市逗留了40分钟 D．小聪在来去途中，离家1km处的时间是8：05和8：50
6．（2021 衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（　　）
A．15km B．16km C．44km D．45km
7．（2023 海曙区一模）某容器由A、B、C三段圆柱体组成（如图①），其中A、B、C的底面积分别为5S，2S，S（单位：cm2），C段的容积是容器总容积的．现以速度v（单位：cm3/s）匀速向容器注水，直至注满为止．图②是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．下列说法错误的是（　　）
A．a＝10 B．b＝24 C．c＝10 D．v＝2S
8．（2022 杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 　　．
9．（2021 宁波模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 　　．
10．（2022 富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（﹣，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 　　．
11．（2021 金华模拟）已知经过点（0，2）的直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，则a＝　　，b＝　　．
12．（2023 仙居县一模）小波某时刻想喝水，饮水机显示水温为30℃，为预测水烧开的时间，小波每隔1分钟观察一次水温，得到数据如表．
等待时间t/分钟 0 1 2 3
水温T/℃ 30 40 50 60
（1）求水温T（单位：℃）关于等待时间t（单位：分钟）的函数解析式．
（2）求小波喝到100℃开水的最短等待时间．
13．（2021 萧山区二模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
14．（2023 宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
15．（2023 台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
16．（2022 泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2023 醴陵市一模）已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．（2021 乾县模拟）若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0）的解，则一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点坐标是（　　）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，0）
3．（2021 山西模拟）如图是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象可直接写出方程x﹣1＝0的解为x＝2，这种解题方法体现的数学思想是（　　）
A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．函数思想
4．（2021 蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
5．（2023 婺城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），则不等式kx+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
6．（2021 杭州三模）如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．x＞0
7．（2023 薛城区一模）我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
8．（2021 德阳）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
9．（2023 金华模拟）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　）
A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟
C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟
D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．
10．（2021 永嘉县模拟）如图，直线y＝x+1交y轴于点A，交直线l于点B，点P是线段AB上任意一点（不包括端点），PC∥y轴，交直线l于点C（点C在点P上方），PD⊥y轴于点D，以PC，PD为邻边构造矩形PDEC，若矩形PDEC的周长为8，则直线l的表达式为（　　）
A．y＝﹣x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+4 D．y＝﹣x+4
11．（2023 西湖区校级二模）已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于第 　　象限．
12．（2023 杭州模拟）已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与y＝3x+2的交点坐标为 　　．
13．（2023 杭州模拟）已知一次函数y＝3x﹣7与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，﹣1），则方程组的解是 　　．
14．（2022 西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是 　　．
15．（2021 鹿城区一模）如图，直线l1：y＝x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，直线l2：y＝﹣x+m分别与x轴，y轴交于点C，D，直线l1，l2相交于点E，将△ABO向右平移5个单位得到△A′B'O'，若点B′恰好落在直线l2上，则DE：B'C＝　　．
16．（2023 余杭区模拟）设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（m，0），函数y2的图象经过点（n，0），求证：mn＝1．
（2）当y1＜y2时，求x的取值范围．
17．（2021 富阳区二模）我们知道：|a|＝，在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝﹣4．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条这个函数具有的性质．
18．（2021 永嘉县校级模拟）如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，﹣），直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的表达式；
（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝2S△ACD，求点P的坐标．
19．（2023 嵊州市一模）为了增强居民的节水意识，某市规定：每月用水量不超过20立方米时，单价为每立米2.5元，每月用水量超过20立方米时，单价提高．某用户每月支付y（元）与用水量x（立方米）的函数图象如图所示，根据图象，回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）当每月用水量超过20立方米时，求y关于x的函数关系式；若该用户预计某个月用水量为35立方米，则这个月的水费需支付多少元．
20．（2023 金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
21．（2022 湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
22．（2023 鹿城区校级三模）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别套餐单价团体订购优惠方案A：米饭套餐30 元方案一：A套餐满20份及以上打9折； 方案二：B套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元．B：面食套餐25 元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2 该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？
任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
23．（2023 温州三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形MCN，∠MCN＝90°，MC＝NC，点C在x轴的负半轴上，点M，N在一次函数y＝﹣3x+3的图象上，且M点在第二象限，N点在第四象限，一次函数图象交y轴于点A，交x轴于点B，AM＝BN．
（1）求证：AC＝BC．
（2）求出点C的坐标及CN的长．
（3）点P从N匀速运动到C时，点Q恰好从A匀速运动到N，记PN＝x，MQ＝y，
①求出y关于x的函数表达式．
②连结PQ，点C关于直线PQ对称点为C′，连结PC′．若直线PC′与△MCN中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有x的值．
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第三章 函数
第3节 一次函数的应用及综合问题
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数与方程（组） ☆ 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 单独考查一次函数与方程、不等式的题目近年比较少.
考点2 一次函数与不等式（组） ☆☆
考点3一次函数的应用 ☆☆☆
考点4 一次函数的综合 ☆☆
1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y>0(或y<0)时所对应的x的取值范围．
3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
■考点一　一次函数与方程（组）
◇典例1：（2021 辽宁）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
【考点】一次函数与一元一次方程；函数的图象．
【答案】B
【点拨】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解析】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
◆变式训练
1．（2021 贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【考点】一次函数与一元一次方程．
【答案】C
【点拨】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【解析】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝2，
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
2．（2022 梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】B
【点拨】由图象交点坐标可得方程组的解．
【解析】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），
∴方程组的解为．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．
■考点二 一次函数与不等式（组）
◇典例2：（2023 德州）已知直线y＝3x+a与直线y＝﹣2x+b交于点P，若点P的横坐标为﹣5，则关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为（　　）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【答案】A
【点拨】观察函数图象得到当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，所以不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．
【解析】解：当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，
所以关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
◆变式训练
1．（2023 丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】B
【点拨】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2023 同心县模拟）一次函数y1＝mx+n与y2＝kx+a的图象如图所示，则mx+n＞kx+a的解集为（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
【答案】A
【点拨】以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图象写出解集即可．
【解析】解：∵y1＝mx+n与y2＝kx+a的图象交点为（2，1），且mx+n＞kx+a，
∴x＜2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键．
3．（2022 西湖区一模）已知函数y1＝2x+m，y2＝﹣mx+m（m为常数，m≠0）．
（1）若点（﹣1，1）在y1的图象上，
①求m的值．
②求函数y1与y2的交点坐标．
（2）当m＞0，且0＜y2＜y1时，求自变量x的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【答案】（1）①m＝3；②函数y1与y2的交点坐标（0，3）；
（2）0＜x＜1．
【点拨】（1）①把点（﹣1，1）代入y1＝2x+m中，即可求得m的值；②观察函数解析式，两个函数与y轴的交点都是（0，m），从而得出函数y1与y2的交点坐标（0，3）；
（2）求得函数y2＝﹣mx+m（m为常数，m≠0）与x轴的交点，结合两个函数与y轴的交点都是（0，m），然后根据一次函数的性质即可得出结论．
【解析】解：（1）①∵点（﹣1，1）在y1＝2x+m的图象上，
∴1＝﹣2+m，
∴m＝3；
②∵y1＝2x+m，y2＝﹣mx+m（m为常数，m≠0）．
∴两个函数与y轴的交点都是（0，m），
∵m＝3，
∴函数y1与y2的交点坐标（0，3）；
（2）∵y2＝﹣mx+m＝﹣m（x﹣1），
∴函数y2＝﹣mx+m（m为常数，m≠0）过点（1，0），即与x轴的交点是（1，0），
∵两个函数与y轴的交点都是（0，m），
∴m＞0，且0＜y2＜y1时，自变量x的取值范围0＜x＜1．
【点睛】本题考查一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，求得直线与坐标轴的交点，数形结合解题是关键．
■考点三 一次函数的应用
◇典例3：1．（2023 杭州二模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则（　　）
A．明明的速度是80米/分 B．第二次相遇时距离B地800米
C．出发25分时两人第一次相遇 D．出发35分时两人相距2000米
【考点】一次函数的应用．
【答案】B
【点拨】C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；
A、当x＝35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度＝路程÷时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；
B、根据第二次相遇时距离B地的距离＝明明的速度×第二次相遇的时间﹣A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇时距离B地800米，B选项正确；
D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离＝明明的速度×出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误．
【解析】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3×2800米，且二者速度不变，
∴c＝60÷3＝20，
∴出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；
亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），
两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），
明明的速度为140﹣80＝60（米/分），A选项错误；
第二次相遇时距离B地距离为60×60﹣2800＝800（米），B选项正确；
出发35分钟时两人间的距离为60×35＝2100（米），D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
2．（2023 丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）30；
（2）y＝20x+600；
（3）若生产件数x的取值范围为0≤x＜30，则选择方案二，若生产件数x＝30，则选择两个方案都可以，若生产件数x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【点拨】（1）根据图象的交点回答即可；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，将点（0，600）、点（30，1200）代入即可；
（3）对生产件数的范围进行讨论，从而得出正确的方案．
【解析】解：（1）观察图象得：
方案一与方案二相交于点（30，1200），
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，
将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：
，
解得：，
即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；
（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：
若生产件数x的取值范围为0≤x＜30，则选择方案二，
若生产件数x＝30，则选择两个方案都可以，
若生产件数x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【点睛】本题考查的是求解一次函数解析式以及一次函数的实际应用，解题关键是会看图，理解横轴与纵轴表示的实际意义，掌握用待定系数法求函数解析式．
◆变式训练
1．（2023 绍兴模拟）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（　　）元．
A．200 B．250 C．400 D．500
【考点】一次函数的应用．
【答案】B
【点拨】先求出x≥40时，y与x的函数关系式，再将x＝100代入求出总销售额，进一步根据“总销售额﹣总成本＝总盈利”计算即可．
【解析】解：当x≥40时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），
代入点（40，800）和点（80，1300），
得，
解得，
∴y＝x+300（x≥40），
当x＝100时，y＝＝1550，
1550﹣13×100＝250（元），
∴售完这100件商品可盈利250元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
2．（2022 丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）1.5（h）；
（2）s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）轿车比货车早1.2h到达乙地．
【点拨】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；
（2）设直线的表达式为s＝kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问题；
（3）根据时间＝路程÷速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题．
【解析】解：（1）∵货车的速度是60km/h，
∴a＝＝1.5（h）；
（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），
设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：
，
解得，
∴s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h），
∴货车到达乙地需6h，
∵s＝100t﹣150，s＝330，
解得t＝4.8，
∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h），
∴货车还需要1.2h才能到达，
即轿车比货车早1.2h到达乙地．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求函数解析式，路程、时间、速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
■考点四　 一次函数的综合
◇典例4：（2022 钱塘区二模）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
（3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得k的值，根据直线方程求得点B的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答；
（2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答；
（3）分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P的坐标即可．
【解析】解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得
0＝2k+3，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+3．
当x＝0时，y＝3．
∴B（0，3），OB＝3．
当y＝0时，﹣x+3＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），OA＝2，
∴S△AOB＝OA OB＝×2×3＝3．
（2）如图2，
①当AB＝BC时，点C与点A（2，0）关于y轴对称，故C（﹣2，0）符合题意；
②当AB＝AC时，由A（2，0），B（0，3）得到AB＝＝，由AC＝AC′＝得到C′（+2，0）、C″（2﹣，0）．
综上所述，符合条件的点C的坐标是（﹣2，0）或（+2，0）或（2﹣，0）；
（3）∵M（3，0），
∴OM＝3，
∴AM＝3﹣2＝1．
由（1）知，S△AOB＝3，
∴S△PBM＝S△AOB＝3；
①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△PAM+S△ABM＝+ AM |yP|＝+×1×|yP|＝3，
∴|yP|＝3，
∵点P在x轴下方，
∴yP＝﹣3．
当y＝﹣3时，代入y＝﹣x+3得，﹣3＝﹣x+3，
解得x＝4．
∴P（4，﹣3）；
②当点P在x轴上方时，S△PBM＝S△APM﹣S△ABM＝ AM |yP|﹣＝×1×|yP|﹣＝3，
∴|yP|＝9，
∵点P在x轴上方，
∴yP＝9．
当y＝9时，代入y＝﹣x+3得，9＝﹣x+3，
解得x＝﹣4．
∴P（﹣4，9）．
【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．另外，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用．
◆变式训练
1．（2023 沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）以线段MN，MC为邻边作 MNQC，直线QC与x轴交于点E．
①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）a的值为，直线AB解析式为y＝﹣x+6；
（2）①l＝6﹣；
②或．
【点拨】（1）根据直线y＝x﹣的解析式求出C点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出MN，再根据MN＝CQ得出结论即可；
②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式得出m的值即可．
【解析】解：（1）∵点C（6，a）在直线y＝x﹣上，
∴a＝＝，
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，0）和点C（6，），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）①∵M点在直线y＝﹣x+6上，且M的横坐标为m，
∴M的纵坐标为：﹣m+6，
∵N点在直线y＝x﹣上，且N点的横坐标为m，
∴N点的纵坐标为：m﹣，
∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，
∵点C（6，），线段EQ的长度为l，
∴|CQ|＝l+，
∵|MN|＝|CQ|，
∴﹣＝l+，
即l＝（0≤m＜）；
②∵△AOQ的面积为3，
∴OA EQ＝3，
即，
解得EQ＝，
由①知，EQ＝6﹣，
∴|6﹣|＝，
解得m＝或，
即m的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
1．（2023 路桥区一模）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】一次函数与一元一次方程．
【答案】A
【点拨】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
【解析】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，
∴关于x的方程ax+b＝0的解为x＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解是解题关键．
2．（2023 婺城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】B
【点拨】根据直线y＝ax+b与y轴交于点A（2，0），以及函数的增减性，即可求出不等式ax+b＞0的解集．
【解析】解：∵直线y＝ax+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），且y随x的增大而减小，
∴不等式ax+b＞0的解集是x＜2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题的关键．
3．（2022 龙港市模拟）如图，一次函数y＝x+b的图象过点（﹣2，3），则不等式x+b＞3的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞3 C．x＞0 D．x＞2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】A
【点拨】结合图象，写出直线数y＝x+b在直线y＝3上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】解：如图所示：∵一次函数y＝x+b的图象过点（﹣2，3），
∴不等式x+b＞3的解是：x＞﹣2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．
4．（2023 舟山一模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】A
【点拨】根据题意和函数图象，可以写出当kx+b＜x时，x的取值范围．
【解析】解：由图象可得，
当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，
∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2023 龙港市二模）小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小聪离家的路程s（km）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（　　）
A．小聪去超市途中的速度是0.1km/分 B．小聪回家途中的速度是0.2km/分
C．小聪在超市逗留了40分钟 D．小聪在来去途中，离家1km处的时间是8：05和8：50
【考点】一次函数的应用．
【答案】D
【点拨】由图象可得，去来的时间分别为10分钟和20分钟，路程为2km，分别求出速度即可判别答案A，B，观察图象直接得到逗留时间，判别C，用1km除以去的速度得出去的时间，由图象可直接得出返回时离家1km处的时间，从而去判别答案D．
【解析】解：由图可知前10分钟是去超市途中，
速度为＝0.2（km/分），
故A不正确，不符合题意，
后20分钟是回去途中，
速度为＝0.1（km/分），
故B不正确，不符合题意，
由图可知在超市逗留时间为40﹣10＝30（分钟），
故C不正确，不符合题意，
去的途中走1km用的时间是＝5（分钟），
∴离家1km处的时间是8：05，
由图象可得，返回家中时离家1km处的时间是8：50，
∴离家1km处的时间是8：05和8：50，
故D正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中提取相关信息回答问题是解题的关键．
6．（2021 衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（　　）
A．15km B．16km C．44km D．45km
【考点】一次函数的应用．
【答案】A
【点拨】根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离B地的距离即可．
【解析】解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h），
乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h），
乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h），
∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h），
设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t，
则：20t＝60（t﹣1﹣0.5），
解得：t＝2.25，
此时甲距离B地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度．
7．（2023 海曙区一模）某容器由A、B、C三段圆柱体组成（如图①），其中A、B、C的底面积分别为5S，2S，S（单位：cm2），C段的容积是容器总容积的．现以速度v（单位：cm3/s）匀速向容器注水，直至注满为止．图②是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．下列说法错误的是（　　）
A．a＝10 B．b＝24 C．c＝10 D．v＝2S
【考点】一次函数的应用．
【答案】C
【点拨】根据C段的容积是容器总容积的，则可得A、B是容器总容积的，由图象可知，注满A、B需要18分钟，则b＝18÷＝24；然后根据A、B、C的底面积分别为5S，2S，S分别求出a、c、v的值即可．
【解析】解：∵C段的容积是容器总容积的，
∴A、B是容器总容积的，
又∵注满A、B需要18分钟，
∴b＝18÷＝24，故选项B不符合题意；
∵A、B、C的底面积分别为5S，2S，S（单位：cm2），容器总高度为24cm，注满A的高度为4cm，
∴4×5S+2S（c﹣4）＝3S（24﹣c），
解得c＝12，故选项C符合题意；
∴v＝＝2S，故选项D不符合题意；
∴a＝＝10，故选项A不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意得出b和c的值是解答本题的关键．
8．（2022 杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 　　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】．
【点拨】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解析】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y＝3x﹣1与y＝kx的方程组的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
9．（2021 宁波模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 　x＜5　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【点拨】首先利用图象可找到图象在x轴下方时x＜5，进而得到关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．
【解析】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＜0时，图象在x轴下方，x＜5，
则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5，
故答案为：x＜5．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
10．（2022 富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（﹣，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 　﹣＜x＜﹣1　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】﹣＜x＜﹣1．
【点拨】当x＝﹣1时，y＝﹣3x＝3，可知直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x交于点A，根据图象即可确定不等式组得取值范围．
【解析】解：当x＝﹣1时，y＝﹣3x＝3，
∴直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x交于点A（﹣1，3），
根据图象可知，不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为﹣＜x＜﹣1，
故答案为：﹣＜x＜﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
11．（2021 金华模拟）已知经过点（0，2）的直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，则a＝　　，b＝　2　．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【答案】；2．
【点拨】相互平行的两条直线的一次项系数相等，故此a＝，将a＝，x＝0，y＝2代入y＝ax+b可求得b的值．
【解析】解：∵直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，
∴a＝．
∴直线y＝ax+b的解析式为y＝x+b．
将x＝0，y＝2代入得：b＝2．
故答案为：；2．
【点睛】本题主要考查的是两条直线平行问题，明确相互平行的两条直线的一次项系数相等是解题的关键．
12．（2023 仙居县一模）小波某时刻想喝水，饮水机显示水温为30℃，为预测水烧开的时间，小波每隔1分钟观察一次水温，得到数据如表．
等待时间t/分钟 0 1 2 3
水温T/℃ 30 40 50 60
（1）求水温T（单位：℃）关于等待时间t（单位：分钟）的函数解析式．
（2）求小波喝到100℃开水的最短等待时间．
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）T＝10t+30（t≥0）；
（2）最短等待时间为7分钟．
【点拨】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当T＝100时求出自变量的值即可．
【解析】解：（1）令水温T（单位：℃）关于等待时间t（单位：分钟）的函数解析式为T＝kt+b，
将（0，30）、（1，40）代入可得：
，
解得：，
∴水温T关于等待时间t的函数解析式为：T＝10t+30（t≥0）．
（2）当T＝100时，10t+30＝100，
解得：t＝7，
∴最短等待时间为7分钟．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
13．（2021 萧山区二模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数与一元一次不等式．
【答案】（1）x＞1；
（2）；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P．
【点拨】（1）根据点P（1，b）即可得到结论；
（2）直接把（1，b）代入y＝x+1可得b的值方程组的解就是两函数图象的交点；
（3）根据l2：y＝mx+n过点P（1，2）可得2＝m+n，如果y＝nx+m经过点P则点P的坐标满足函数解析式，代入可得m+n＝2，进而可得答案．
【解析】解：（1）∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），
∴x+1＞mx+n的解集为x＞1；
（2）把（1，b）代入y＝x+1可得：b＝1+1＝2，
∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），
∴方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P，
理由：∵l2：y＝mx+n过点P（1，2），
∴2＝m+n，
将P（1，2）代入l3：y＝nx+m，可得，m+n＝2，
因此直线l3：y＝nx+m经过点P．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
14．（2023 宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．
【点拨】（1）求出大巴速度为＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．
【解析】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为＝40（km/h），
∴s＝20+40t；
当s＝100时，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，
根据题意得：60（2﹣x）＝100，
解得：x＝，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
15．（2023 台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【考点】一次函数的应用．
【答案】任务1：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2；
任务2：h＝﹣0.1t+30；
任务3：（1）0.05，（2）0.038．
任务4：见解析．
【点拨】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：（1）根据题意计算即可；（2）设h＝kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
【解析】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）2+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）设：h＝kt+30，
∴w＝（0 k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）2+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2+0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．
16．（2022 泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由见解答过程；
（2）①p＜1；
②存在m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【点拨】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【解析】解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m＝时，x﹣＝0，
∴x＝3，
∴m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．
1．（2023 醴陵市一模）已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【考点】一次函数与一元一次方程．
【答案】A
【点拨】先把点P（m，3）代入直线y＝﹣3x求出m的值，故可得出P点坐标，再根据交点坐标进行解答即可．
【解析】解：∵直线y＝﹣3x和直线y＝kx+2的图象相交于点P（m，3），
∴3＝﹣3m，解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
∴关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是为x＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程，熟知函数与方程的关系是解答此题的关键．
2．（2021 乾县模拟）若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0）的解，则一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点坐标是（　　）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，0）
【考点】一次函数与一元一次方程．
【答案】D
【点拨】直线y＝mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0）．
【解析】解：∵方程的解为x＝2，
∴当x＝2时mx+n＝0；
∴当x＝﹣2时，﹣mx﹣n＝0，
∴一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
3．（2021 山西模拟）如图是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象可直接写出方程x﹣1＝0的解为x＝2，这种解题方法体现的数学思想是（　　）
A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．函数思想
【考点】一次函数与一元一次方程．
【答案】A
【点拨】通过观察图象得到方程的解为x＝2，这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合．
【解析】解：观察图象，一次函数与x轴交点是（2，0），
所以方程的解为x＝2，
这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
4．（2021 蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
【考点】一次函数与一元一次方程．
【答案】A
【点拨】由图象可以知道，当x＝3时，两个函数的函数值是相等的．
【解析】解：∵两条直线的交点坐标为（3，﹣1），
∴关于x的方程mx＝nx﹣b的解为x＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：方程的解就是两个一次函数图象的交点的横坐标．
5．（2023 婺城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），则不等式kx+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】B
【点拨】根据直线y＝kx+b与y轴交于点A（2，0），以及函数的增减性，即可求出不等式kx+b＞0的解集．
【解析】解：∵直线y＝kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），且y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（2021 杭州三模）如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．x＞0
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】A
【点拨】函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），求不等式3x+b＞ax﹣3的解集，就是看函数在什么范围内y＝3x+b的图象对应的点在函数y＝ax﹣3的图象上面
【解析】解：从图象得到，当x＞﹣2时，y＝3x+b的图象对应的点在函数y＝ax﹣3的图象上面，
∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集为：x＞﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
7．（2023 薛城区一模）我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【答案】B
【点拨】由若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
【解析】解：∵若ab＞0．则有或，
∴若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或．
当，由图得：，此时该不等式无解．
当，由图得：，此时不等式组的解集为﹣0.5＜x＜2．
综上：﹣0.5＜x＜2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
8．（2021 德阳）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【解析】解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y＝x上方，
∴b＞a，
∴＞﹣k﹣1，
解得k＞﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．
9．（2023 金华模拟）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　）
A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟
C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟
D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．
【考点】一次函数的应用．
【答案】D
【点拨】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D．
【解析】解：甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分），
10×3＝30（米/分），
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
乙攀登到300米时共用时：2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），故选项B不符合题意；
设y甲＝k1x+b1，y乙＝k2x+b2，
由函数图象得：，
解得，
∴y甲＝10x+100，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度为：30米/分，
∴乙从A到B的时间为：（300﹣30）÷30＝9，
∴t＝2+9＝11，
∴B（11，300），
∴，
解得，
∴y乙＝30x﹣30，
（3）当y甲＝y乙时，
则10x+100＝30x﹣30，
解得x＝6.5，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项C不符合题意；
从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：6.5×10+30+30×（6.5﹣2）＝65+30+135＝230（米），故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及两直线交点问题，读懂题意，理解图象中每个拐点的意义是解题的关键．
10．（2021 永嘉县模拟）如图，直线y＝x+1交y轴于点A，交直线l于点B，点P是线段AB上任意一点（不包括端点），PC∥y轴，交直线l于点C（点C在点P上方），PD⊥y轴于点D，以PC，PD为邻边构造矩形PDEC，若矩形PDEC的周长为8，则直线l的表达式为（　　）
A．y＝﹣x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+4 D．y＝﹣x+4
【考点】两条直线相交或平行问题；矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式．
【答案】A
【点拨】设点C的坐标为（x，y），根据“矩形PDEC的周长为8，PC∥y轴，交直线l于点C（点C在点P上方），PD⊥y轴”可得2x+2PC＝8，则PC＝4﹣x，进一步表示出点P坐标，代入直线y＝x+1，即可得到y与x的函数关系式，即直线l的表达式．
【解析】解：设点C的坐标为（x，y），
根据题意，得2x+2PC＝8，
∴PC＝4﹣x，
∵PC∥y轴，交直线l于点C（点C在点P上方），
∴P（x，y﹣4+x），
∵点P在直线y＝x+1上，
∴y﹣4+x＝x+1，
∴y＝x+5，
∵点C在直线l上，
∴直线l的解析式：y＝x+5，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，涉及矩形的性质，用点C坐标表示出点P坐标是解题的关键．
11．（2023 西湖区校级二模）已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于第 　四　象限．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】四．
【点拨】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此求解即可．
【解析】解：∵方程组的解为，
∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1），
∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，
∴交点在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型．
12．（2023 杭州模拟）已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与y＝3x+2的交点坐标为 　（﹣1，﹣1）　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】（﹣1，﹣1）．
【点拨】把代入y＝3x+2即可求出m的值，进而求出b的值，联立，再根据二元一次方程组和一次函数的关系，即可进行解答．
【解析】解：把代入得：m＝3×（﹣1）+2＝﹣1，
∴关于x，y的方程组的解是，
即：﹣1＝﹣（﹣1）+b，解得：b＝﹣2，
则有直线y＝﹣x+b为：y＝﹣x﹣2；
联立，解得：，
∴直线y＝﹣x+b与y＝﹣3x+2的交点坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标．
13．（2023 杭州模拟）已知一次函数y＝3x﹣7与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，﹣1），则方程组的解是 　　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】．
【点拨】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解析】解：∵一次函数y＝3x﹣7与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，﹣1），
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
14．（2022 西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是 　x＜1　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】x＜1．
【点拨】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可．
【解析】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，
故答案为：x＜1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键．
15．（2021 鹿城区一模）如图，直线l1：y＝x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，直线l2：y＝﹣x+m分别与x轴，y轴交于点C，D，直线l1，l2相交于点E，将△ABO向右平移5个单位得到△A′B'O'，若点B′恰好落在直线l2上，则DE：B'C＝　20：21　．
【考点】两条直线相交或平行问题；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质．
【答案】20：21．
【点拨】由平移的性质可知：B′（5，3），代入l2，从而得出l2的函数解析式，求出DE和B′C的长度．
【解析】解：因为y＝x+3，
所以B（0，3），
将B向右平移5个单位后B′（5，3），
因为B′在直线l2：y＝﹣x+m上，
所以m＝8，
所以l2：y＝﹣x+8，
所以D（0，8），C（8，0），
因为直线l1，l2相交于点E，
所以x+3＝﹣x+8得x＝，
所以y＝，
所以E（），
作EH⊥y轴于H，
由△DHE∽△COB′得，
，
所以DE：B'C＝20：21，
故答案为：20：21．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，平移的性质，结合相似来解决问题，是一道中档题．
16．（2023 余杭区模拟）设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（m，0），函数y2的图象经过点（n，0），求证：mn＝1．
（2）当y1＜y2时，求x的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【答案】（1）见解答；
（2）当k＞b时，x＜1，当k＜b时，x＞1．
【点拨】（1）把点（m，0），点（n，0）分别代入y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0），得到m＝﹣，n＝﹣，即可证得mn＝1；
（2）根据题意kx+b＜bx+k，即可得到（k﹣b）x＜k﹣b，当k＞b时，x＜1；当k＜b时，x＞1．
【解析】（1）证明：∵函数y1的图象经过点（m，0），
∴mk+b＝0，
∴m＝﹣，
∵函数y2的图象经过点（n，0），
∴nb+k＝0，
∴n＝﹣，
∴mn＝﹣ （﹣）＝1；
（2）解：当y1＜y2时，则kx+b＜bx+k，
∴（k﹣b）x＜k﹣b，
当k＞b时，x＜1，
当k＜b时，x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与一元一次不等式，解题的关键是：（1）求得m、n的值；（2）分类讨论．
17．（2021 富阳区二模）我们知道：|a|＝，在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝﹣4．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条这个函数具有的性质．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．
【答案】（1）y＝|x﹣3|﹣4；
（2）当x＞2时，y随x的增大而增大．
【点拨】（1）根据待定系数法可以求得该函数的表达式；
（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质．
【解析】解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝﹣4．
∴，解得，
∴这个函数的表达式是y＝|x﹣3|﹣4；
（2）该函数的图象如图所示：
由图象可知，当x＞2时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（2021 永嘉县校级模拟）如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，﹣），直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的表达式；
（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝2S△ACD，求点P的坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）设直线l2的表达式为：y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据直线l1的解析式y＝﹣3x+3求得D（1，0），解方程组得到C（2，﹣3），设P（m，m﹣6），根据S△ADP＝2S△ACD列方程即可得到结论．
【解析】解：（1）设直线l2的表达式为：y＝kx+b（k≠0），
∵直线l2经过点A（4，0），B（3，﹣），
∴，
∴，
∴直线l2的表达式为：y＝x﹣6；
（2）∵直线l1y＝﹣3x+3与x轴交于点D，
∴D（1，0），
解得，
∴C（2，﹣3），
设P（m，m﹣6），
∵S△ADP＝2S△ACD，
∴×3×|m﹣6|＝2××3×3，
∴m＝0或8，
∴点P的坐标（0，﹣6）或（8，6）．
【点睛】本题考查了两条直线平行或相交问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
19．（2023 嵊州市一模）为了增强居民的节水意识，某市规定：每月用水量不超过20立方米时，单价为每立米2.5元，每月用水量超过20立方米时，单价提高．某用户每月支付y（元）与用水量x（立方米）的函数图象如图所示，根据图象，回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）当每月用水量超过20立方米时，求y关于x的函数关系式；若该用户预计某个月用水量为35立方米，则这个月的水费需支付多少元．
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）50；
（2）y与x的关系式为：y＝4x﹣30；用水量为35立方米，这个月的水费需支付110元．
【点拨】（1）根据收费规则，可直接计算得出；
（2）由图可知，当每月用水量超过20立方米时，y与x构成一次函数关系式．设y＝kx+b，把（32，98），（20，50）代入组成二元一次方程组求出y和x的关系式，再将x＝35代入即可得出结论．
【解析】解：（1）根据题意可得，a＝20×2.5＝50；
（2）由图可知，当每月用水量超过20立方米时，y与x构成一次函数关系式．
设y＝kx+b，把（32，98），（20，50）代入得：
，解得，
∴y与x的关系式为：y＝4x﹣30．
当x＝35时，y＝110．
∴这个月的水费需支付110元．
综上，y与x的关系式为：y＝4x﹣30；用水量为35立方米，这个月的水费需支付110元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，读懂图象信息，属于中考常考题型．
20．（2023 金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【考点】一次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可．
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
【解析】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
∴设BC所在直线为s1＝100t+b，
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900．
当s1＝1900时，t哥哥＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时的解析式为s2＝160t+b，
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察图象以及利用待定系数法求解析式是解决该类问题的关键．
21．（2022 湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）B（3，120），AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；
（3）a的值为．
【点拨】（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
（2）由图象及（1）的结果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意列出方程即可求出a的值．
【解析】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，
依题意得：40（x+1）＝60x，
解得x＝2．
∴轿车出发后2小时追上大巴，
此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），
答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了3小时，
∴B（3，120），
由图象得A（1，0），
设AB所在直线的解析式为s＝kt+b，
∴，
解得，
∴AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；
（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，
解得a＝．
∴a的值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数图象解决问题，充分利用数形结合思想．
22．（2023 鹿城区校级三模）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
素 材 1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别套餐单价团体订购优惠方案A：米饭套餐30 元方案一：A套餐满20份及以上打9折； 方案二：B套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元．B：面食套餐25 元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材 2 该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务 1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？
任务 2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
任务 3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人；
（2）W＝2m+810；
（3）当订购A套餐15份，订购B套餐16份时，订餐总费用最低740元．
【点拨】（1）根据题意列出方程30x+25（20﹣x）＝565，进而求解；
（2）根据题意列出一次函数，求出解析式，进而求出总费用；
（3）分情况进行计算，最后进行比较，求出最小值．
【解析】解：（1）20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
∴设这20人中选择A套餐的有x人，
x＜20，
则选则B套餐的有（20﹣x）人，20﹣x＜12，
∴30x+25（20﹣x）＝565，
∴x＝13，
∴20﹣x＝7．
答：选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人．
（2）∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
∴当A套餐人数不少于20人时，13+m≥20，
∴m≥7，
则选择B套餐人数为18﹣m≤11，不满足优惠方案二的条件，
∴订餐总费用为：W＝30×0.9×（13+m）+25（7+11﹣m）＝2m+801；
（3）∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
①当m≥7时，由（2）得：W＝2m+801，
∵k＝2＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝7时总费用最小为W＝2×7+801＝815（元），
②当0≤m＜7时，13+m＜20，18﹣m＞11，
∴订餐总费用W＝30×（13+m）+25×0.8×（7+11﹣m）＝10m+750，
∵k＝10＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴m＝0时，W最小为750元，
③若选择优惠方案三，订餐总费用为W＝30×（13+m）+25×（7+11﹣m）＝5m+840，
∵总费用满850元立减110元，
∴当m＝2时，订餐费用最小为5×2+840﹣110＝740（元）．
综上所述，当订购A套餐15份，订购B套餐16份时，订餐总费用最低740元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，有一定的难度．
23．（2023 温州三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形MCN，∠MCN＝90°，MC＝NC，点C在x轴的负半轴上，点M，N在一次函数y＝﹣3x+3的图象上，且M点在第二象限，N点在第四象限，一次函数图象交y轴于点A，交x轴于点B，AM＝BN．
（1）求证：AC＝BC．
（2）求出点C的坐标及CN的长．
（3）点P从N匀速运动到C时，点Q恰好从A匀速运动到N，记PN＝x，MQ＝y，
①求出y关于x的函数表达式．
②连结PQ，点C关于直线PQ对称点为C′，连结PC′．若直线PC′与△MCN中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有x的值．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）3；
（3）①；
②或18﹣24．
【点拨】（1）由等腰直角三角形的性质得到∠CMN＝∠MNC，根据全等三角形的性质得到AC＝BC；
（2）先求得点A，B的坐标，可得OB＝1，OA＝3，设OC＝m，则AC＝BC＝m+1，根据勾股定理得到点C的坐标，过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式得到CD＝，
根据等腰三角形的性质可得CN＝CD＝3；
（3）①根据等腰三角形 到现在得到MN＝3，AN＝2，根据，解方程即可得到结论；
②分两种情况：当PC′∥CM时，PC′⊥CN，当PC′∥MN时，分别计算即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵CM＝CN，
∴∠CMN＝∠MNC，
在△AMC与△BNC中，
，
∴△AMC≌△BNC（SAS），
∴AC＝BC；
（2）解：设OC＝m，∵y＝﹣3x+2，
∴当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），B（1，0），
∴OB＝1，OA＝3，
∴AC＝BC＝m+1，
在Rt△AOC中，由勾股定理得，（m+1）2＝m2+32，解得m＝4，
∴C（﹣4，0），过C作CD⊥AB于D，
∵OB＝1，OA＝3，
∴，
∴，
∴，
∵△MCN是等腰直角三角形，
∴∠CND＝45，
∵CD⊥MN，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：①如图所示，∵△MCN是等腰直角三角形，
∴，
∵，
由题意得，
∴，
∴；
②Ⅰ如图当PC′∥CM时，PC′⊥CN，
∴∠CPQ＝135°，
∴∠NPQ＝45°，
∴PQ⊥AN，
∴，
∴，
∴；
Ⅱ如图，当PC′∥MN时，延长QP到E，
由轴对称的性质可知，∠CPE＝∠C′PE，
∴∠QPN＝∠C′PE，
∵PC′∥MN，
∴∠PQN＝∠C′QN，
∴PN＝QN，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的所有x的值为或18﹣24．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，少了则各定理是解题的关键．
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