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第二章 方程（组）与不等式（组）
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式的基本性质 ☆ 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握．
考点2 一元一次不等式（组）的解法 ☆☆
考点3含字母的不等式的解集问题 ☆
考点4 一元一次不等式（组）的应用 ☆☆☆
1．一元一次不等式(组)的概念：
(1)用不等号连结起来的数学式子叫做不等式．
(2)使不等式成立的未知数的值的全体，叫做不等式的解集，简称不等式的解．
(3)求不等式的解的过程，叫做解不等式．
2．不等式的基本性质：
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
若a＞b，c＞0，则a±c ＞ b±c．
(2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
若a＞b，c＞0，则ac ＞ bc， ＞ ．
(3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
若a＞b，c＜0，则ac ＜ bc， ＜ ．
3．不等式的解法：
解一元一次不等式和解一元一次方程类似，不同的是一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．基本步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
4．解不等式组：
一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”．
5．列不等式解应用题的一般步骤：
(1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)．
6．列不等式解应用题应注意的问题：
(1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件．
(2)正确理解题目中的关键词语(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超过、至少等)的确切含义．
■考点一　不等式的基本性质
◇典例1：（2022 包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．＞n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【考点】不等式的性质．
【答案】D
【点拨】A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变．
【解析】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
◆变式训练
1．（2023 北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【考点】不等式的性质．
【答案】B
【点拨】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解析】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2021 临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】不等式的性质．
【答案】A
【点拨】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解析】解：a＞b，
∴当a＞0时，a2＞ab，
当a＝0时，a2＝ab，
当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误
∵a＞b，
∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，
当|a|＝|b|时，a2＝b2，
当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，故③结论错误；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴，故④结论正确；
∴正确的个数是1个．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
■考点二 一元一次不等式（组）的解法
◇典例2：
1.（2023 盐城）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】x＜1．
【点拨】先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解析】解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x﹣4，
去括号，得6x﹣9＜x﹣4，
移项合并同类项，得5x＜5，
系数化为1，得x＜1
∴原不等式的解集为：x＜1．
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
2．（2023 天津）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 　x≥﹣2　；
（2）解不等式②，得 　x≤1　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤1　．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（3）解集先数轴上表示见解答；
（4）﹣2≤x≤1．
【点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解析】解：（1）解不等式①，得x≥﹣2；
（2）解不等式②，得x≤1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
（4）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1；
故答案为：（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（4）﹣2≤x≤1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】B
【点拨】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
【解析】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
2．（2022 金华）解不等式：2（3x﹣2）＞x+1．
【考点】解一元一次不等式．
【答案】x＞1．
【点拨】利用解不等式的方法解答即可．
【解析】解：去括号得：
6x﹣4＞x+1，
移项得：
6x﹣x＞4+1，
合并同类项得：
5x＞5，
∴x＞1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
3．（2023 常州）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】﹣1＜x≤2，数轴见解答，整数解是：0，1，2．
【点拨】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【解析】解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为
，
∴不等式组的整数解是：0，1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能求出不等式组的解集．
■考点三 含字母的不等式的解集问题
◇典例3：（2023 黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　a≤﹣1　．
【考点】不等式的解集．
【答案】a≤﹣1．
【点拨】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可．
【解析】解：解不等式组，得．
∵它的解集为﹣1＜x＜4，
∴a≤﹣1．
故答案为：a≤﹣1．
【点睛】本题考查不等式的解集，正确求解不等式是本题的关键．
◆变式训练
1．（2023 明水县二模）关于x的两个不等式与1﹣3x＞0的解集相同，则a＝　1　．
【考点】不等式的解集．
【答案】1
【点拨】求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可．
【解析】解：由得：，
由1﹣3x＞0得：，
由两个不等式的解集相同，得到，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
2．（2023 龙川县三模）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 　m≤11　．
【考点】不等式的解集．
【答案】m≤11．
【点拨】根据找不等式组解集的规律和已知得出即可．
【解析】解：∵关于x的不等式组无解，
∴实数m的取值范围是m≤11，
故答案为：m≤11．
【点睛】本题考查了解不等式组和不等式的解集，能熟记找不等式组解集的规律是解此题的关键．
■考点四　 一元一次不等式（组）的应用
◇典例4：（2023 江山市模拟）常山“双柚汁”因为口感清新，营养价值丰富而深受市民的喜爱，某超市购进两种不同品牌的双柚汁，A品牌总花费4000元，单价x元/箱，B品牌总花费6000元，单价1.2x元/箱，其中B品牌双柚汁比A品牌多20箱．
（1）求B品牌购进的数量；
（2）该超市分别以70元和80元的单价销售A、B两种品牌的双柚汁，在A品牌售出一半，B品牌售出后，超市决定加大销售力度，对A品牌按买4箱送1箱捆绑销售，B品牌每箱降价a元销售；
①用含a的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额；
②若超市的总利润不低于2290元，求a的最大值．
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式．
【答案】（1）B品牌购进的数量100箱；
（2）①（13040﹣75a）元；
②a的最大值为143.3元．
【点拨】（1）根据题意，列方程解答即可；
（2）①根据题意A品牌售出一半，B品牌售出前后，A、B品牌销售额加起即可；
②根据超市的总利润不低于2290元，列不等式解答即可．
【解析】解：（1）A品牌购进箱，B品牌购进箱，
∵B品牌双柚汁比A品牌多20箱，
∴，
解得x＝50，
经检验，x＝50是分式方程的解，
∴B品牌购进箱；
（2）①A品牌购进＝＝80箱，A品牌购100箱，
∵A品牌售出一半，即40箱，每箱70元共销售40×70＝2800元，
∵B品牌售出即25箱，每箱80元共销售25×80＝2000元，
∵A品牌按买4箱送1箱，40箱可凑8个4箱送1箱，共销售8×4×70＝2240元，
∵B品牌每箱降价a元销售，即每箱售价（80﹣a）元，共销售75×（80﹣a）元，
∴全部售完后的销售额＝2800+2000+2240+75×（80﹣a）＝（13040﹣75a）元；
②13040﹣75a≥2290，
10750≥75a，
a≤143.3，
∴a的最大值为143.3元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，能列出一元一次不等式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 滨江区二模）一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（　　）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80
C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【答案】B
【点拨】设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解析】解：设小聪答错了x道题，则答对了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道题，
依题意得：5（19﹣x）﹣2x≥80．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
2．（2021 上城区一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价；
②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．
【考点】一元一次不等式组的应用；反比例函数的应用．
【答案】（1）y＝；（2）①6.4元；②4.8≤y≤8．
【点拨】（1）由学生人数乘以奖品均价等于奖品总价列出方程，从而求出y关于x的函数表达式；
（2）①由未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人列方程，求出x，再求y；
②由获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，列不等式，求出奖品均价的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得：x y＝480，
∴y＝；
（2）①∵有x名学生获奖，则有（400﹣x）名学生未获奖，
∴400﹣x＝4x+25，
解得：x＝75（人），
∴y＝6.4（元）；
②由题意得：400×15%≤x≤400×25%，
即60≤x≤100，
由（1）知y与x成反比，
∴≤y≤，
即4.8≤y≤8，
∴奖品均价的取值范围为：4.8≤y≤8．
【点睛】此题考查反比例函数以及方程和不等式的应用，由题意得列方程是不等式关键．
1．（2021 湖州）不等式3x﹣1＞5的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞ D．x＜
【考点】解一元一次不等式．
【答案】A
【点拨】不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
【解析】解：不等式3x﹣1＞5，
移项合并得：3x＞6，
解得：x＞2．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解本题的关键．
2．（2023 龙港市二模）不等式组的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．﹣2＜x＜﹣1
【考点】解一元一次不等式组．
【答案】B
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：由2x＞﹣4得：x＞﹣2，
由1﹣x＜0得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1，
故答案为：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
【考点】不等式的性质．
【答案】A
【点拨】根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
【解析】解：A选项，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
C选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3时，a+c＜b﹣d，故该选项不符合题意；
D选项，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3时，a+b＜c﹣d，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式（或相等的整式），不等号的方向不变是解题的关键．
4．（2021 丽水）若﹣3a＞1，两边都除以﹣3，得（　　）
A．a＜﹣ B．a＞﹣ C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
【考点】不等式的性质．
【答案】A
【点拨】根据不等式的性质3求出答案即可．
【解析】解：∵﹣3a＞1，
∴不等式的两边都除以﹣3，得a＜﹣，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质3进行变形是解此题的关键，注意：不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变．
5．（2023 长兴县二模）据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＞25 B．t≤25 C．25＜t＜33 D．25≤t≤33
【考点】不等式的定义．
【答案】D
【点拨】最高气温与最低气温之间的气温即为当天气温t（℃）的变化范围．
【解析】解：当天气温t（℃）的变化范围是25≤t≤33，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是抓住关键词语，最高和最低，从而可列出不等式组．
6．（2023 衢州一模）不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【答案】D
【点拨】将已知解集表示在数轴上即可．
【解析】解：不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是．
故选：D．
【点睛】考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．（2022 拱墅区模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】不等式的解集．
【答案】A
【点拨】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根据x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解即可．
【解析】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b，
因为x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，
所以b的值不可能是1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据不等式的解的概念得出关于x的不等式并熟练掌握解一元一次不等式的能力．
8．（2023 金华模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【答案】D
【点拨】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解析】解：，
解得，
不等式组的解集是﹣1＜x≤1，
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9．（2021 永嘉县校级模拟）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【考点】不等式的解集．
【答案】A
【点拨】利用不等式组取解集的方法判断即可得到m的范围．
【解析】解：∵等式组的解集是x＞4，
∴m≤4，
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
10．（2023 丽水模拟）如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣3
C．m＞﹣3 D．m是任意实数
【考点】不等式的解集．
【答案】B
【点拨】由原不等式变形为（m+3）x＞2（m+3），解该不等式的下一步是两边都除以x的系数（m+3），题中给出的解集是x＜2，改变了不等号的方向，所以x的系数是小于0的，据此可以求得m的取值范围．
【解析】解：由不等式（m+3）x＞2m+6，得
（m+3）x＞2（m+3），
∵（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，
∴m+3＜0，
解得，m＜﹣3；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集．当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
11．（2023 拱墅区三模）已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b
【考点】不等式的解集．
【答案】A
【点拨】根据不等式组的解集可列出关于a、b的不等式，根据不等式的基本性质求出a、b的关系即可．
【解析】解：∵不等式组的解为x≥﹣b，
∴﹣a＜﹣b，
∴a＞b，
故选：A．
【点睛】本题主要考查不等式组的解集，解答此题的关键是熟知解一元一次不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式；有理数的加减混合运算．
【答案】A
【点拨】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
【解析】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
13．（2020 柯桥区模拟）已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？（　　）
A．309 B．316 C．336 D．339
【考点】一元一次不等式的应用．
【答案】C
【点拨】由于在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，所以第n个广告牌距离A地12+27（n﹣1），设此车停止时前面有x个广告牌，根据题意列出不等式12+27（x﹣1）≤320+19，将不等式的最大整数解代入12+27（x﹣1），计算即可．
【解析】解：设此车停止时前面有x个广告牌，根据题意得
12+27（x﹣1）≤320+19，
x≤13，
即此车停止时前面有13个广告牌，并且超过第13个广告牌3公里，
所以此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地320+19﹣3＝336公里，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系列出不等式，再求解．
14．（2022 绍兴）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是 　x＞1　．
【考点】解一元一次不等式．
【答案】x＞1．
【点拨】根据解一元一次不等式步骤即可解得答案．
【解析】解：∵3x﹣2＞x，
∴3x﹣x＞2，即2x＞2，
解得x＞1，
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．
15．（2023 临平区二模）在平面直角坐标系中，点P（m﹣1，m+2）位于第一象限，则m的取值范围为 　m＞1　．
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征可得：，然后进行计算即可解答．
【解析】解：∵点P（m﹣1，m+2）位于第一象限，
∴，
解得：m＞1，
故答案为：m＞1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
16．（2023 滨江区一模）如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形ABCD菜园，若6m≤AB≤10m，则BC的取值范围为 　20m≤BC≤28m　．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【答案】20m≤BC≤28m．
【点拨】根据题意可得2AB+BC＝40m，从而表示出，再由6m≤AB≤10m即可得到，解不等式组即可得到答案．
【解析】解：根据题意可得：2AB+BC＝40m，
∴，
∵6m≤AB≤10m，
∴，
解得：20m≤BC≤28m，
∴BC的取值范围为：20m≤BC≤28m，
故答案为：20m≤BC≤28m．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
17．（2022 滨江区一模）若不等式组的解集为的解为x＞n，则n的取值范围是 　n≥1　．
【考点】不等式的解集．
【答案】n≥1．
【点拨】根据同大取大即可得n的取值范围．
【解析】解：若不等式组的解集为的解为x＞n，则n的取值范围是n≥1．
故答案为：n≥1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（2022 临安区一模）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 　3　种购买方案．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【答案】3．
【点拨】设购买篮球x个，则购买足球（100﹣x）个，利用总价＝单价×数量，结合“篮球购买的数量不少于40个，且总价不超过10260元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解析】解：设购买篮球x个，则购买足球（100﹣x）个，
依题意得：，
解得：40≤x≤42．
又∵x为正整数，
∴x可以为40，41，42，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
19．（2022 温州）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】x≤2.5，解集在数轴上表示见解答．
【点拨】先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．
【解析】9x﹣2≤7x+3，
移项，得：9x﹣7x≤3+2，
合并同类项，得：2x≤5，
系数化为1，得：x≤2.5，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点睛】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确实数运算的运算法则和解一元一次不等式的方法．
20．（2021 兰溪市模拟）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【答案】﹣1≤x＜5
【点拨】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解析】解：，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣1，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．（2021 上城区二模）身体质量指数（BMI）的计算公式是：BMI＝．这里W为身体的体重（单位：kg），h为身高（单位：m）．男性的BMI指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9．
（1）有一位男运动员身高1.8m，体重81kg，请问他的BMI正常吗？
（2）有一位成年男性身高2m且他的BMI正常，请求出他的体重范围．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【答案】（1）不正常；
（2）他的体重不少于74kg，不超过95.6kg．
【点拨】（1）利用身体质量指数（BMI）的计算公式可求出该运动员的BMI值，结合男性的BMI指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9，即可得出结论；
（2）设他的体重为x kg，根据身体质量指数（BMI）的计算公式及男性的BMI指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解析】解：（1）81÷1.82＝81÷3.24＝25，
∵25＞23.9，
∴该运动员的BMI不正常．
（2）设他的体重为x kg，
依题意得：，
解得：74≤x≤95.6，
答：他的体重不少于74kg，不超过95.6kg．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
22．（2022 镇海区校级二模）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变）
销售数量（辆） 销售额（万元）
A款 B款
一月份 30 10 350
二月份 10 30 330
（1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？
（2）若A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为5.5万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？
（3）为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定α的取值，并说明理由．
【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【答案】（1）A款汽车每辆售价是9万元，B款汽车每辆售价是8万元；
（2）该公司共有3种进货方案，
方案1：购进7辆A款汽车，13辆B款汽车；
方案2：购进8辆A款汽车，12辆B款汽车；
方案3：购进9辆A款汽车，11辆B款汽车；
（3）a＝1，理由见解答．
【点拨】（1）设A款汽车每辆售价是x万元，B款汽车每辆售价是y万元，利用总价＝单价×数量，结合今年一、二月份销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m辆A款汽车，则购进（20﹣m）辆B款汽车，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于129万元且不少于123万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各进货方案；
（3）a的值为1，设这20辆汽车全部售出后获得的利润为w万元，利用总利润＝每台的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，由（2）中所有的方案获利相同，可得出a﹣1＝0，解之即可得出a的值．
【解析】解：（1）设A款汽车每辆售价是x万元，B款汽车每辆售价是y万元，
依题意得：，
解得：．
答：A款汽车每辆售价是9万元，B款汽车每辆售价是8万元．
（2）设购进m辆A款汽车，则购进（20﹣m）辆B款汽车，
依题意得：，
解得：≤m≤．
又∵m为整数，
∴m可以为7，8，9，
∴该公司共有3种进货方案，
方案1：购进7辆A款汽车，13辆B款汽车；
方案2：购进8辆A款汽车，12辆B款汽车；
方案3：购进9辆A款汽车，11辆B款汽车．
（3）a的值为1，理由如下：
设这20辆汽车全部售出后获得的利润为w万元，则w＝（9﹣7.5）m+（8﹣a﹣5.5）（20﹣m）＝（a﹣1）m+50﹣20a，
又∵（2）中所有的方案获利相同，
即w的值与m无关，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
1．（2023 金华模拟）若a＞b，则下列选项中，一定成立的是（　　）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
【考点】不等式的性质．
【答案】A
【点拨】根据a＞b和不等式的性子，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解：∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故选项A正确，符合题意；
a﹣2＜b﹣2，故选项B错误，不符合题意；
2a＜2b，故选项C错误，不符合题意；
﹣2a＞﹣2b，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
2．（2023 舟山三模）若a＜b，下列各式中一定成立的是（　　）
A．am＞bm B． C．（1+m2）a＜（1+m2）b D．1﹣a＜1﹣b
【考点】不等式的性质．
【答案】C
【点拨】运用不等式的性质进行逐一求解、辨别．
【解析】解：∵a＜b，m＜0时，am＞bm，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，m＞0时，＞，
∴选项B不符合题意；
∵a＜b时，（1+m2）a＜（1+m2）b，
∴选项C符合题意；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴1﹣a＞1﹣b，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了不等式性质的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．（2020 温州模拟）满足﹣2＜x≤1的数在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【答案】B
【点拨】﹣2＜x≤1表示不等式x＞﹣2与不等式x≤1的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解析】解：由于x＞﹣2，所以表示﹣2的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．
由于x≤1，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．
所以数轴表示的解集为：
故选：B．
【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（2022 衢州）不等式组的解集是（　　）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
【考点】解一元一次不等式组．
【答案】D
【点拨】先解出每个不等式，再求公共解集即可．
【解析】解：，
解不等式①得x＜4，
解不等式②得x＞3，
∴不等式组的解集为3＜x＜4，
故选：D．
【点睛】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法．
5．（2021 镇海区模拟）把一些书分给几名同学，若每人分10本，则多8本；若每人分11本，仍有剩余．依题意，设有x名同学，可列不等式（　　）
A．10x+8＞11x B．10x+8＜11x C．10（x+8）＞11x D．10（x+8）＜11x
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【答案】A
【点拨】根据不等式表示的意义解答即可．
【解析】解：依题意，设有x名同学，可列不等式10x+8＞11x，
故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
6．（2023 衢州二模）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x（m）应满足的不等式为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【答案】C
【点拨】根据为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，从而可以列出相应的方程．
【解析】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域，
∴＞，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
7．（2023 宁波模拟）商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（　　）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
【考点】一元一次不等式的应用．
【答案】B
【点拨】由购买5件商品只需150元可设可以购买该商品x件（x＞5），根据30×5+30×0.8×超出5件部分≤270，列出关于x的一元一次不等式，解之取其最大的正整数即可．
【解析】解：设可以购买该商品x件（x＞5），
根据题意得：30×5+30×0.8（x﹣5）≤270，
解得：x≤10，
即最多可以购买该商品10件，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8．（2023 镇江一模）甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺码分别是x甲，x乙，x丙，x丁，请通过以下几句正确对话，
①甲对丙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
②丙对乙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
③丁对甲说：“我们两个所穿的鞋的尺码加起来比他俩的尺码和小”；
判断他们所穿鞋的尺码的大小关系是（　　）
A．x丁＜x甲＜x丙＜x乙 B．x乙＜x丙＜x甲＜x丁 C．x乙＜x丁＜x丙＜x甲 D．x丁＜x乙＜x丙＜x甲
【考点】不等式的性质．
【答案】D
【点拨】根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
【解析】解：由题意得：x甲＞x丙，x丙＞x乙，x甲+x丁＜x丙+x乙，
∴x丁＜x乙，
∴x丁＜x乙＜x丙＜x甲，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
9．（2021 铁岭模拟）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
【考点】不等式的解集．
【答案】D
【点拨】先解不等式组，然后根据题意可得a≥﹣2，由此求得a的取值．
【解析】解：，
解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，
由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，
∵不等式组：不等式组有解，
∴a＞﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组有解的条件，属于中档题．
10．（2021 九原区模拟）已知关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，则a的范围是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
【考点】不等式的解集．
【答案】C
【点拨】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【解析】解：由＞1得，x＞，
由＞0得，x＞﹣，
∵关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，
∴≥﹣，
解得a≤5．
即a的取值范围是：a≤5．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出关于a的不等式是解题的关键．
11．（2021 衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集为 　y＜1　．
【考点】解一元一次不等式．
【答案】y＜1．
【点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，注意移项要变号．
【解析】解：2（y+1）＜y+3
2y+2＜y+3
2y﹣y＜3﹣2
y＜1，
故答案为：y＜1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是解题的关键．
12．（2023 温州）不等式组的解是 　﹣1≤x＜3　．
【考点】解一元一次不等式组．
【答案】﹣1≤x＜3．
【点拨】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解析】解：，
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故答案为：﹣1≤x＜3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
13．（2021 苏州）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 　0＜x＜　．
【考点】不等式的性质．
【答案】0＜x＜．
【点拨】由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，根据k＝﹣2＜0可得，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【解析】解：由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，
根据0＜y＜1可知0＜﹣2x+1＜1，
∴﹣1＜﹣2x＜0，
∴0＜x＜．
故答案为：0＜x＜．
【点睛】此题考查了不等式的性质和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
14．（2023 射阳县校级模拟）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x＞，则a的取值范围为　a＜﹣2　．
【考点】不等式的解集．
【答案】a＜﹣2
【点拨】根据不等式的基本性质，由不等式x（a+2）＜1的解集为x＞，可得：a+2＜0，据此求出a的取值范围即可．
【解析】解：∵不等式（a+2）x＜1的解集为x＞，
∴a+2＜0，
∴a的取值范围为：a＜﹣2．
故答案为：a＜﹣2．
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，注意不等式的基本性质的应用
15．（2022 二道区校级二模）如图1，一个容量为600cm3的杯子中装有300cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图2，设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为 　300+4x＜600　．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式；认识立体图形．
【答案】300+4x＜600．
【点拨】水的体积+4个玻璃球的体积＜600cm3．
【解析】解：水的体积为300cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4x cm3，
根据题意得到：300+4x＜600．
故答案为：300+4x＜600．
【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
16．（2023 丰台区一模）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售．A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个．
（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为 　（400﹣2x﹣2y）　（用含x，y的代数式表示）；
（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进 　40　袋．
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式．
【答案】（1）（400﹣2x﹣2y）；
（2）40．
【点拨】（1）由已知购进的肉粽（200﹣x﹣y）袋，故购进的肉粽为2（200﹣x﹣y）＝（400﹣2x﹣2y）个；
（2）设购进的小枣粽m袋，豆沙粽n袋，则购进的肉粽（200﹣m﹣n）袋，则购进的小枣粽6m个，豆沙粽4n个，购进的肉粽2（200﹣m﹣n）个，根据A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个，B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个，可得8n+（400﹣2m﹣2n）＝6m，即m＝n+50，又肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，即得200﹣（n+50）﹣n≥80，解不等式可得答案．
【解析】解：（1）由已知得，购进的肉粽（200﹣x﹣y）袋，肉粽每袋2个，
∴购进的肉粽2（200﹣x﹣y）＝（400﹣2x﹣2y）个；
故答案为：（400﹣2x﹣2y）；
（2）设购进的小枣粽m袋，豆沙粽n袋，则购进的肉粽（200﹣m﹣n）袋，
∵小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个，
∴购进的小枣粽6m个，豆沙粽4n个，购进的肉粽2（200﹣m﹣n）个，
∵A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个，
∴A套装包装了4n÷2＝2n（套），A套装需2n×4＝8n（个）小枣粽，
∵B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个，
∴B套装包装了2（200﹣m﹣n）÷2＝（200﹣m﹣n）套，B套装需2（200﹣m﹣n）＝（400﹣2m﹣2n）个小枣粽，
∴8n+（400﹣2m﹣2n）＝6m，
变形整理得：m＝n+50，
∵肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，
∴200﹣m﹣n≥200×，
∴200﹣（n+50）﹣n≥80，
解得n≤40，
∴豆沙粽最多购进40袋，
故答案为：40．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式解决问题．
17．（2023 绍兴）解不等式：3x﹣2＞x+4．
【考点】解一元一次不等式．
【答案】x＞3．
【点拨】利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
【解析】解：3x﹣2＞x+4，
移项得：3x﹣x＞4+2，
即：2x＞6，
系数化为1，得：x＞3，
∴原不等式的解集是：x＞3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
18．（2023 福建）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【答案】﹣3≤x＜1．
【点拨】先求出每个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”原则求出不等式组的解集即可．
【解析】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥﹣3．
所以原不等式组的解集为﹣3≤x＜1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19．（2023 宁夏）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任务一：该同学的解答过程第 　4　步出现了错误，错误原因是 　不等式的基本性质3应用错误　；
不等式①的正确解集是 　x＜1　；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【考点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【答案】任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1；
任务二：﹣1≤x＜1．
【点拨】任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可；
任务二：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解析】解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1；
任务二：﹣3x+x≤4﹣2，
﹣2x≤2，
x≥﹣1，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
20．（2021 乐山）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1？
【考点】解一元一次不等式；代数式求值．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据题意列出关于x的一元一次不等式﹣＞1，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可．
【解析】解：依题意得：﹣＞1，
去分母，得：3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，
去括号，得：3x+9﹣4x+2＞6，
移项，得：3x﹣4x＞6﹣2﹣9，
合并同类项，得：﹣x＞﹣5，
系数化为1，得：x＜5．
∵x为正整数，
∴x取1，2，3，4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
21．（2023 兰考县一模）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）最多可购进乙型头盔120个；
（3）能，①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
【点拨】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设乙型头盔m个，根据所需费用＝数量×单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m的最大值；
（3）根据利润＝单件利润×数量，列不等式，求出乙型头盔m的取值范围，结合（2）中答案确定m的取值范围，即可得出可选方案．
【解析】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（200﹣m）个，
根据题意，得：65m+30（200﹣m）≤10200，
解得：m≤120，
∴m的最大值为120；
答：最多可购进乙型头盔120个；
（3）能，
根据题意，得：（58﹣30）（200﹣m）+（98﹣65）m≥6190；
解得：m≥118；
∴118≤m≤120；
∵m为整数，
∴m可取118，119或120，对应的200﹣m的值分别为82，81或80；
因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；
②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；
③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数．
22．（2023 双峰县一模）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5490元．那么有哪几种购买方案？
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元；（2）共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点拨】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5490元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解析】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设果购篮球m个，则果购足球为（50﹣m）个，
要求篮球不少于30个，且总费用不超过5490元，
∴，
解得30≤m≤33，
m为整数，
m的值可为30，31，32，33．
答：共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
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第二章 方程（组）与不等式（组）
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式的基本性质 ☆ 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握．
考点2 一元一次不等式（组）的解法 ☆☆
考点3含字母的不等式的解集问题 ☆
考点4 一元一次不等式（组）的应用 ☆☆☆
1．一元一次不等式(组)的概念：
(1)用 连结起来的数学式子叫做不等式．
(2)使不等式成立的未知数的值的全体，叫做 ，简称不等式的解．
(3)求不等式的解的过程，叫做 ．
2．不等式的基本性质：
(1)不等式的两边都 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
若a＞b，c＞0，则a±c b±c．
(2)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向不变．
若a＞b，c＞0，则ac bc， ．
(3)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向改变．
若a＞b，c＜0，则ac bc， ．
3．不等式的解法：
解一元一次不等式和解一元一次方程类似，不同的是一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须 ．基本步骤为： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)系数化为1.
4．解不等式组：
一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的 ，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组 ．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”．
5．列不等式解应用题的一般步骤：
(1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)．
6．列不等式解应用题应注意的问题：
(1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件．
(2)正确理解题目中的关键词语(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超过、至少等)的确切含义．
■考点一　不等式的基本性质
◇典例1：（2022 包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．＞n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
◆变式训练
1．（2023 北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
2．（2021 临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
■考点二 一元一次不等式（组）的解法
◇典例2：
1.（2023 盐城）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
2．（2023 天津）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 　　．
◆变式训练
1．（2023 台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 金华）解不等式：2（3x﹣2）＞x+1．
3．（2023 常州）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
■考点三 含字母的不等式的解集问题
◇典例3：（2023 黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　　．
◆变式训练
1．（2023 明水县二模）关于x的两个不等式与1﹣3x＞0的解集相同，则a＝　　．
2．（2023 龙川县三模）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 　　．
■考点四　 一元一次不等式（组）的应用
◇典例4：（2023 江山市模拟）常山“双柚汁”因为口感清新，营养价值丰富而深受市民的喜爱，某超市购进两种不同品牌的双柚汁，A品牌总花费4000元，单价x元/箱，B品牌总花费6000元，单价1.2x元/箱，其中B品牌双柚汁比A品牌多20箱．
（1）求B品牌购进的数量；
（2）该超市分别以70元和80元的单价销售A、B两种品牌的双柚汁，在A品牌售出一半，B品牌售出后，超市决定加大销售力度，对A品牌按买4箱送1箱捆绑销售，B品牌每箱降价a元销售；
①用含a的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额；
②若超市的总利润不低于2290元，求a的最大值．
◆变式训练
1．（2023 滨江区二模）一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则（　　）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80
C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
2．（2021 上城区一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价；
②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．
1．（2021 湖州）不等式3x﹣1＞5的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞ D．x＜
2．（2023 龙港市二模）不等式组的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．﹣2＜x＜﹣1
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
4．（2021 丽水）若﹣3a＞1，两边都除以﹣3，得（　　）
A．a＜﹣ B．a＞﹣ C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
5．（2023 长兴县二模）据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＞25 B．t≤25 C．25＜t＜33 D．25≤t≤33
6．（2023 衢州一模）不等式x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022 拱墅区模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023 金华模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2021 永嘉县校级模拟）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4
10．（2023 丽水模拟）如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣3
C．m＞﹣3 D．m是任意实数
11．（2023 拱墅区三模）已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b
12．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
13．（2020 柯桥区模拟）已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？（　　）
A．309 B．316 C．336 D．339
14．（2022 绍兴）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是 　　．
15．（2023 临平区二模）在平面直角坐标系中，点P（m﹣1，m+2）位于第一象限，则m的取值范围为 　　．
16．（2023 滨江区一模）如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形ABCD菜园，若6m≤AB≤10m，则BC的取值范围为 　　．
17．（2022 滨江区一模）若不等式组的解集为的解为x＞n，则n的取值范围是 　n≥1　．
18．（2022 临安区一模）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 　　种购买方案．
19．（2022 温州）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．
20．（2021 兰溪市模拟）解不等式组．
21．（2021 上城区二模）身体质量指数（BMI）的计算公式是：BMI＝．这里W为身体的体重（单位：kg），h为身高（单位：m）．男性的BMI指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9．
（1）有一位男运动员身高1.8m，体重81kg，请问他的BMI正常吗？
（2）有一位成年男性身高2m且他的BMI正常，请求出他的体重范围．
22．（2022 镇海区校级二模）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变）
销售数量（辆） 销售额（万元）
A款 B款
一月份 30 10 350
二月份 10 30 330
（1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？
（2）若A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为5.5万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？
（3）为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定α的取值，并说明理由．
1．（2023 金华模拟）若a＞b，则下列选项中，一定成立的是（　　）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
2．（2023 舟山三模）若a＜b，下列各式中一定成立的是（　　）
A．am＞bm B． C．（1+m2）a＜（1+m2）b D．1﹣a＜1﹣b
3．（2020 温州模拟）满足﹣2＜x≤1的数在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022 衢州）不等式组的解集是（　　）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
5．（2021 镇海区模拟）把一些书分给几名同学，若每人分10本，则多8本；若每人分11本，仍有剩余．依题意，设有x名同学，可列不等式（　　）
A．10x+8＞11x B．10x+8＜11x C．10（x+8）＞11x D．10（x+8）＜11x
6．（2023 衢州二模）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x（m）应满足的不等式为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 宁波模拟）商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（　　）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
8．（2023 镇江一模）甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺码分别是x甲，x乙，x丙，x丁，请通过以下几句正确对话，
①甲对丙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
②丙对乙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
③丁对甲说：“我们两个所穿的鞋的尺码加起来比他俩的尺码和小”；
判断他们所穿鞋的尺码的大小关系是（　　）
A．x丁＜x甲＜x丙＜x乙 B．x乙＜x丙＜x甲＜x丁 C．x乙＜x丁＜x丙＜x甲 D．x丁＜x乙＜x丙＜x甲
9．（2021 铁岭模拟）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
10．（2021 九原区模拟）已知关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，则a的范围是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
11．（2021 衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集为 　 　．
12．（2023 温州）不等式组的解是 　 　．
13．（2021 苏州）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 　 　．
14．（2023 射阳县校级模拟）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x＞，则a的取值范围为　 　．
15．（2022 二道区校级二模）如图1，一个容量为600cm3的杯子中装有300cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图2，设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为 　 　．
16．（2023 丰台区一模）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售．A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个．
（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为 　 （用含x，y的代数式表示）；
（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进 　 　袋．
17．（2023 绍兴）解不等式：3x﹣2＞x+4．
18．（2023 福建）解不等式组：．
19．（2023 宁夏）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任务一：该同学的解答过程第 　 　步出现了错误，错误原因是 　 　；
不等式①的正确解集是 　 　；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
20．（2021 乐山）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1？
21．（2023 兰考县一模）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22．（2023 双峰县一模）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5490元．那么有哪几种购买方案？
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