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(共44张PPT)
第三节
条件概率与
三个概率公式
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一、条件概率
对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。
若A记为“一男一女”，则 P(A) = 1/2；
但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为 2/3.
2
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。
若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；
但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.
我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。
若记B为至少有一男孩，则上述概率为
3
条件概率的计算公式规定如下：
例 设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为放回摸取，结果如何？
解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
不放回:
放回:
4
不难验证条件概率具有以下三个基本性质：
(1) 非负性
(2) 规范性
(3) 可列可加性
并由此推出条件概率的其它性质：
5
二、乘法公式
由条件概率的定义：
即若P(B) > 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求 P(AB).
若P(A) > 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A)
推广到三个事件：
P (A1A2…An )
= P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
一般,
与次序无关。
乘法公式
6
例1
解
7
例2 某厂产品的废品率为4%，而合格品在中有75%是一等品,求一等品率。
解
记A：合格品；B：一等品，
即一等品率为 72%。
8
例3 从100件产品（其中有5件次品）中，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？
解
设A= “第一次取到正品”，B= “第二次取到次品”，
则有
由乘法公式，
9
例4 若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若每把钥匙试开一次后除去，求在第 k 次试开成功的概率 ( k = 1, 2,…, n)。
解
则
思考：如果不除去呢？
试开次数为 X，
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例5 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而任意地按最后一个数字，试求：（1）不超过四次能打通电话的概率；（2）若已知最后一个数字是偶数，则不超过三次能打通电话的概率。
解
A 表示“拨号不超过四次拨通电话”， 则有
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B 表示“已知最后一个数字是偶数，不超过三次能打通电话” ， 则有
例5 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而任意地按最后一个数字，试求：（1）不超过四次能打通电话的概率；（2）若已知最后一个数字是偶数，则不超过三次能打通电话的概率。
解
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三、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式
P(AB)= P(A) P(B | A)
P(A)>0
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S
A
(即每次至多发生其中一个)
(即每次至少发生其中一个)
B1
B2
B3
B4
B6
B7
B5
B8
集合的划分
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S
A
B1
B2
B3
B4
B6
B7
B5
B8
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由概率的可加性及乘法公式, 有
这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式。
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全概率公式
利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和。
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例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％，且三家工厂的次品率分别为 3％、3％、1％，试求市场上该品牌产品的次品率。
B1、B2 、B3分别表示买到
设A:买到一件次品；
解
加权平均
一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；
18
例2 第一个箱中有10个球，其中8个是白的；第二个箱中有20个球，其中4个是白的；现任取一箱，从中任取一球，问取到白球的概率是多少？
解
设A表示取到第一箱，B表示取到白球，
由全概率公式，
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例3 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？
解
分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，
由全概率公式，
抽签的公平性
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例4 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回. 试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.
解
记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯，
Bi :箱中有i件次品(i =0,1,2)，
由题设知，
由全概率公式知
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在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到下面的贝叶斯公式。
在全概率公式的假定下，有
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率。
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所以这件次品最有可能是甲厂生产的。
例5 已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％, 次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少
0.3, 0.2, 0.5
0.45, 0.3, 0.25
解
23
解
(1) 由全概率公式：
(2) 由贝叶斯公式：
例6
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全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”：现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？
故贝叶斯公式也称为“逆概公式”。
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在实际工作中检查的指标A一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。
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解
例7
虽然检验法相当可靠,但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大,其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。
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概率思维
A 表示被检验者患肝癌，B 表示判断被检验者患肝癌。
一个不懂概率的人可能会这样推理：这个方法的可靠性既然高达95%，现在我被诊断为患肝癌，说明我患肝癌的概率为0.95，其实大相径庭。错误在于混淆了 P ( A | B ) 和 P ( B | A ) 这两个截然不同的概念。
这是基础概率极端不平衡时造成的错觉。
冰冷的公式
火热的思考
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记者为什么也要学点数学——案例一
假设有种病得了就马上会死，但好在平均10万人里只有1个倒霉蛋，再假设医院有方法对此病进行筛查，误诊率为1% 。
您是一个急于想出名的记者，这次终于机会来了，在一次对10万人进行该病的筛查过程中，您消息灵通居然打听出来有个名人被查出阳性了。
您这样想：“误诊率不过1%，看来他有99%的可能性要马上挂掉了，这消息太猛了，我出名就靠首发这条大新闻了！”
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且慢，您搞错算法了。
本来您以为会以99%的可能性出了名，而实际上会以99.9%的可能性出了糗。
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案例二
您遇到了一个地震预报研究民科，他给您列举了大量的地震前确有蛤蟆迁移的事实，您被这些数据震惊了，对他的“蛤蟆迁移预报地震学说”受到的打压感到气愤，决定要为他张目，揭开科普界打压民族创新理论的黑盖子。
且慢，不妨再做道概率题。
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把蛤蟆迁移记为A，发生地震记为B ，已经发生地震了，事后发现震前确有蛤蟆迁移现象是一个条件概率P(A|B)，蛤蟆迁移后会发生地震的条件概率是P(B|A)。可以发现，我们要根据蛤蟆迁移来预测地震的话，关注的是条件概率P(B|A) ，而不是P(A|B) 。
由乘法公式知：
根据常识我们知道,像唐山和汶川那样的大地震的概率是非常低的,但在神州大地上蛤蟆迁移的概率却非常高，
不妨做一个合理的假设，五十年内国内发生大地震的次数为 5，全国各地在五十年内发生蛤蟆迁移的次数为 5万。我们再做个照顾民科的假设，即震后一定会发现之前有蛤蟆迁移现象，即P(A|B) = 1，
算得 P(B|A) = P(B) / P(A) = 5/50000 = 1/10000，
32
即蛤蟆迁移后会发生地震的概率等于万分之一。
由此可见，即使地震后发现之前确有蛤蟆迁移的事件发现，也不能支持“蛤蟆迁移后会有地震发生”这个论断，因为这种概率小到了只有万分之一，不比瞎蒙准确多少。您本想仗义执言，揭开科普界的黑幕，结果却因为不懂得先验概率和后验概率的关系，以99.99%的可能性闹了笑话。
两个问题的关键：前者是患病率，后者是两种现象发生的频率。所谓正确的概率思维，就是指在思考问题时能否抓住要点。
正确的概率思维是人们正确地思考问题而必备的文化修养的一个成分。
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练习：
P29 习题一
10. 11. 12. 13.
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补充题：
1、某物品成箱出售，每箱20件. 假设各箱中含0件、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时，他可以开箱任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：(1) 顾客买下该箱物品的概率 p1；(2) 现顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率 p2 .
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(1) 由全概率公式，
(2)
解
B: 顾客买下该箱产品，
则
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2、下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件，各元件独立工作. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.
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将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有
其中
代入得
解
38
3、数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少
设A---发射端发射0，
B---接收端接收到一个“1”的信号．
0 1 不清
0 (0.55)
(0.9)
(0.05)
(0.05)
1 (0.45)
1 0 不清
(0.85)
(0.05)
(0.1)
解
习题选解
41
解
(1) 由全概率公式，
11. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02。加工出来的零件放在一起，又知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍。求：
(1) 任取一个零件是合格品的概率；
(2) 若任取一个零件经检查是废品, 求它是由第二台机床加工的概率。
所以合格品率为 97. 3%。
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解
(2) 由贝叶斯公式，
11. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02。加工出来的零件放在一起，又知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍。求：
(1) 任取一个零件是合格品的概率；
(2) 若任取一个零件经检查是废品, 求它是由第二台机床加工的概率。
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12. 12个乒乓球，9新3旧。第一次比赛时, 取出3个, 用过后放回。现在第二次比赛又取出3个，求：(1) 第二次取出的3个球都是新球的概率；(2)若已知第二次取出的3个球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率。
解
A为第二次取出3新球，
由全概率公式，
44

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