资源简介

(共59张PPT)
第二节
概率
1
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率。
概率是随机事件
发生可能性大小
的度量
事件发生的可能性
越大，概率就
越大！
2
了解事件发生的可能性即概率的大小，显然很有实际意义.
对一个随机事件A，我们用一个数 P(A)来表示A发生的可能性大小，称之为随机事件A的概率。
那么，怎么来规定 P(A)的大小呢？
3
定义 在相同的条件下进行n次试验,其中事件A发生的次数nA称为频数,比值nA/n称为频率,记为 fn(A).
既然概率P(A)度量了随机事件A发生的可能性大小，可以预料，在大量的重复试验中，若P(A)较大，则频率也较大; 反之，若P(A)较小，则频率也较小，而且概率P(A)应与频率有许多相似的性质。
一、概率的统计定义
当大量重复同一试验时，事件A发生的频率往往呈现一定的稳定性。
4
例 历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。
实验者 n nH fn(H)
De Morgan 2048 1061 0.5181
Buffon 4040 2048 0.5069
K. Pearson 12000 6019 0.5016
K. Pearson 24000 12012 0.5005
5
例 英文字母被使用的频率相当稳定。
字母使用频率的研究，对键盘设计、铅字铸造、信息编码、密码破译等方面都是十分有用的。
6
这个性质称为频率的可加性。
规范性
还有，若A和B是两个互斥的事件，则应有
下面我们对频率的性质进行一番考察。
7
根据上述频率稳定性的讨论，似乎可以提出这样的猜想，即当n足够大时，fn(A)与P(A)应充分接近，这就是所谓的概率的统计定义。
定义 在相同的条件下，重复进行n次试验，如果当n足够大时，频率稳定在某定数p附近，则称p为事件A的概率，记作P(A)= p。
在不少实际问题中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为统计概率。这种确定概率的方法称为频率方法。
8
二、概率的古典定义
假定某个试验有有限个可能的结果
假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ωi ，比任一其它结果，例如ωj ，更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.
ω1, ω2, …ωN ,
一般把这样的试验结果称为“等可能的”.
9
称这种试验为古典概型 (等可能概型).
若随机试验满足下述两个条件：
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 .
定义(概率的古典定义) 在古典概型下，若基本事件总数为 n，而事件 A 包含了其中的 k 个，那么事件 A 的概率为
(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；
(2) 每个样本点出现的可能性相同.
10
计数问题
排列组合是计算古典概率的重要工具.
基本计数原理
1、加法原理
设完成一件事有m类方式，
第一类方式有n1种方法，
第二类方式有n2种方法,
…；
第m类方式有nm种方法,
则完成这件事总共有
n1 + n2 + … + nm
种方法 .
特点：一步完成
11
例如，某人要从甲地到乙地去,
甲地
乙地
可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法
3 + 2 种方法
回答是
12
基本计数原理
2、乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法,
…；
第m个步骤有nm种方法,
特点：多步完成
例如, A地到B地有两种走法, B地到C地有三种走法, C地到D地有四种走法, 则A地到D 地共有
种走法.
则完成这件事总共有
n1 n2 … nm
种方法 .
13
特别, k = n 时称全排列，
排列、组合的定义及计算公式
1、排列:
从 n 个元素中取 k 个不同元素的排列数为：
阶乘
若允许重复, 则从 n 个元素中取 k 个元素的排列数为：
注意
14
2、组合:
从 n 个元素中取 k 个元素的组合数为：
15
古典概率计算举例
掷骰子游戏：
拿两个骰子，掷一次，如果点数之和为 5,6,7,8,9，就算庄家赢，否则就是对家赢。
看起来似乎很公平，结果却往往庄家赢得多。
实际上这只是一个小小的骗术。
点数
频数
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
通过概率计算可以看出，庄家赢的概率是2/3，是对家赢的概率的两倍。
16
例1 在 11 张卡片上分别写上 probability 这 11 个字母，从中任取 7 张，求其恰好排列成 ability 的概率。
假定字母 b 及 i 是可辨的，
解
事件总数：
有利场合数：
17
解
例2
基本事件总数：
所以
18
解 (1)
例3 从10件产品（其中2件产品，8件正品）中任取 3件，求这3件产品中，（1）恰有2件次品的概率？（2）至多有1件次品的概率。
(2)
或
19
解 (1)
例4 从10件产品（其中2件产品，8件正品）中每次取1件观测后放回，共取 3次（简称有放回地取3件），求这3件产品中， （1）恰有2件次品的概率？（2）至多有1件次品的概率。
(2)
20
解
E：从 5 双不同的鞋子中任取 4 只；
A：所取 4 只鞋子中至少有两只配成一双.
方法一：
例5 从 5 双鞋子中任取 4 只, 问这 4 只鞋子至少有两只配成一双的概率是多少
方法三：
方法二：
注意！
21
例6 全班有50个学生，问至少有2人生日相同的概率为多少？（设一年有365天）
解
事件总数:
有利场合数:
概率之大有点出乎意料。从下表中看出，当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的。
22
20 0.411
21 0.444
22 0.476
23 0.507
24 0.538
30 0.706
40 0.891
50 0.970
60 0.994
有人同生日的概率
人数
23
例7 一个家庭中，若有两个孩子，问恰都是男孩的概率多大？假定男女出生率相同。
解
以下解法是错误的：
样本空间取为 {两男,两女,一男一女},所以 p = 1/3.
注意：在古典概型中，样本空间中的基本事件必须是等可能的。
错误在于样本点不是等可能的。
正确的解法是：
样本空间取为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.
所以 p = 1/4.
24
则剩下的a -1个白球及 b 个黑球，可以任意地放在其他a –1+ b 个位置上，
解
例8
设想把取出的球依次放在排列成一直线的 a + b 个
位置上，
因为 a 个白球的位置一经排定，则剩下的
位置必然是放黑球的，
故黑白球的一切可能排列方式，
即总的基本事件数等于
设A ={第 s 次取出的球是白球}，
把第 s 次取出的白球放在第 s 个位置上，
共有
25
即为事件 A 包含的基本事件数，
即总的基本事件数等于
则剩下的a -1个白球及 b 个黑球，可以任意地放在其他a –1+ b 个位置上，
共有
所以
抽签结果与抽签顺序无关。
抽签的公平性
26
三、几何概型
定义 若试验E具有下列特征：
1) 无限性： E 的样本空间 是某几何空间中的一个区域，其包含无穷多个样本点，每个样本点由区域 内的点的随机位置所确定.
2) 等可能性：每个样本点的出现是等可能的，即样本点落在 内几何度量相同的子区域是等可能的，
则称E为几何型随机试验，并称E所描述的概率模型为几何概型。
其中L(A)和L( )分别为A和 的几何测度，例如长度、面积和体积等。
27
会面问题
那么
两人会面的充要条件为
解
例9 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面。先到的人等候另一个人，经过时间 t (t 设 x, y 分别为甲, 乙两人到达的时刻，
28
故所求的概率为
若以 x, y 表示平面上点的坐标 , 则有
29
那么
不会面的充要条件为
解
例10 某货运码头仅能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时。设甲乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。
设 x, y 分别为甲, 乙两人到达的时刻 (单位：小时)，
所求的概率为
或
30
解
例11
这是一个几何概型，
x
y
o
设 x, y 为所取的两个数， 则样本空间
所以
31
A
D
B
C
x
y
l
解
依题意，有
样本空间 ：
l

o
x
y
例12 在线段ADBC上任取两点B,C，在B,C处折断得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率。
l
32
l
o
x
y
l
三线段能构成三角形 任一段小于其余两段之和

A
l \ 2
l \ 2
33
数学小故事
布丰投针
数学小故事
布丰简介：
布丰(George-Louis Leclerc de Buffon, 1707 -1788)，法国博物学家、作家。1707年9月7日生于蒙巴尔城的贵族家庭。1788年4月16日卒于巴黎。
布丰是几何概率的开创者，并以布丰投针问题闻名于世，发表在其1777年的论著《或然性算术试验》中。
十几岁时，布丰在父亲的意愿下学习法律。 26岁入法国科学院，1733年当选为法国科学院院士，1739年任巴黎皇家植物园园长，1753年进入法兰西学院。1771年接受法王路易十五的爵封。代表作：《自然史》。
35
“布丰投针”的故事
1777年的某一天，布丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针分发给每个客人，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根随意往纸上扔吧!不过，请大家
务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”
36
客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。
说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值!”
最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”
37
投针试验
相交的概率。
a
l
M
x

解
设 M 表示针落下后，针的中心，x 表示M与最近一平行线的距离， 表示针与这平行线的夹角，
l / 2
1777年,法国科学家布丰( Buffon )提出了投针
试验问题.平面上画有等距离a (a>0)的一些平行线，
向平面任意投一长为l (l则样本空间 ：
针与一平行线相交
38
设 A=“针与一平行线相交”，则
o

x


a/2
A
则样本空间 ：
针与一平行线相交
39
蒲丰投针试验的应用及意义
根据频率的稳定性，当投针试验次数 n 很大时，
算出针与平行直线相交的次数 m, 则频率值 m/n 即可
作为P(A)的近似值代入上式，那么
上述方法被称为 Monte Carlo 方法. 由于现今可通过计算机模拟大量重复试验，此法如今应用广泛.
利用上式可计算圆周率π的近似值。
40
历史上一些学者的计算结果 (直线距离 a = 1 )
3.1795
859
2520
0.5419
1925
Reina
3.1415929
1808
3408
0.83
1901
Lazzerini
3.1595
489
1030
0.75
1884
Fox
3.137
382
600
1.0
1860
De Morgan
3.1554
1218
3204
0.6
1855
Smith
3.1596
2532
5000
0.8
1850
Wolf
相交次数
投掷次数
针长
时间
试验者
求圆周率是一个几何问题，而布丰却用概率的方法解决了，完全不相同的两个领域被神奇地联系起来，这就是某种意义上的创新。
41
四、概率的公理化定义
定义(概率的公理化定义) 如果对任意事件A，都有一个实数 P(A)，满足以下条件：
(1) 非负性
(2) 规范性
(3) 可列可加性
则称 P(A)为事件A的概率.
42
概率的性质
由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们给出概率的一些重要性质.
性质1
证明
利用概率的可列可加性及规范性，有
再由概率的非负性，
43
性质2(有限可加性)
证明
由可列可加性及性质1，得
44
性质3(对立事件的概率)
证明
对任何事件A,有
由规范性及可加性，
Ａ
45
性质4
证明
由可加性知,
移项即得结论.
46
推论
2.对任意事件A, 有
注
若没有条件
则公式应改为
性质4
证明
由可加性知,
移项即得结论.
减法公式
47
性质5(加法公式)
证明
对任意两事件A,B,有
由性质3得
推论：
一般地，
48
推广：三个事件的加法公式
证明留作练习.
一般地,
49
例1
解
50
解
所以
例2
51
解
所以
例3
52
解
例4 从10到99的所有两位数中任取一个数，试求这个数能被2或3整除的概率。
设A = “取出的两位数能被2整除”，
B = “取出的两位数能被3整除”，
A 包含的样本点为
B 包含的样本点为
AB 包含的样本点为
所求概率为
53
例5 在1 2000的整数中任取一数，求取到的数
（1）能被6或8整除的概率；
（2）既不能被6也不能被8整除的概率；
（3）能被6整除而不能被8整除的概率。
设A—取到的数能被6整除；
解
B—取到的数能被8整除.
54
例5 在1 2000的整数中任取一数，求取到的数
（1）能被6或8整除的概率；
（2）既不能被6也不能被8整除的概率；
（3）能被6整除而不能被8整除的概率。
55
练习 在1 10000的整数中任取一数，求取到的数能被4,5,6之一整除的概率.
解
56
练习：
P28 习题一
3. 4. 5. 6. 7. 8.
57
习题选解
58
解
事件总数：
有利场合：
所以所求概率为
8. 从 5 副不同的手套中任取 4 只, 求这 4 只都不配对的概率。
59

展开更多......

收起↑