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第二章
本章用定量的方法，从整体上来研究随机现象。
随机变量及其分布
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§1 随机变量与分布函数
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数).
例如，掷一颗骰子面上出现的点数；
八月份杭州的最高温度；
每天从杭州下火车的人数；
昆虫的产卵数；
一、随机变量的概念和例子
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2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.
例1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.
我们引入记号：
显然，该试验有两个可能的结果：
于是我们就可以用
表示出现的是正面，
而用
表示出现的是反面。
X 就是一个随机变量。
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定义 设随机试验E的样本空间是S，若对于每一个ω∈S, 有一个实数X(ω)与之对应, 即X=X(ω)是定义在S上的单值实函数，称它为随机变量(random variable, 简记为r.v.)。
X(ω)
R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？
ω.
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（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.
（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母
等表示.
随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。
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随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。
分类：实际中常遇到的随机变量有
两大类型
连续型随机变量
离散型随机变量
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二、随机变量的分布函数
为了对各类随机变量作统一研究，下面给出既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变量的概念——随机变量的分布函数。
定义 设X为随机变量，称实函数
为X的分布函数。
x
a
x
b
8
分布函数的基本性质：
证略
9
解
例
10
解
例
11
解
例
只有 (A) 相符.
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第二节
离散型随机变量
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一、离散型随机变量的分布律
如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，
则称 X 为离散型随机变量.
对于离散型随机变量，关键是要确定：
1）所有可能的取值是什么？
2）取每个可能值的概率是多少？
称之为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布。
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或写成如下的表格形式：
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解
例 设随机变量 X 的分布律为：
(1) 由规范性，
(2)
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例 袋中有2只蓝球3只红球，不放回抽取3只，记 X为抽得的蓝球数，求 X 的分布律。
X 可能取的值是 0,1,2，
解
所以X的分布律为
或表示为
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例 设一汽车在开往目的地的路上需经过三组信号灯，每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数(设各盏信号灯的工作是相互独立的)，求 X 的概率分布.
依题意, X 可取值0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i =1,2,3
路口3
路口2
路口1
解
18
路口3
路口2
路口1
路口3
路口2
路口1
19
路口3
路口2
路口1
不难看出
所以 X 的分布列为
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例 在下列情形下，求其中的未知常数a，已知随机变量的概率分布为：
解
(1) 由规范性,
(2)
21
离散型随机变量的分布函数
设 X 为离散型随机变量，分布律为
则
22
解
例 设随机变量 X 的分布律为：
求 X 的分布函数 F(x) .
23
故
下面我们从图形上来看一下.
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分布函数的图形
一般，离散型随机变量的分布函数呈阶梯形.
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例 设随机变量 X 的分布函数为
解
试求 X 的分布律。
X
P
-1
1
3
0.4
0.4
0.2
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二、几种常见的离散型随机变量的分布
背景: 作一次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布.
分布律为
或用公式表示
(一) 0-1分布(两点分布)
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(二) 二项分布 (Binomial Distribution)
若随机变量 X 的分布律为
定义
则称 X 服从参数为n,p的二项分布，
记为
验证规范性：
背景: 作 n 次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布.
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例 某人打靶, 命中率为 p = 0.8, 独立重复射击5次, 求：
(1) 恰好命中2次的概率；
(2) 至少命中2次的概率；
(3) 至多命中4次的概率。
解
设 X 为命中数，
(1)
(2)
(3)
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解
例 某经理有七个顾问，对某决策征求意见，经理听取多数人的意见。若每位顾问提出正确意见的概率均为0.7，且相互独立，求经理作出正确决策的概率。
提出正确意见的顾问人数
则经理作出正确决策的概率为
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解
例 对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率p = 0.8。现在10个患者同时服此药，求至少有6个患者治愈的概率(假定患者之间相互独立)。
治愈人数
则至少有6个患者治愈的概率为
这个概率是很大的，也即，如果治愈率确为 0.8，则在 10 人中治愈人数少于 6 人的情况是很少出现的。因此，如果在一次实际试验中，发现 10 个病人中治愈不到 6 人，那么假定治愈率为 0.8 就值得怀疑了。
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解
例 假设有10台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率)为0.90，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？
出故障机器台数
因此，至少需要安排3个人值班．
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问题：若有200台设备呢？
需中心极限定理解决。
解
出故障机器台数
因此，至少需要安排3个人值班．
33
解
例 (保险事业)若一年中某类保险者的死亡率为0.005。现有1万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，(1) 有40人死亡的概率；(2) 死亡人数不超过70人的概率。
死亡人数
(1)
(2)
计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。
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证略.
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解
例 假如生三胞胎的概率为10-4，求在10万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率。
10万次生育中生三胞胎的次数
直接用伯努利公式计算得
用泊松近似公式，
可见，当 n 非常大时，近似程度令人满意。
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在历史上泊松分布是作为二项分布的近似,于1837年由法国数学家泊松引入的。近几十年来，作为描绘“稀有事件”计数资料统计规律的概率分布，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一，在质量控制、排队论、可靠性理论等许多领域内都有重要应用．
实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为0.61的泊松分布；
2）1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布。
(三) 泊松分布(Poisson Distribution)
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定义 若随机变量 X 的概率分布为
验证规范性：
则称X服从参数为 的泊松分布,记为
麦克劳林级数
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泊松分布的实际背景：最简流。
例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头 所形成的随机质点流。
分布参数的概率意义： 是单位时间出现的随机质点的平均个数。
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例 通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若平均5秒钟有1辆汽车通过，求10秒钟内通过的汽车不少于2辆的概率。
解
设X为10秒内通过的汽车数，
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例 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，λ= 4，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.95的概率充分满足顾客的需要？
解
销售量
设至少库存 N 件，则
经计算，必须取 N = 8。
（见P227附表1）
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(四) 几何分布
在伯努利试验中，每次成功的概率为 p，若记 X为首次成功时所做的试验数，则 X 服从的概率分布称为 几何分布：
验证规范性：
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例 某人有 n 把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第 s 次才打开门的概率。
解
开门次数 X 服从几何分布，
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例 某射手连续向同一目标设计，直到命中为止，已知他的命中率为0.7，求至少需要射击n次才能射中目标的概率。
解
射击次数 X 服从几何分布，
所以至少需要射击 n 次才能射中目标的概率为
或解
至少需要射击n次才能射中目标，等价于前n-1次没有命中，故
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例 设某批产品共有 N 件，其中有 M 件次品。按如下两种方式从中任选 n 件产品： (1) 每次取出观察后放回；(2)不放回。设取得的次品数为 X，试分别就所述的两种情形，求 X 的分布律.
(五) 超几何分布
(1) 由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的概率均为M/N，所以
解
即
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(2) 若不放回，在N件产品中任选 n 件，其中恰好有 k件次品的取法共有
所以
称之为超几何分布。
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练习：
P70 习题二
1. 2. 3. 4.
47
习题选解
48
4.设随机变量 X 服从泊松分布，且
解
所以

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