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第三节
连续型随机变量
及其密度函数
1
一、概率密度函数
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
由定义，根据高等数学变限积分的知识知，连续型随机变量的分布函数是连续函数。
2
概率密度函数f(x)的基本性质：
3
概率密度函数 f (x) 的其他性质：
4
(1) 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为 0.
即, 对于任意常数 c, 有
(2) 若 X 是连续型随机变量, 则
说明：
而 {X = c} 并非不可能事件,
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
可见，
由P(A) = 0, 不能推出
由P(B) = 1, 不能推出
5
解
例 已知随机变量 X 的概率密度函数为
确定系数 A，并求 X 的概率分布函数 F(x).
6
1
7
例 设随机变量 X 的分布函数为
解
8
9
例 设随机变量 X 的分布函数为
解
(1)
(2)
10
所以
(3)
11
例 三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的寿命是随机变量(小时)，假设其概率密度为
且三个元件的工作状态相互独立．试求，
(1) 该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正常工作的概率α；
(2) 该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损坏的概率β。
12
解
(1) 该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正常工作的概率α；
表示“在使用了150个小时后，第k个元件仍然能正常工作”：
13
解
(2) 该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损坏的概率β。
14
练习：
P70 习题二
5. 6. 16.
15
二、几种常见的连续型随机变量的分布
定义 如果随机变量X的概率密度为
则称 X 服从区间 (a, b) 上的均匀分布，记作
1、均匀分布 (Uniform Distribution)
16
它的分布函数为
17
这表明，X 取值于(a, b)内的任一区间的概率与区间的长度成正比，而与该区间的具体位置无关，这就是均匀分布的概率意义。
18
例 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率。
解
依题意，
以7:00为起点0,以分为单位，
为使候车时间少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.
所求概率为：
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
19
解
例
所求概率为
20
2、指数分布(Exponential Distribution)
定义 如果随机变量 X 的概率密度为
记为
分布函数为
规范性：
21
指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似。例如。电子元件的寿命。电话的通话时间。微生物的寿命。随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布。
指数分布有一个重要性质：“无后效性”或“无记忆性”。具体叙述如下：
证
22
假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的.
值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.
23
例 某电子元件的使用寿命 X 的概率密度为
解 (1)
(1) 确定常数 k；(2) 求寿命超过100小时的概率；
(3) 已知该元件已正常使用200小时，求它至少还能正常使用100小时的概率。
(2)
(3)
24
例 假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数为0.1的指数分布．假设某人到达电话亭时有一人正在通话，试求:
解
(1) 此人至少需要等10分钟的概率α；
(2) 此人需要等10到20分钟的概率β．
25
例 假设某种设备的使用寿命 X (年)服从参数为0.25的指数分布。制造这种设备的厂家规定，若设备在一年内损坏，则可以调换。如果厂家每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备厂家要花费300元，求每台设备所获利润 Y 的分布律。
解
X 的密度函数为
所以 Y 的分布律为
Y
P
100
-200
26
3、正态分布 (Normal Distribution)
正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因。
实践方面的原因是，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重、农作物的收获量、波浪的高度等等都近似服从正态分布。一般来说，如果影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的，则这个随机变量服从正态分布，这点可用下一章的极限定理来加以证明。
从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，如正态分布可以导出一些其它分布，而某些分布（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来近似。
27
定义 如果随机变量X的概率密度为
28
正态分布密度函数的几何性态：
(1) 对称轴：
(2) 渐近线：
(3) 单调性：
29
正态分布密度函数的几何性态：
(4) 顶点(最大值)：
(5) 两个拐点：
30
正态分布密度函数的几何性态：
31
正态变量的分布函数为
32
的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 和 表示：
0.5
1
泊松积分
33
书末 P229 附有标准正态分布函数数值表.
表中给的是 x > 0 时, Φ(x)的值.
当 x > 0 时，
34
若 X～N(0,1),
例
解
35
任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。
定理
36
例
解
37
解
例
38
例
这在统计学上称作“3 原则” (三倍标准差原则)，生产中常作为质量控制的依据。
39
68.26%
95.44%
99.74%
40
例 设某批鸡蛋每只的重量X(以克计)服从正态分布 X~N(50 25)
(1) 求从该批鸡蛋中任取一只 其重量不足45克的概率；
(2) 从该批鸡蛋中任取一只 其重量介于40克到60克之间的概率；
(3) 若从该批鸡蛋中任取五只 试求恰有2只鸡蛋不足45克的概率；
(4) 从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率；
(5) 求最小的 n 使从中任选 n 只鸡蛋 其中至少有一只鸡蛋的重量超过60克的概率大于0 99。
解
(1)
41
(3) 设 Y 为 5 只鸡蛋中重量不足 45 克的鸡蛋数，则Y ~ B(5 0.1587) 故所求概率为
(2)
2 0.9773 1 0.9546 ；
(2) 从该批鸡蛋中任取一只 其重量介于40克到60克之间的概率；(3)若从该批鸡蛋中任取五只 试求恰有2只鸡蛋不足45克的概率
42
设 Z 表示n只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数 则 Z ~ B(n 0.0228)
(4)
(5)
因为
欲使
即
解得
(4) 从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率；
(5) 求最小的 n 使从中任选 n 只鸡蛋 其中至少有一只鸡蛋的重量超过60克的概率大于 0 99。
43
例 若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线过市区，路程短但拥挤，所需时间(分)服从正态分布N(50, 100)；第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间(分)服从正态分布N(60, 16)。问：(1) 假如有70分钟可用，应选哪条路？(2) 若只有65分钟，又应走哪条路？
解
记行走时间为 t，
(1) 若有70分钟可用，
走第一条路线能及时赶到的概率为
44
走第二条路线能及时赶到的概率为
因此，若有70分钟可用，应选第二条路线。
解
记行走时间为 t，
(1) 若有70分钟可用,
走第一条路线能及时赶到的概率为
45
走第二条路线能及时赶到的概率为
因此，若有65分钟可用，应选第一条路线。
(2) 若有65分钟可用,
走第一条路线能及时赶到的概率为
解
记行走时间为 t，
46
解
例 若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N(400, 1002)，共有2000人参加考试，假定只录取前300名，求分数线 a，使考生总分超过 a 的概率等于升学率。
设X表示考试总分，则
47
练习：
P70 习题二
7. 8. 9. 10. 11. 12. 16.
48
习题选解
49
12.设随机变量 X 的分布函数为
解
(1) 由分布函数的右连续性，
(2)
(3) X 的概率密度函数.
50
解
(3)
(3) X 的概率密度函数.
12.设随机变量 X 的分布函数为
51
求：(1) 常数 A, B 的值；(2) X 的密度函数。
16.设随机变量 X 的分布函数为
解
(1) 由性质
52

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