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第三章
随机变量的数字特征
1
前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到。
先介绍随机变量的数学期望。
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望和方差
2
§1 数学期望
(Mathematical Expectation)
3
例 有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：
一、离散型随机变量的数学期望
甲：
击中环数
8
9
10
30%
10%
60%
频率
乙：
击中环数
8
9
10
20%
50%
30%
频率
问哪一个射手水平较高？
解
假定各射 N 枪，则平均每枪所得环数约为
甲：
4
问哪一个射手水平较高？
解
假定各射 N 枪，则平均每枪所得环数约为
甲：
乙：
可见甲的水平高些。
甲：
击中环数
8
9
10
30%
10%
60%
频率
乙：
击中环数
8
9
10
20%
50%
30%
频率
5
定义 设离散型随机变量 X 的概率分布为
则称
为 X 的数学期望，记为 E(X)，
此时要求级数绝对收敛。
若 X 的取值为可列多个，则
6
例 设袋中装有2个白球和3个红球，从中无放回地抽取，直到出现两个红球为止，用X表示第2次取得红球时的取球次数，求E(X ) 。
解
则
即 X 的分布律为
2
0.3
X
P
3
4
0.4
0.3
即第2次取得红球时平均取球次数为3次。
7
例 面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额 X 的数学期望 E(X ) 为多少？
解
1000
20
5
0.0002
X
P
0
0.005
0.05
0.9448
则
8
例 对某一目标连续射击，直到击中目标为止，设命中率为 p，求射击次数 X 的数学期望。
解
几何分布，即 X 的分布律为
由无穷级数知识知，
逐项求导，
9
解
例
10
假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对1之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,因此,如果立即扩展，则利润的期望值是
例 假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利328(万元)；如果未来市场萧条，则将损失80(万元)。如果这个企业等待下一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利160(万元),而在市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元)。现在的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？
数学期望在经济管理中经常用到,特别是在决策问题中。
解
首先要对未来市场作出适当估计。
11
市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3, 如果立即扩展，则利润的期望值是
如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为
按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利。
如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为
12
如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为
而推迟扩展所期望的利润为
按此计算结果，则立即扩展较为有利。
13
例 (一种验血新技术) 在一个人数很多的单位中普查某种疾病, N 个人去验血, 有两种方法: (1) 每个人的血分别化验,共需 N 次；(2) 把 k 个人的血样混在一起化验, 如果结果是阴性, 那么一次就够了；如果呈阳性, 那么对这 k 个人的血样再逐次化验, 共需 k+1次。假定对所有人来说, 呈阳性的概率为 p , 且相互独立, 下面说明当 p 较小时, 方法(2)能减少化验的次数。
解
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数 X 的概率分布为
14
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数 X 的概率分布为
因此，
N 个人需化验的次数的数学期望为
例如，
15
二、连续型随机变量的数学期望
定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x), 如果积分
绝对收敛，
则称之为 X 的数学期望，记为 E(X)，即
16
解
例 设随机变量 X 的概率密度函数为
求 X 的数学期望。
17
解
例 设随机变量 X 的概率密度函数为
求 E(X) 。
18
三、随机变量函数的数学期望
(1) 若 X 是离散型随机变量，且 X 的概率分布为
(2) 若 X 是连续型随机变量，且其概率密度为 f (x)，
则
则
19
上述结论可推广到二维随机变量的函数的情况。
(1) 若(X, Y)是离散型随机变量，且其联合分布律为
则
(2) 若(X, Y)是连续型随机变量，联合概率密度为
f (x,y)，则
20
解
X
-2
-1
0
0.1
P
1
0.2
0.3
0.4
例 设随机变量 X 的概率分布如下：
21
解
例 设随机变量 X 的概率密度为拉普拉斯分布
22
解
例
由无穷级数知识知，
23
解
例
24
解
例 地铁到达某站的时间为每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟。设一乘客在早上8点到9点之间随时到达，求他的候车时间的数学期望。
设 X 表示乘客到站的时刻，
以 Y 表示乘客的等候时间，则
由题意，X 在[0, 60]上服从均匀分布，其密度函数为
25
26
解
易见 X 和 Y 的联合概率密度为
1
1
x
y
O
例
27
解
1
1
x
y
O
易见 X 和 Y 的联合概率密度为
例
28
解
例
（用极坐标）
29
四、数学期望的性质
性质1 E(C) = C，其中 C 是常数。
性质4 设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
性质2 若k是常数，则 E(kX)=kE(X);
性质3 E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);
(诸Xi 独立时)
推广：
30
解
X
-2
-1
0
0.1
P
1
0.2
0.3
0.4
例 设随机变量 X 的概率分布如下：
31
例 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。设每位旅客在各个车站下车是等可能的，以 X 表示停车的次数，求 E(X) 。
引入随机变量
则有
解
由题意, 有
32
则有
由题意，有
所以
由数学期望的性质，得
分解法
33

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