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第四节
二维随机变量
1
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.
2
一般地，我们称n个随机变量的整体 X = (X1, X2, …，Xn) 为 n 维随机变量或随机向量.
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量 .
请注意与一维情形的对照 .
3
一、二维离散型随机变量及其分布律
则称二维表
为 (X, Y) 的联合分布律。
1、联合分布
4
5
例 袋中有2只白球3只红球，有放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求 (X, Y) 的联合分布律。
解
6
解
例 袋中有2只白球3只红球，有放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求 (X, Y) 的联合分布律。
7
例
解
由于
所以
8
故 (X, Y) 的联合概率分布为
9
2、边缘分布
设 ( X,Y ) 是离散型二维随机变量，联合分布律为
则边缘分布为
10
例 袋中有2只白球3只红球，有放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，则 (X, Y) 的联合分布律为
所以 X, Y 的边缘分布律分别为
11
若改为无放回摸球，则 (X, Y) 的联合分布律为
边缘分布为
12
边缘分布为
与有放回的情况比较，
但边缘分布却完全相同。
两者的联合分布完全不同，
若改为无放回摸球，则 (X, Y) 的联合分布律为
13
例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布为
解
求：(1) c；
(1)
1
2
0
0
1
0.1
c
0.1
0.1
0.2
0.2
14
解
(1)
0.3
(2) 边缘分布
0.3
0.4
0.3
0.5
0.5
1
0
0.5
0.5
1
2
0
0
1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
1
2
0
0.3
0.4
0.3
求：(1) c；
例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布为
15
解
(1)
0.3
0.4
0.3
0.5
0.5
0.3
1
2
0
0
1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
求：(1) c；
例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布为
16
二、二维随机变量的分布函数
二维随机变量 (X, Y)
X 和 Y 的联合分布函数
X 的分布函数
一维随机变量 X
x
x
17
二维随机变量分布函数的基本性质
18
边缘分布函数与联合分布函数的关系
即
同理,
二维随机变量 (X, Y) 作为一个整体, 用联合分布来刻画. 而 X 和 Y 都是一维随机变量, 各有自己的分布, 称为边缘分布.
19
例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合分布函数为
则边缘分布函数为
其中参数
20
说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。
边缘分布与参数λ无关。
21
三、二维连续型随机变量及其密度函数
1、联合分布
22
平面上的一个区域.
23
例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为
解
(1) 由规范性
24
25
26
2、边缘分布
设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为
由于
所以 (X, Y) 关于 X 的边缘密度函数为
同理, 关于 Y 的边缘密度函数为
27
例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为
解
(1) 由规范性
28
(2) X 和 Y 的边缘密度函数分别为
(3)
29
求：(1) c 的值；(2) 两个边缘密度；
解 (1)
x
y
0
1
例 设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为
30
x
y
0
1
(2)
所以
31
x
y
0
1
所以
(2)
32
x
y
0
1
33
设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机变量( X,Y)具有概率密度
则称(X,Y)在G上服从均匀分布.
若( X,Y)服从区域G上的均匀分布, 则对于G中任一子区域D, 有
二维均匀分布
34
于是( X,Y)落在G中任一子区域D的概率与D的面积成正比, 而与D的形状和位置无关. 在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能”的。
35
例
解
随机向量(X,Y)的密度概率为
x
y
O
2
1
D
其他
36
解
随机向量(X,Y)的密度概率为
其他
x
y
O
2
1
D
例
37
若二维随机变量(X,Y)具有概率密度
记作
则称( X,Y)服从参数为 的二维正态分布.
其中
均为常数, 且
二维正态分布
38
可以证明, 若
则
这就是说，二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数 。因此可以断定参数 描述了X与Y之间的某种关系!
由联合分布可以确定边缘分布；
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
再次说明联合分布和边缘分布的关系：
39
四、随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。
两事件A,B独立的定义是：
若P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A,B独立 .
设 X, Y 是两个随机变量，若对任意的 x, y,
则称 X, Y 相互独立 .
40
上式用分布函数表示，即
情形1 ( X,Y ) 是离散型随机变量，则 X, Y 相互独立的定义等价于
41
例 袋中有2只白球3只红球，摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(X, Y)的联合分布和边缘分布分别为
经验证，放回时，X与Y相互独立；
不放回时，不独立。
42
例 设(X,Y )的联合分布律为
且 X 与 Y 相互独立，试求α和β。
又由分布律的性质，有
解
由X与Y 相互独立，知
43
情形2 ( X,Y )是连续型随机变量，则 X,Y 相互独立的定义等价于
在平面上几乎处处成立。
解
例 设 (X, Y ) 的联合密度函数为
问 X 与 Y 是否相互独立？
X, Y 的边缘密度分别为
成立，所以 X, Y 相互独立。
44
解
例 设 (X, Y ) 的联合密度函数为
问 X 与 Y 是否相互独立？
X, Y 的边缘密度分别为
所以 X, Y 不相互独立。
x
y
o
1
1
45
练习：
P70 习题二
13. 14. 15. 17. 21. 22. 23.
46
五、二维随机变量的条件分布
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念。
在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率
推广到随机变量
设有两个随机变量 X, Y ，在给定 Y 取某个或某些值的条件下，求 X 的概率分布。
这个分布就是条件分布。
47
一、二维离散型随机变量的条件分布
设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj) >0，则称
为在 Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律.
类似地，对于固定的 i，若P(X=xi) > 0，则称
为在 X=xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律.
48
条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质，正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质。
例如：
49
例 设 (X, Y ) 的联合分布律为
解
求在给定Y = 2下随机变量 X 的条件分布律和在给定 X = 1下随机变量 Y 的条件分布律。
因为
所以在给定Y = 2下随机变量 X 的条件分布律为
50
或写为
51
所以在给定 X = 1 下随机变量 Y 的条件分布律为
或写为
52
二、二维连续型随机变量的条件分布
边缘概率密度为 , 若对固定的x ,
为在X=x的条件下，Y 的条件概率密度;
类似地，对一切使 的 y, 定义
为在 Y=y的条件下，X的条件概率密度 .
定义 设X和Y的联合概率密度为
则称
53
例 设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为
X 的边缘密度为
解
x
y
0
54
所以, 当 |x| <1时, 有
所以
x 作为已知变量
55
习题选解
56
17.设二维随机向量 (X, Y) 的联合密度函数为
解
(1) 由规范性
57
58
59
23.设二维随机向量 (X, Y) 的联合密度函数为
解
(1) 由规范性
60
61
(3) 边缘密度为
成立，所以 X, Y 相互独立。
62

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