资源简介

(共27张PPT)
第四节
事件的独立性
1
一、事件的独立性
设有两个事件A,B，一般来说，P(A|B)与P(A)是有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件A发生的概率，即P(A|B) = P(A)。
显然 P(A|B) = P(A)
这就是说，已知事件 B 发生，并不影响事件 A 发生的概率，这时称事件 A、B 独立。
A = {第二次掷出6点}， B = {第一次掷出6点}，
例如, 将一颗均匀骰子连掷两次，
设
2
由乘法公式知，当事件 A、B 独立时，有
用 P(AB) = P(A) P(B) 刻划独立性，比用
P(A|B) = P(A)
更好，它不受 P(B) > 0的制约，且体现对称性。
P(AB) = P(B)P(A|B)
若两事件A、B 满足
定义
P(AB) = P(A) P(B)
则称 A、B 独立。
P(AB) = P(A) P(B)
3
请问：如图的两个事件是独立的吗？
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,
则A 、B不互斥.
而 P(A) ≠0, P(B) ≠0,
故 A、B不独立.
由于互斥,
P(AB)=0，
即 P(AB) ≠ P(A)P(B)
独立与互斥的关系
4
A、B 独立
证明
由独立的对称性，可得其余结论。
5
下面来定义三个事件的独立性。
定义 对三个事件A,B,C，如果下列四个等式同时成立，
则称A,B,C相互独立.
由定义可知，三个事件相互独立必保证两两独立，但两两独立不一定保证相互独立。
6
例 一个均匀的正四面体，其第一面染有红色，第二面染有黄色，第三面染有灰色，第四面染有红、黄、灰三种颜色，以A、B、C分别表示投一次四面体出现红、黄、灰色，讨论A、B、C三个事件的独立性。
解
显然有
虽然有
所以A、B、C 两两独立，但A、B、C 不相互独立。
7
推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：
等式总数为：
需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之间无甚关联，则假定事件之间的独立性，然后利用独立性的公式来计算概率。
设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k
(1则称A1,A2, …,An为相互独立的事件。
8
对独立事件，许多概率计算可得到简化.
二、利用事件的独立性计算概率
9
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
将三人编号为1，2，3，
所求概率为
记 Ai = {第 i 个人破译出密码} , i =1,2,3
解
“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”
10
例 假定人群中血清带肝炎病毒的概率为 0.004，混合10 个人的血清，求此血清带肝炎病毒的概率。
解
11
例 设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少 又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮
解
(1)
(2)
即至少需要 6 门高射炮。
12
例 某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年(每年52周)之久，你从未中过一次奖的概率是多少？
解
按题设，每次中奖的概率是10 -5，
于是每次未中奖的概率是1-10-5，
十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的，故十年从未中奖的概率是
这个概率很大，表明十年中你从未中过一次奖是很正常的事。
13
（在可靠性理论中的应用）对于一个元件或系统，它能正常工作的概率称为可靠性。
…
…
14
例 多个开关并联可以改善可靠性。设每个开关具有0.90的可靠性，如果两个这样的开关并联联接， 问这时系统的可靠性是多少？如果需要有一个可靠性至少为 0.9999 的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。
解
即系统的可靠性为 0.99；
即至少需要用 4 只开关并联。
15
课外读物
赌徒的谬误
很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？
16
轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。
如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。
为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了五次国徽向上。这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过去的结果是没有记忆的。
17
一个有意义的课堂活动就是玩一次实际的以赌徒谬误为基础的赌博游戏。比如，一个学生可以反复抛掷硬币，只是在同一面出现三次之后，才与另一学生用扑克牌作筹码打赌。他总是赌硬币相反的那一面。换句话说，就是在三次出现国徽之后，他赌字；在三次出现字之后，他赌国徽。末了，比如说赌了50次，这时他手中的牌数不一定正好与开始时一样多，但应该是差不多的。也就是说他赌赢赌输的概率是相等的。
18
如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。
大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如，第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。
19
有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已。
20
三、伯努利概型
若试验 E 满足条件：
(1) 各次试验独立进行；
将试验 E 重复n次, 则称为n重伯努利试验。
例如，打靶命中或不命中；抛硬币出现正面或反面；抽检产品抽到正品或次品，等等，都可以视为伯努利试验。
(2) 每次试验只有两种结果：事件A发生或不发生，
伯努利(Bernoulli)试验(独立重复试验)
21
例 某射手命中率为0.8，独立射击3次，求恰好命中2次的概率。
解
则恰好命中2次的概率为
由可加性
由独立性
22
定理 设在每次试验中事件A发生概率均为 p (0 < p <1)，则 n 重伯努利试验中 A 恰好发生 k 次的概率为
23
例 某人打靶, 命中率为 p = 0.8, 独立重复射击5次, 求：
(1) 恰好命中2次的概率；
(2) 至少命中2次的概率；
(3) 至多命中4次的概率。
解
设 5 次射击中命中数为 X，由上述定理知
(1)
(2)
(3)
24
例 某车间有5台某型号的机床，每台机床由于种种原因时常需要停车，停车的概率为1/3，设各台机床停车或开车是相互独立的，试求在任一时刻，(1) 恰有一台机床处于停车状态的概率；(2) 至少有一台机床处于停车状态的概率；(3)至多有一台机床处于停车状态的概率。
解
设任一时刻处于停车状态的机床台数为 X，则
(1)
(2)
(3)
25
练习：
P27 习题一
14. 15.
26
END
END
27

展开更多......

收起↑