资源简介

(共26张PPT)
第五节
随机变量
函数的分布
1
在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.
求截面面积 A = 的分布.
例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，
设随机变量 X 的分布已知，Y = g (X) (设 g 是连续函数)，如何由 X 的分布求出 Y 的分布？
2
一、一维随机变量函数的分布
1. 离散型随机变量函数的分布
注意：取值相同的概率应相加。
设 X 为离散型随机变量，分布律为
则 Y 的分布律为
3
解
求 2X+1 及 X 2 的概率分布。
例 设随机变量 X 的概率分布为
4
2. 连续型随机变量函数的分布
下面举例说明。
设 X 为连续型随机变量，其密度函数为 f ( x )，
要求 Y 的密度函数，一般用“分布函数法”。
5
例 设随机变量 X 具有概率密度
解
求随机变量 Y = 2 X + 8 的概率密度。
设 X, Y 的分布函数为 FX (x), FY (y),
于是 Y 的密度函数为
6
7
解
例 设 X ~ N (0, 1) , 求 Y = X 2 的概率密度。
注意到
设 X, Y 的分布函数为 FX (x), FY (y),
X 的其概率密度为
8
则 Y = X 2 的概率密度为
X 的其概率密度为
称 Y 服从自由度为 1 的 χ 2 分布。
9
解
所以
综上所述，有
例 设随机变量 X 的概率密度为
10
二、二维随机变量函数的分布
接下来讨论如何利用随机向量 (X, Y ) 的分布求它的函数的分布，分离散型和连续型两种情形讨论。
1. 二维离散型随机变量函数的分布
设随机向量(X,Y )的联合分布律为
11
例 设随机变量 (X, Y ) 的联合分布律为
解
分别求X+Y、X 2+Y 2、min(X, Y ) 的分布律。
12
13
证
所以
例
此性质称为泊松分布的可加性
14
2. 二维连续型随机变量函数的分布
主要讨论和的情况.
设 X 和 Y 的联合密度为 f (x,y), 求 Z = X+Y 的密度.
Z=X+Y 的分布函数是:
x
y
0
z
z
两边关于 z 求导，则得 Z 的密度函数为
15
由 X 和 Y 的对称性, fZ (z) 又可写成
特别，当 X 和 Y 独立，设(X,Y)关于 X, Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为：
这两个公式称为卷积公式, 记为 .
16
例 设X, Y 相互独立且均服从标准正态分布，求 Z = X+Y 的概率密度 .
由卷积公式，
解
17
用类似的方法可以证明:
若X和Y 独立,
若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1)，则Z=X+Y服从正态分布N(0, 2).
即有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.
正态分布的可加性
18
解
Z 的分布函数为
x
y
o
例 设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为
19
解
x
y
0
故 Z 的概率密度为
20
练习：
P70 习题二
18. 19. 20.
21
END
END
22
习题选解
23
解
18.设 X 和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分
由卷积公式,
仅当
上述积分的被积函数才不等于0，因此
即
时,
别为
24
25
即有
26

展开更多......

收起↑