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§4 矩、协方差及相关系数
1
一、原点矩与中心矩
其中 k 是正整数.
称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合原点矩.
若
存在，
称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
存在，
1阶原点矩就是数学期望；2阶中心矩就是方差；
X 和 Y 的二阶混合中心矩就是接下来要讨论的协方。
2
对随机向量来说，除了研究每个分量的数学期望和方差以外，还希望知道分量之间的相关程度，因此引进协方差和相关系数这两个概念。
定义
计算公式：
二、协方差的概念及其性质
covariance
3
定义
计算公式：
二、协方差的概念及其性质
其中
4
协方差的性质：
2、对称性：
3、线性性：
4、若 X 和 Y 相互独立，则
因为 X 和 Y 相互独立
注意：上式反之未必成立。
1、
a,b为常数
5
5、
类似地有
推广：
因此，若 X1, X2, …, Xn 两两独立,，则有
6
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念。
可以验证，
三、相关系数的概念及其性质
7
标准化随机变量消除了量纲的影响。
可以验证，
8
定义
计算公式：
9
证
相关系数的性质：
性质1
10
性质2
证
11
相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).
| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;
| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
12
例 设 (X, Y ) 的联合分布律为
解
先求出边缘分布，
13
解
例
x
y
O
14
x
y
O
15
定义
下列事实彼此等价：
定理 若 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关。
注意：逆定理不成立,即 X 与 Y 不相关时,不一定独立.
16
例 设 ( X, Y ) 的分布律为
所以
这表示X,Y 不存在线性关系.
但,
知X,Y 不独立.
事实上, X,Y 具有非线性关系：
17
解
例
即 X 与 Y 不相互独立。
18
解
例
(1) X 与 Y 的联合密度为
边缘密度为
0， 其他
19
类似地,
同理,
奇函数
20
(利用对称性)
所以
即 X 和 Y 不相关。
即 X 和 Y 不独立。
(2)
21
二维正态分布
可以证明：X,Y 相互独立
可以计算得
于是，对二维正态随机变量 (X, Y ) 来说, X 和 Y 不相关与 X 和 Y 相互独立是等价的.
在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。
22
解
例
23
例
解
(1)
所以
24
故 (X, Y) 的联合概率分布为
25
(2) 边缘分布为
均为0-1分布，
26
练习：
P94 习题三
7. 8. 9. 10. 11. 12.
27
End
28
习题选解
29
P95 7、
解
30
P95 9、
设 (X, Y ) 的联合密度函数为
解
31
32
33
(B)
1.已知随机变量 X 服从二项分布，且
则二项分布的参数 n, p 的值为
解
解得
选 (B) .
34
5.
解
选 (B) .
35

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