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第八章
方差分析
§1 问题的提出
在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果的一种方法。
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在实际中，影响事物某个指标的因素往往很多。
例 在化工生产中,有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备及操作人员的水平等因素。
例 在农业生产中，影响农作物产量的因素有品种、土壤、施肥量、水、气候、耕作水平等。
每一因素的改变都有可能对指标产生影响，不过有些因素影响较大，有些影响较小. 因此，有必要找出那些对指标有显著影响的因素. 方差分析就是根据试验结果，分析各有关因素对试验结果的影响程度的有效方法
例 影响火箭射程的因素有燃料、推进器等
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化工产品的
数量和质量
反应温度
压　　力
原料成分
原料剂量
溶液浓度
操作水平
反应时间
机器设备
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方差分析
——根据试验的结果进行分析，
有关因素对试验结果.
鉴别各个
试验指标
——试验中要考察的指标.
因素
——影响试验指标的条件.
因素
可控因素
不可控因素
水平
——因素所处的状态.
单因素试验
——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验
——在一项试验中有多个因素在改变.
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方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数的差别有无统计学意义。
ANOVA 由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验（F test）。
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表8.1　铝合金板的厚度
例1 设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米，得结果如下表所示：
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236 0.257 0.258
0.238 0.253 0.264
0.248 0.255 0.259
0.245 0.254 0.267
0.243 0.261 0.262
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　　假定除机器这一因素外,
试验目的:
其他条件相同,
属于单因素试验.
考察各台机器所生产的薄板的厚度有
无显著的差异.
即考察机器这一因素对厚度有无
显著的影响.
水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平.
试验指标:
因素:
薄板的厚度
机器
结论:
如果厚度有显著差异，
表明机器这一因素对厚度的影响是显著的.
8
例2 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）
表8.2 电路的响应时间
26
18
15
16
类型Ⅲ
27
18
33
20
19
21
22
22
20
19
机器Ⅳ
类型Ⅱ
类型Ⅰ
17
18
40
15
9
试验目的:
考察电路类型这一因素对响应时间有无显著的影响.
试验指标:
因素:
水平:
电路的响应时间
电路类型
四种电路类型为因素的四个不同的水平
单因素试验
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例3 一火箭用四种燃料，三种推进器作射程试验。每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次，射程如下：
表8.3　火箭的射程
推进器(B)
B1
B2
B3
燃料(A)
A1
A2
A3
A4
58.2
52.6
49.1
42.8
60.1
58.3
75.8
71.5
56.2
41.2
54.1
50.5
70.9
73.2
58.2
51.0
65.3
60.8
51.6
48.4
39.2
40.7
48.7
41.4
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试验指标:
因素:
水平:
双因素试验
试验目的:
射程
推进器和燃料
推进器有3个，燃料有4个
考察推进器和燃料两因素对射程有无显著的影响.
12
§2 单因素试验方差分析
关于例1的讨论：
检验假设
进一步假设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，但参数均未知。
问题
解决方法
检验同方差的多个正态总体均值是否相等.
(一种统计方法)
方差分析法
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总体均值
样本均值
样本总和
样本
观察结果
水平
表8.4
14
（一）数学模型
假设：
15
单因素试验方差分析的数学模型
16
需要解决的问题：
1. 检验假设
17
数学模型的等价形式
总平均
18
原数学模型
改写为
19
等价于检验假设
原检验假设
20
（二）平方和的分解
数据的总平均
总偏差平方和（总变差）
21
22
其中
23
其中
误差平方和
效应平方和
24
（三） SE , SA 的统计特性
25
即
26
因为
27
28
（四）显著性检验
检验假设
29
30
检验假设
拒绝域为
31
单因素试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 比
因素A
误差
总和
32
33
（五）未知参数的估计
34
35
36
例4 设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米，得结果如下表所示。
§3 单因素方差分析举例
　
表8.1　铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236 0.257 0.258
0.238 0.253 0.264
0.248 0.255 0.259
0.245 0.254 0.267
0.243 0.261 0.262
37
解
38
例4的方差分析表
各机器生产的薄板厚度有显著差异.
方差来源 平方和 自由度 均方 F 比
因素 0.00105333 2 0.00052667 32.92
误差 0.000192 12 0.000016
总和 0.00124533 14
39
例5
解
40
41
例6
解
I、II、III、Ⅳ
检验各类型电
试取水平
又设
但参数均未知.
且各总体的方差相同，
为正态，
设在例2的四种类型电路的响应时间的总体均
各样本相互独立，
路的响应时间是否有显著差异.
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表8.2 电路的响应时间
26
18
15
16
类型Ⅲ
27
18
33
20
19
21
22
22
20
19
机器Ⅳ
类型Ⅱ
类型Ⅰ
17
18
40
15
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例6的方差分析表
即认为各类型电路的响应时间有显著差异.
方差来源 平方和 自由度 均方 F 比
因素 318.98 3 106.33 3.76
误差 395.46 14 28.25
总和 714.44 17
44
练习：
P179 习题八
1. 2.
45
END
END
46

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