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2024年中考数学模拟试卷（一）（全国通用版）
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．-3的相反数是（ ）
A．-3 B．3 C． D．-
2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列平面直角坐标系中的数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A B C D
2022年10月12日，“天空课堂”第三课顺利开讲，感受航天科技魅力，激发青少年探索宇宙的奥秘.其中水球变“懒”实验，当天在新华网上点击率约达到13 000次，数据13 000用科学记数法表示为（ ）
A．13×103 B．1.3×104 C．1.3×105 D．0.13×105
4．下列计算正确的是（　　）
A．（a3）3＝a9 B．a3 a4＝a12 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3
5. 把一块直尺与一块三角板如图所示放置，若∠1=38°，则∠2的度数是（　　）
A. 128° B. 138° C. 142° D. 152°
第5题图 第8题图
6．某社区20位90后积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如下表：
年龄（岁） 24 25 26 27 28
人 数 2 5 8 3 2
则他们年龄的中位数是（　　）
A．27岁 B．26岁 C．25岁 D．28岁
在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位长度后，得到正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ＝40° B．DE=BD C．AF=AC D．∠EQF＝25°
9. 读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x≤3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
第10题图
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12. 若一个正多边形的每个内角都是150°，则它是正　 　边形．
13. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD=2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为_________．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E.若AC=8，BD=6，则OE的长为_________．
15.如图，将扇形OAB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA=6，则图中阴影部分的面积为_________．
16.如图，△AOB的顶点O在原点上，顶点A的坐标为（-3，1），∠BAO=90°，AB=OA，P为OB上一点，且OP=3BP.将△AOB向右平移，当点P的对应点P′落在反比例函数y＝（x＞0）上时，点P′的坐标为 ．
三、解答题（本大题8小题，共66分）
17．（6分）计算：（1）计算：．
（7分）先化简，然后从-3,0,1,3中选一个合适的数代入求值.
19．（8分）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 80
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
(2)若该校共有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
(3)某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用画树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
20．（8分）如图，星海湾大桥犹如一架巨大的竖琴，矗立于海面之上．已知主塔AB垂直桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD，AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D，C之间的距离约为33 m，求主塔AB的高度.（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
21.（8分）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
22．（8分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C，连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE=4，OF=，求⊙O的半径．
第22题图
23．（9分）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论，如图①，已知AD是三角形ABC的角平分线，可证.小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明.
尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：；
应用拓展：（2）如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.
①若AC=1，AB=2，求DE的长；
②若BC=m,∠AED=α，求DE的长.（用含m，α的式子表示
① ② ③
第23题图
24.（12分）如图，以D为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x＋6.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上有一点P，使PO＋PA的值最小，求点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第24题图
参考答案
一、B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B
二、11．x≥5 12．十二 13．4∶25 14. 15．6π 9 16．
三、17．1.
18.原式=-m-9 .因为m的值为-3，0，3时，原分式没有意义，所以m只能取1.当m=1时，原式=-1-9=-10.
19. 解:（1）200 40
（2）（人）.
答：估计全校参加篮球社的学生有480人.
画树状图如下：
由树状图知，共有20种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一男一女的结果有12种，所以P（恰好抽到一男一女）=．
20．解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，所以BD＝＝AB.
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan C＝，所以BC＝＝AB.
因为BC﹣BD＝CD＝33，所以AB﹣AB＝33，解得AB≈78（m）．
答：主塔AB的高度约为78 m．
21．解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元.
根据题意，得解得
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元.
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140-m）辆B型公交车.
根据题意，得45m≤60（140-m），解得m≤80.
答：该公司最多购买80辆A型公交车.
22.（1）证明：如图，连接AD.
因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.所以∠BAD+∠ABD=90°.
因为D为的中点，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC．
因为∠CBF=∠BAC，所以∠CBF=∠BAD.所以∠CBF+∠ABD=90°，即AB⊥BF.
因为OB为⊙O的半径，所以BF为⊙O的切线.
（2）解：如图，连接BE.
因为AB为⊙O的直径，所以∠AEB＝90°.
因为∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，所以∠BOD=∠BAC.
又因为∠OBF=∠AEB=90°，所以△OBF∽△AEB.
所以，即,解得OB=3（负值舍去）.
所以⊙O的半径为3．
第22题图
23.（1）证明：因为CE∥AB，所以∠B=∠ECD，∠BAD=∠E.
所以△ABD∽△ECD.所以.
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD.所以∠CAD=∠E.所以AC=EC.
所以.
（2）解：①在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，所以BC=.
由折叠的性质可知∠BAD=∠CAD，DE=CD.所以AD平分∠BAC.
由（1）可得，即，解得CD=.
所以DE=CD=.
②由折叠的性质可知∠AED=∠C=α，DE=CD.
在Rt△ABC中，tan α=.
因为，所以tan α=.所以BD=CDtanα，即m-CD=CDtanα，解得CD=.
所以DE=.
24.解：（1）在y＝﹣x+6中，当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x=6.所以C（0，6），B（6，0）.
将B（6，0）,C（0，6）代入y=bx+c，得解得
所以抛物线的解析式为y2x+6.
（2）作点O关于BC的对称点O′，连接AO′，交BC于点P，则P即为所求点.
由OB=OC=6，可得 O′（6，6）.
在y2x+6中，当y＝0时，得2x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6.所以A（﹣2，0）.
设直线AP的解析式为y＝mx+n.
将A（﹣2，0），O′（6，6）代入y＝mx+n，得解得
所以直线AP的解析式为y.
联立解得所以点P的坐标为.
（3）因为y8，所以D（2，8）.
因为C（0，6），B（6，0），所以CD＝2，BC＝6，BD＝4．
所以CD2+BC2＝BD2.所以△BCD是直角三角形.所以tan∠BDC3.
因为A（﹣2，0），C（0，6），所以OA＝2，OC＝6，AC＝2.所以tan∠CAO3.所以∠BDC＝∠CAO．
当△ACQ∽△DCB时，有，即，解得AQ＝20，所以Q（18，0）；
当△ACQ∽△DBC时，有，即，解得AQ＝2，所以Q（0，0）.
综上，存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似，点Q的坐标为（18，0）或（0，0）.
第24题图
第20题图
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页

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