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2024年中考数学模拟试卷（四）（全国通用版）
（本试卷满分120分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. -1 B. -3 C. 0 D.
2. 如图是将一个圆柱放在一个长方体上面，它的主视图是（ ）
A B C D 第2题图
3. 习近平总书记高度重视和关心航天事业发展，成为中国航天不断前行的动力之源，越来越多的“中国星”闪耀太空.我国在轨运行应用卫星数量超过600颗，“高分天眼”形成全天时全天候对地观测能力；风云卫星提供天气预报精准服务，北斗导航服务全球，已融入农业、交通、电力等多个领域，我国卫星导航与位置服务总体产值已达4700亿元.数据4700亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 0.47×1012 B. 47×1011 C. 4.7×1011 D. 4.7×1010
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a·a2=a3 B. a6÷a=a6 C. （x3）2=x9 D. （a+b）2=a2+b2
5. 如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=65°，则∠2的度数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
第5题图 第6题图 第9题图 第10题图
6. 如图，在数轴上表示实数-1的点可能是（　　）
A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N
7. 甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人玩一次恰好平手的概率是（　　）
A. B. C. D．
8. 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE=30°，连接AE，则阴影部分的面积为（　　）
A. 4π- B. 6π C. 4π-2- D. 4π-3-
10. 如图，□OABC的顶点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，且点A的坐标为（1，-3），点B的坐标为（5，-1），则k的值为（　　）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 因式分解：a3-4a=_____________.
12. 在平面直角坐标系中，若点P（m，m-n）与点Q（2，1）关于原点对称，则（m-n）2023的值为_________.
13. 对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=mn（m+n）.例如，4※2=4×2×（4+2）=48.若x1，x2是关于x的一元二次方程x2-5x+4=0的两个实数根，则x1※x2=______________.
14. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=8，AD=4，将矩形沿EF折叠，使点B与点D重合，则△ADE的面积为________________.
第14题图 第15题图 第16题图
15. 如图，地面上两个村庄C，D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12 km/h的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C，D在同一铅直平面内.当该飞行器飞至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°，该飞行器从A处飞行40 min至B处时，测得∠ABD=75°，则村庄C，D间的距离约为 km.（结果精确到0.1 km，≈1.732）
16. 如图，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4，F是DE的中点.若E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是________________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17. （6分）计算：+（π-1）0-.
18. （6分）解不等式组并写出x的非负整数解.
19. （8分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形ABCD沿直线AF折叠（F是折痕与CD的交点），使点D落在BC上的点E处.
（1）请利用尺规作图确定点E和点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）将图形补充完整，求EF的长.
第19题图
20. （8分）李伯计划从甲、乙两家水果种植基地批发芒果若干箱，再选择A，B两家水果店进行出售.若分别从甲、乙两家水果种植基地批发的芒果中随机抽取5筐进行检测，数据如下表：
水果基地 每筐芒果重量（千克） 平均数 中位数 方 差
甲 24 25 26 26 25 a 25 c
乙 24 24 26 26 25 25 b 0.8
从A，B两家水果店了解到近5天芒果的销售额相关数据如图所示：
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）a=______________，b=______________，c=________________；
（2）根据统计图表的数据，李伯该如何选择芒果批发基地和销售商？并说明理由.
第20题图
21. （8分）市政府计划用两种花卉对广场进行美化.已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆的价格比A种花卉多0.5元.
（1）求A，B两种花卉每盆的价格；
（2）若计划购买A，B两种花卉共600盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低总费用是多少元？
22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交边AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD=5，sin B=，求线段DF的长.
第22题图
23. （10分）如图，已知直线l：y=kx+4与抛物线y=ax2+bx+2交于点A，B（1，3），且点A在x轴上，P是y轴上一动点，连接PA，PB.
（1）求k，a，b的值；
（2）当PA+PB取得最小值时，求点P的坐标；
（3）若直线x=m交直线l于点C（点C在线段AB上，不与端点重合），交抛物线于点D.设w=OC2+CD，求w关于m的函数解析式，并求出w的最小值.
第23题图
24. （12分）综合与实践
在数学活动课上，老师给出了一个等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，D是AB边上一点，连接CD，如图①所示，请同学们根据自己的兴趣变化图形，并提出一个数学问题．
（1）提出问题
智慧小组的同学经过一番讨论后，提出：把CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，BE，如图②，请猜想AD和BE的数量关系，并加以证明；
（2）拓展应用
创新小组的同学受智慧小组同学的启发，发现可以把CD绕点C顺时针旋转45°得到CM，过点D作DH⊥CM于点H，连接BH，如图③所示，试猜想BH与CH的数量关系，并加以证明；
（3）兴趣延伸
思维小组的同学对图②中△DCE和△ACB重叠部分的面积很感兴趣，提出：当AD=8，BD=6时，请直接写出重叠部分的面积.
① ② ③
第24题图
参考答案
一、1. B 2. A 3. C 4. A 5. B 6. B 7. C 8. A 9. C 10. A
二、11. a（a-2）（a+2） 12. -1 13. 20 14. 6 15. 5.5 16. 2
三、17 解：原式=3+1-4=0.
18. 解：
解不等式①，得x>；解不等式②，得x≤1. 所以不等式组的解集为所以x的非负整数解为0，1.
19. 解：（1）如图，点E，F即为所求作.
第19题图
（2）如图，连接EF. 因为四边形ABCD是矩形，所以BC=AD=10，DC=AB=8，∠B=∠C=90°.
由折叠的性质，知AE=AD=10，EF=DF.所以BE==6.所以CE=BC-BE=4.
设EF=DF=x，则CF=8-x.所以CE2+CF2=EF2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5.所以EF的长是5．
20. 解：（1）25.2 25 0.56
（2）选择甲水果基地批发，选择B水果店销售.
理由：从统计表可知甲水果基地批发的芒果每筐重量的平均数比乙水果基地的高，且方差更小，波动小，所以选择甲水果基地批发；从A，B两家的统计图来看，B水果店近5日的销售额呈上升趋势，所以选择B水果店销售.
21. 解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元.
根据题意，得，解得x=1.
经检验，x=1是所列分式方程的解，且符合题意.
所以1+0.5=1.5（元）.
所以A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元.
（2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元.
由题意，得w=t+1.5（600-t）=-0.5t+900.由t≤（600-t），得t≤150.
因为w是t的一次函数，且-0.5＜0，所以w随t的增大而减小.
所以当t=150时，w的值最小，最小值为-0.5×150+900=825（元）.
所以购买A种花卉150盆时，购买这批花卉总费用最低，最低总费用是825元．
22. （1）证明：如图，连接DE.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠CAD=∠EAD.
因为∠CAD=∠CED，所以∠CED=∠EAD.
因为DF∥CE，所以∠CED=∠FDE.所以∠EAD=∠FDE.
因为AD为⊙O的直径，所以∠AED=90°.所以∠ADE+∠EAD=90°.所以∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD. 又因为AD为⊙O的直径，所以DF是⊙O的切线.
第22题图
（2）解：因为∠AED=90°，所以∠BED=90°.所以DE=BD·sin B=5×=3.
因为∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，所以△AED≌△ACD.所以DE=DC=3.所以BC=BD+DC=8.
在Rt△ABC中，因为sin B=，所以设AC=3x，AB=5x.
所以（5x）2-（3x）2=82，解得x=±2（负值舍去）.所以AB=10，AC=6.
因为△AED≌△ACD，所以AE=AC=6.在Rt△ADE中，.
因为∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，所以△ADE∽△AFD.
所以，即，解得.
23. 解：（1）将B（1，3）代入y=kx+4，得k+4=3，解得k=-1.
所以直线l的解析式为y=-x+4. 在y=-x+4中，令y=0，得x=4，则A（4，0）.
将A（4，0），B（1，3）分别代入y=ax2+bx+2，得解得
所以k的值为-1，a的值为，b的值为.
（2）设点B关于y轴的对称点为点B′，则B′（-1，3）. 连接AB′，则AB′与y轴的交点即PA+PB取得最小值时点P的位置. 易得直线AB′的解析式为y=x+.
当x=0时，y=，故当PA+PB取得最小值时，点P的坐标是.
（3）由（1）知抛物线的解析式为y=x2+x+2.
根据题意，得C（m，-m+4），D，所以OC2=m2+（-m+4）2=2m2-8m+16. 因为点C在线段AB上（不与点A，B重合），所以点D在点C上方.
所以CD=m2+m+2-（-m+4）=m2+m-2.
所以w=OC2+CD=2m2-8m+16m2+m-2=m2-m+14.
所以w关于m的函数解析式为w=m2-m+14（1由w=m2-m+14=+.
因为>0，所以w有最小值，当m=时，w取得最小值，为.
24. 解：（1）AD=BE.
证明：因为CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，所以CD=CE，∠DCE=90°.所以∠DCB+∠BCE=90°.
因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠DCB=90°.所以∠ACD=∠BCE.
因为△ACB为等腰直角三角形，所以CA=CB.
在△ACD和△BCE中，CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD＝CE，所以△ACD≌△BCE（SAS）.所以AD=BE.
（2）BH=CH.
证明：过点C作CE⊥CD，交DH的延长线于点E，连接BE，如图①所示.
由题意，得∠DCH=45°.因为DH⊥CM，所以∠DHC=90°.所以∠CDE=45°.
所以∠CED=180°-∠CDE-∠DCE=45°.
所以△DCE和△CHE都为等腰直角三角形.所以CH=HE=DH=DE，DC=CE.
由（1）得△ACD≌△BCE，所以∠A=∠CBE=45°.所以∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.
因为H为DE的中点，所以BH=DE.所以BH=CH.
① ②
第24题图
（3）.
解析：设DE与BC交于点F，过点C作CH⊥DE于点H，如图②所示.
由（1）知△ACD≌△BCE，所以AD=BE=8，∠CBE=∠A=45°.
所以∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°.所以DE==10.
因为△DCE为等腰直角三角形，所以CD=CE=DE=，∠CDE=45°.
因为CH⊥DE，所以CH=DE=5.因为AB=AD+BD=8+6=14，所以AC=BC=AB=.
因为∠CDF=∠CBD=45°，∠DCF=∠BCD，所以△CDF∽△CBD.
所以.所以，解得DF=. 所以重叠部分的面积为DF CH=××5=.
C′
A
B
C
D
E
F
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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