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§1.2 概率的定义与性质
引入：随机事件发生的频繁程度
问题：如何刻画随机事件的概率？
概率论与数理统计
概率论与数理统计
实验序号 n=5
1 0.4
2 0.6
3 0.2
4 1.0
5 0.2
6 0.4
7 0.8
8 0.4
9 0.6
10 0.6
n=50
0.44
0.50
0.42
0.50
0.48
0.42
0.36
0.48
0.54
0.62
n=500
0.502
0.498
0.512
0.506
0.502
0.492
0.488
0.516
0.524
0.494
掷硬币 表1
概率论与数理统计
实验者 投掷次数 正面次数 正面出现的频率
德摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
历史上投掷试验（表2）
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机事件来说，在相同的试验次数下，得到的频率也不一定会相同。
(2) 频率还具有稳定性，它总是在某一个具体数值附近波动，而随着试验次数的不断增加，频率的波动会越来越小。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
频率的性质
概率论与数理统计
一、概率的公理化定义
概率论与数理统计
证明
由概率的可列可加性得
二、概率的性质
概率论与数理统计
证明
由概率的可列可加性得
概率论与数理统计
证
由有限可加性知,
概率论与数理统计
证
证
概率论与数理统计
证
性质3
因此

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