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(共25张PPT)
§3.1 二维随机变量及其分布
延迟符
例如 抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y ，以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。
飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量 (三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等等.
概率论与数理统计
概率论与数理统计
一般地,
设 是一个随机试验,
它的样本空间是
设
是定义在 上的随机变量,
由它们构成的一个 维向
量
叫做 维随机向量
或
维随机变
量.
以下重点讨论二维随机变量.
延迟符
二维随机变量的分布函数
定义 设(X, Y)是二维随机变量，对于任意实数 x, y，二元函数
称为二维随机变量(X, Y)的联合分布函数， 简称为（X, Y) 的分布函数.
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,
那么分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面图
所示的,以点 为顶点而
位于该点左下方的无穷矩形
域内的概率.
概率论与数理统计
(1) F(x,y)分别关于 x 和 y 单调不减.
概率论与数理统计
分布函数F(x，y)的性质
(3) F(x,y)关于x或y都是右连续的，即
概率论与数理统计
(4) 对任意的 有
证：
x1
x2
y1
y2
概率论与数理统计
设二维随机变量 的分布函数为 ,则有
概率论与数理统计
延迟符
二维离散型随机变量
定义 若二维 随机变量(X,Y)的所有可能的取值是有限对或可列无限对不同值，则称(X,Y) 是二维离散型随机变量. 称
为(X,Y)的分布律，或X与Y的联合分布律.
二维离散型随机向量(X,Y)的分布律可用下列表格给出
X
Y
x1
x2
.
.
.
xi
.
.
.
y1 y2 ... yj …
p11
p21
.
.
.
pi1
.
.
.
p12
p22
.
.
.
pi2
.
.
.
…
…
…
…
…
p1j
p2j
.
.
.
pij
.
.
.
…
…
…
…
…
概率论与数理统计
二维离散型随机变量 的分布律具有性质
概率论与数理统计
例　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
解 X 可取值 0, 1, 2, 3，
Y 可取值 1, 3
概率论与数理统计
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
a 0.2 0.05
求: (1)常数a的取值;
(2) P{X≥0,Y≤1};
(3) P{X≤1,Y≤1}.
例
(X ,Y) 的分布律为
解 (1)由∑pij=1得: a=0.1
概率论与数理统计
(2) P{X≥0,Y≤1}
=P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}
+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}
=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6
(3) P{X≤1,Y≤1}
+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.75
=P{X= -1,Y=0}+P{X= -1,Y=1}+P{X=0,Y=0}
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
a 0.2 0.05
概率论与数理统计
二维连续型随机变量
定义 设二维随机变量 的联合分布函数为 ，若存在非负可积函数 ，使得对于任意实数 ，都有
则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f (x,y)称为(X,Y) 的概率密度或X与Y联合概率密度.
(X,Y)的概率密度f (x,y)的性质：
（1）非负性
（2）归一性
（3）当f (x,y)连续时，
概率论与数理统计
（4）若D是Oxy平面上的任一区域，则随机点(X,Y)落在D内的概率为：
概率论与数理统计
在几何上，上式表示随机点(X,Y )落入区域D内的概率等于以D为底，以曲面 为顶的曲顶柱体的体积.
解 (1)由
得
所以 k=6
1
概率论与数理统计
(2)
x
y
1/2
o
概率论与数理统计
例:设二维随机向量(X,Y)的分布函数为
(1)求概率密度f (x,y); (2)求概率P{Y≤X}.
解 (1)由分布函数的性质有
概率论与数理统计
(2)
概率论与数理统计
常见的两种二维连续型随机变量的分布
(一)均匀分布
定义 设D是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.

概率论与数理统计
(二)二维正态分布
定义 如果(X,Y)的联合密度函数为
其中μ1,μ2,σ1>0,σ2>0,ρ(| ρ|<1)为常数. 则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为
概率论与数理统计

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