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§3.4 随机变量的独立性
定义：设X与Y是两个随机变量,若对任意的
(1)由定义可知：若X与Y独立,则
(2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:
随机变量独立性的重要结论
即
概率论与数理统计
(4) 联合分布和边缘分布的关系
联合分布
边缘分布
条件：独立性
(3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:
几乎处处成立.
概率论与数理统计
Y
X
0
1
P(y=j)
1
2
P(X=i)
例 若(X, Y)的分布律为
试判断X与Y的独立性.
因而X与Y不相互独立.


概率论与数理统计
Y
X
0
1
P(y=j)
1
2
P(X=i)
例 若(X, Y)的分布律为
试判断X与Y的独立性.




概率论与数理统计
例 已知(X, Y)的分布律， X与Y的独立性。求其余的未知参数。
概率论与数理统计
例 设(X,Y)的概率密度为
问X和Y是否独立？
解
可见对一切 x, y, 均有：
故 X , Y 独立 .



概率论与数理统计
例 若(X,Y)的概率密度为
判断X与Y的独立性。
解
由于存在面积不为0的区域，
故 X 和 Y 不独立 .


概率论与数理统计
例 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？
解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
以12时为起点,以分为单位,依题意,
X~U(15,45), Y~U(0,60)
概率论与数理统计
由独立性



概率论与数理统计
y
x
60
40
10
45
0
15
概率论与数理统计
y
x
60
40
10
45
0
15
概率论与数理统计
二维正态分布
概率论与数理统计
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