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§4.2 方差
甲、乙两名射击手，现要挑选一名射击手参加比赛。若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7 8 8 8 9
乙命中环数 10 6 10 6 8
两名射手的平均成绩；
均为8（环）
概率论与数理统计
谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？
{(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2}/4=16/4=4
{(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2}/4=
甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和的平均值：
乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和的平均值：
2/4
概率论与数理统计
方差
定义 随机变量X的方差记为D(X),或Var(X),定义为
称之为随机变量X的均方差(标准差).
其中 存在.
方差D(X)是反映X取值分散程度的量,当X取值比较集中时,方差较小;当X取值比较分散时,方差较大.
由数学期望性质与方差定义可得:
这也是计算方差的常用公式.
概率论与数理统计
例 已知随机变量X的分布律如下, 求D(X）。
X ﹣2 ﹣1 0 1 2
Pk 1/16 2/16 3/16 2/16 8/16
解 数学期望E(X)=7/8
概率论与数理统计
例
设随机变量X具有(0, 1) 分布，其分布律为
求D(X) .
解:
由公式:
因此,0-1分布:
概率论与数理统计
例
解:
X的分布律为:
概率论与数理统计
例 设X~
,求
解 (1)
=1
(2)
=7/6
所以,
=7/6-1=1/6
概率论与数理统计
例
解:
概率论与数理统计
例
设随机变量X服从指数分布,其概率密度为
解:
所以,
概率论与数理统计
例 设 X ~ N ( , 2), 求 D( X )
解
概率论与数理统计
方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有
(2) 设 X 是一个随机变量, 则有
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)
例 设X ~ b( n , p)，求D(X ).
故
概率论与数理统计
则: X= X1+X2+…+Xn
解 设
其中 且相互独立.
常见分布的期望方差:
(5)均匀分布:
(1)二点分布:
(2)二项分布:
(3)泊松分布:
(4)正态分布:
(6) 指数分布:
概率论与数理统计
例 设随机变量
相互独立，且
设
求
解
概率论与数理统计
例 设X1, X2, …, Xn相互独立，有共同的期望 和 方差 ，
则:
证明:
概率论与数理统计
概率论与数理统计
解：
解之得
例：已知随机变量X的密度函数为
又已知,求a,b,c.
概率论与数理统计
标准化随机变量
设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在,
且D(X ) 0, 则称
为 X 的标准化随机变量. 显然，
概率论与数理统计
切比雪夫不等式 (Chebyshev’s Inequality)
由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，
则事件{ |X-E(X)| < }的概率越大，
即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.
概率论与数理统计
例 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
解: 设每毫升白细胞数为X,
则: E(X)=7300, D(X)=7002
P(5200 X 9400)
= P(-2100X-E(X)2100)
= P{ |X-E(X)|2100}
由切比雪夫不等式:
P{ |X-E(X)| 2100}
即每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.

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