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概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
大数定律
概率论与数理统计
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概率论与数理统计
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概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
谢
谢
观
看
三
●
三
7
例抑，观察每个新生儿的性别，会发现或是男，或是女，没有规律性，但大
观察的致量后又会发现，男买和女买占被观察总致的比重均趋于50%，
如果用水
表示被观察的新生儿的性别，并规定
第m个新儿州别女
那么这个特点就可以表示为
逐渐稳定到
增大
即个别的有随机性，但整体均值却固定
大数定律中心
极限定理
大数定律
算术平均值
中心极限定理
和
依概率收敛的概念
切比雪夫大数定律
伯努利大数定律
四
辛钦大数定律
定义设Y,Y2,…,Yn,…为一列随机变量，4为常数，如果对于任
意的正数&，都有
lim PY-al<8=1
则称Y,Y,…,Yn,…依概率收敛于a,记作Y
定理1（切比雪夫大数定律）设X,X2,…,Xm,…为一列两两不相关
的随机变量，且它们的方差有界，即存在常数C>0,
D(Xn)≤C,n=1,2,
则对任意的正数ε，有
随机变口的算术平均值依概率收敛于
期望的算术平均值
随机变
数
因此，也可以说定理表明：
一列随机变量的算术平均值依概率收敛于其自身的期望，即
70
2
k
定理3（辛钦大数定律）设X,X,…,X,…为一列独立同分布的随机
变量，且数学期望EX=4,k=1,2,…,则对任意的正数8，有
lim P
证略
此定理说明，∑X依概率收敛于“=EX·进一步，若期望
k=1
X存在，则有∑X依概率收敛于4，=E(X)(1=1,2,).这个性
质是参数估计中矩估计的理论基础.
性质1设X},{Y}是两个随机变量序列，并且
(a,b为常数)
则有
(b≠
性质2设{Xm},{X2n},,{Xm}是k个随机变量序列，并且
Xin
(a,为常数)(i=1,2,…k)
又8(X1,x2,…,x)是k元连续函数，且8(a1,42,…,4x)≠士0，则有
g(Xn,X2n,…Xa)P>g(a
解依题有E(X)=2,D(X)=4(k=1,2,…,n),从而
E(X)=DX)+[E(X)]2=4+4=8,
又由X2,X,…,X相互独立，根据辛钦大数定律有
一E】

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