资源简介

(共18张PPT)
§4.3 协方差与相关系数
协方差
协方差的计算公式
称
为 X ,Y 的协方差。
定义
记为 :
协方差的性质
概率论与数理统计
例 (X,Y)的联合分布律为:
X
-1
0
1
Y -1 0 1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
求X与Y的协方差,并判断X, Y是否独立。
解
=0
由对称性得:E(Y)=0
概率论与数理统计
=0
另一方面
P(X=﹣1,Y=﹣1)=1/8
所以,X与Y不独立.
≠
=P(X=﹣1)P(Y=﹣1)
(3/8)×(3/8)
概率论与数理统计
例 设随机变量X和Y的联合概率密度为
求：
解:
概率论与数理统计
例 已知
求：
解:
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义
设
为二维随机向量，
称
为随机变量
和
的相关系数.
与相关系数
相关系数的性质
线性关系
概率论与数理统计
相关系数的意义
相关系数是描述了X与Y线性相关程度
概率论与数理统计
X,Y不相关(弱)
X,Y相互独立(强)
(没有线性关系）
(没有任何关系）
可能会有别的关系，如二次关系。
例 设Y=X2 ,有
X,Y不相关.
但是,X与Y不独立.
概率论与数理统计
设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相互独立的充要条件是 =0. 知X与Y不相关与X和Y相互独立是等价的.
概率论与数理统计
矩、协方差矩阵
定义: 设X和Y是随机变量,
(1) 若E(Xk), k=1, 2, …存在, 则称它为X的k阶原点矩.
(2) 若E{[X-E(X)]k}, k=1, 2, …存在,则称它为X的k阶中心矩.
(3) 若E{Xk Yl}, k, l=1, 2, …存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合矩.
(4) 若E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]l}, k, l=1, 2,…存在, 则称它为X和Y的k+l阶中心混合矩.
显然, E(X),E(Y)为一阶原点矩, D(X),D(Y)为二阶中心矩.
概率论与数理统计
概率论与数理统计
n元正态分布的几条重要性质
2.n维正态变量(X1,X2, …,Xn)的每一个分量Xi都是正态随机变量；反之，若每个分量Xi都是正态随机变量，且它们相互独立，则(X1,X2, …,Xn)是n维正态变量。
a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 均服从正态分布.
对一切不全为0的实数a1,a2,…,an ，
1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布
概率论与数理统计
若 X=(X1, X2 , … , Xn) 服从 n 元正态分布，
Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数，
则 (Y1,Y2, …，Yk) 也服从多元正态分布.
3. 正态变量的线性变换不变性.
4. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则
“X1,X2, …,Xn两两不相关”
“X1,X2, …,Xn相互独立”
概率论与数理统计

展开更多......

收起↑