资源简介

(共40张PPT)
§4.1 数学期望
引例 某企业生产某种产品，质检员每天对产品进行检查，以下是五月份产品的检验结果，求这个月的平均次品数。
概率论与数理统计
平均次品数
0件次品出现的天数
总的天数
（0件次品）发生的频率
（0件次品）发生的概率
近似于
概率论与数理统计
加权平均，数学期望的概念源于此。
设 表示每天出现的次品数
概率论与数理统计
离散型随机变量的数学期望
设 X 为离散型随机变量，其分布律为：
若无穷级数
数学期望，记作 E( X ), 即
绝对收敛,
则称其为X的
例 已知随机变量X的分布律如下。求E(X).
X 2 3 4 9
p 1/8 5/8 1/8 1/8
解
概率论与数理统计
例 已知随机变量 。求E(X).
解
概率论与数理统计


概率论与数理统计
到站时刻 8:10 8:30 8:50
9:10 9:30 9:50
概率 1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.
例 按规定, 某车站每天8:00~9:00和 9:00~10:00
都恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的, 且
两者到站的时间相互独立。
其规律为：
概率论与数理统计
X 10 30 50 70 90
到站时刻 8:10 8:30 8:50
9:10 9:30 9:50
概率 1/6 3/6 2/6
解：设旅客的候车时间为X（以分计），其分布律为
概率论与数理统计
例
一种常见的赌博游戏,其规则为:投掷一颗均匀的骰子，赌客猜精确的骰子点数,凡猜中者以1比5得到奖金,否则其押金归庄家所有,问此规则对庄家还是赌客更有利
解：不妨设一赌徒押了10元, X为赌徒最终输赢数，
显然结果对庄家更有利！
赌徒最终平均输赢为
即分布律为
概率论与数理统计
连续型随机变量的数学期望
（或均值），记为E(X)。即
的值为随机变量X的数学期望
定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
绝对收敛,
则称积分
例 设X～U(a,b),求E(X)。
解 X的概率密度为：
X的数学期望为：
概率论与数理统计
例 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求E(X).
解 X的概率密度为
所以,
E(X)=
概率论与数理统计
例 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
奇函数
解
令
=
概率论与数理统计
例 设随机变X 的概率密度为
求E(X ).
解
概率论与数理统计
随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X的分布, 如何计算X的某个函数 g(X)的期望？
一种方法是，求出 g(X) 的分布，然后按照期望的定义把 E[g(X)] 计算出来.
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较复杂的 .
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,
定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
概率论与数理统计
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f(x), 若
概率论与数理统计
例 设随机变量
的分布律为
求
解
概率论与数理统计
概率论与数理统计
例 设随机变量X的概率密度函数
求：（1）常数
；（2）
解
（1）由概率密度函数的性质有
概率论与数理统计
（2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X 1 3
P 3/4 1/4
X
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0 0 1/8
Y 0 1 2 3
解:
例 （X,Y）的分布列为
概率论与数理统计
Y 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
概率论与数理统计
例 设随机变量(X,Y)的概率密度为：
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X=1
X=1
概率论与数理统计
数学期望的性质及应用
推广：
（1）设C是常数，则 .
（2）设 为一随机变量，C为常数，则有
（3）设 为两个随机变量，则有
相互独立时
推广：
概率论与数理统计
（4）若 为两个相互独立的随机变量，则有
现就连续型证下面两条：
设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密度分别为
由随机变量函数的期望得:
概率论与数理统计
概率论与数理统计
由 相互独立得:
解
例
且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y 4Z 1
的数学期望.
设随机变量X ~ N 0,1 , Y ~U 0,1 , Z~B 5,0.5 ,
概率论与数理统计
= np.
因为: P(Xi =1)= p,
P(Xi =0)= 1-p
所以: E(X)=
E(Xi)=
= p
例 求二项分布的数学期望.
解 设
概率论与数理统计
则: X= X1+X2+…+Xn
，其中
例 假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的
需求量 是随机变量(单位:吨),它服[2000，4000]
均匀分布，设每售出这种商品一吨可为国家挣得
外汇3万元，但假如销售不出而积于仓库，则每
吨需浪费保养费1万元，求应组织多少货源，才
能使国家的收益最大.
概率论与数理统计
解
随机变量
的概密度函数为
概率论与数理统计
设应组织
吨货，才能使国家的收益最大，
=“此种商品量的收益”（单位：万元），因此
所以
时达最大值，
因此组织3500吨此种商品是最好的决策.
概率论与数理统计
证 令
例 设随机变量 及 的期望存在，证明：
即
概率论与数理统计

展开更多......

收起↑