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2　重力势能
[学习目标]　
1.知道重力做功的特点(重点)。
2.理解重力势能及重力做功与重力势能变化的关系(重难点)。
3.知道重力势能具有相对性，知道重力势能是物体和地球组成的“系统”所共有的(重点)。
4.理解弹性势能，知道影响弹性势能大小的相关因素。
一、重力做的功
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中，思考并讨论以下问题(重力加速度为g)：
(1)求出图甲情形中重力做的功；
(2)求出图乙情形中重力做的功；
(3)求出图丙情形中重力做的功；
(4)重力做功有什么特点？
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1．重力所做的功WG＝________，Δh指初位置与末位置的高度差。
2．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的________________有关，而跟物体运动的路径无关。
3．物体下降时重力________(选填“做正”“做负”或“不做”)功；
物体上升时重力________(选填“做正”“做负”或“不做”)功。
4．重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。
(1)物体运动时，它的起点越高，重力对它做的功就越多。(　　)
(2)质量越大，重力做功越多。(　　)
(3)物体所处的高度只要发生变化，其重力一定做功。(　　)
(4)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的路程。(　　)
(5)重力做功与物体受到的其他力无关。(　　)
例1　某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C．从A到B重力做功mg(H＋h)
D．从A到B重力做功mgH
二、重力势能
如图所示，水平桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：(g取10 m/s2)
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
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1．(1)重力做功与路径无关，总有WG＝mgh1－mgh2。可见mgh这个量有特殊意义，我们把它叫作物体的____________。
(2)重力势能Ep＝mgh具有________，与参考平面的选取有关，其中h是___________的高度。
(3)重力势能是________量，但有正负，正负表示重力势能的________。当物体在参考平面下方h处，重力势能Ep＝________。
(4)重力势能的差值ΔEp与参考平面的选取________，它的差值是绝对的。
(5)重力势能具有________，重力势能是物体和________共有的。
2．重力做功与重力势能变化的关系
WG＝____________＝－ΔEp
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做________功，重力势能________，重力势能的减少量等于重力所做的功。
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做________功(物体克服重力做功)，重力势能________，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功。
重力势能Ep＝mgh中的“h”与重力做功W＝mgΔh中的“Δh”相同吗？若不同，有何区别？
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(1)在参考平面相同时，同一物体在不同高度时，重力势能不同。(　　)
(2)重力做功与路径无关，但重力势能的变化与路径有关。(　　)
(3)重力势能Ep1＝10 J，Ep2＝－10 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(4)重力做功WG＝－20 J，则物体的重力势能减小20 J。(　　)
(5)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1>Ep2。(　　)
例2　质量为m＝1 kg的小球，从离桌面H＝1.5 m高的A处由静止下落，桌面离地面B处高度为h＝0.5 m，如图所示。若以桌面为参考平面，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球在A点的重力势能为20 J
B．小球在B点的重力势能为5 J
C．由A处下落至B处过程中重力势能减少量为20 J
D．若以地面为参考平面，由A处下落至B处过程中重力势能减少量为15 J
例3　如图所示，质量均匀的链条放在光滑的水平桌面上，链条全长为l，质量为m，有的长度悬于桌面下。链条由静止开始下滑，设桌面的高度大于l，则从链条开始下滑到刚离开桌面的过程中重力势能改变了多少？重力做功多少？(重力加速度大小为g)
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三、弹性势能
如图所示，物体与水平轻质弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A′运动，A、A′关于O点对称，弹簧始终在弹性限度内，则：
(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(3)在A、A′处弹性势能有什么关系？
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1．定义：发生________形变的物体的各部分之间，由于有________的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。
2．影响弹性势能的因素
(1)弹性势能跟形变大小有关：同一弹簧，在弹性限度内，形变越大，弹簧的弹性势能就________。
(2)弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关：在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大
小的形变，劲度系数________，弹簧的弹性势能越大。
3．对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
4．弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。
例4　如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中(　　)
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力做正功
D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
2　重力势能
[学习目标]　
1.知道重力做功的特点(重点)。
2.理解重力势能及重力做功与重力势能变化的关系(重难点)。
3.知道重力势能具有相对性，知道重力势能是物体和地球组成的“系统”所共有的(重点)。
4.理解弹性势能，知道影响弹性势能大小的相关因素。
一、重力做的功
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中，思考并讨论以下问题(重力加速度为g)：
(1)求出图甲情形中重力做的功；
(2)求出图乙情形中重力做的功；
(3)求出图丙情形中重力做的功；
(4)重力做功有什么特点？
答案　(1)图甲中WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2
(2)图乙中WAB′＝mglcos θ＝mgΔh＝mgh1－mgh2
WB′B＝0
故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2
(3)图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2…。
WAB″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgΔh
WB″B＝0
故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(4)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1．重力所做的功WG＝mgΔh，Δh指初位置与末位置的高度差。
2．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
3．物体下降时重力做正(选填“做正”“做负”或“不做”)功；
物体上升时重力做负(选填“做正”“做负”或“不做”)功。
4．重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。
(1)物体运动时，它的起点越高，重力对它做的功就越多。(　×　)
(2)质量越大，重力做功越多。(　×　)
(3)物体所处的高度只要发生变化，其重力一定做功。(　√　)
(4)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的路程。(　×　)
(5)重力做功与物体受到的其他力无关。(　√　)
例1　某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C．从A到B重力做功mg(H＋h)
D．从A到B重力做功mgH
答案　D
解析　重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关。从A到B的高度差是H，故从A到B重力做的功是mgH，选项D正确。
二、重力势能
如图所示，水平桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：(g取10 m/s2)
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
答案　(1)以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1＝0.4 m，
因而物体具有的重力势能为
Ep1＝mgh1＝2×10×0.4 J＝8 J
物体落至地面时，物体的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×10×(－0.8) J＝－16 J
因此物体在此过程中的重力势能减少量为
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8 J－(－16) J＝24 J
(2)以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为
h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m，因而物体具有的重力势能为
Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2 J＝24 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2′＝0
在此过程中，物体的重力势能减少量为
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝24 J－0＝24 J；
(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量是绝对的，它与参考平面的选取无关。
1．(1)重力做功与路径无关，总有WG＝mgh1－mgh2。可见mgh这个量有特殊意义，我们把它叫作物体的重力势能。
(2)重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其中h是相对参考平面的高度。
(3)重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小。当物体在参考平面下方h处，重力势能Ep＝－mgh。
(4)重力势能的差值ΔEp与参考平面的选取无关，它的差值是绝对的。
(5)重力势能具有系统性，重力势能是物体和地球共有的。
2．重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功。
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功。
重力势能Ep＝mgh中的“h”与重力做功W＝mgΔh中的“Δh”相同吗？若不同，有何区别？
答案　不相同。重力势能Ep＝mgh中的“h”是物体相对于参考平面的高度；而重力做功W＝mgΔh中的“Δh”是物体初、末位置的高度差，与参考平面无关。
(1)在参考平面相同时，同一物体在不同高度时，重力势能不同。(　√　)
(2)重力做功与路径无关，但重力势能的变化与路径有关。(　×　)
(3)重力势能Ep1＝10 J，Ep2＝－10 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　×　)
(4)重力做功WG＝－20 J，则物体的重力势能减小20 J。(　×　)
(5)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1>Ep2。(　√　)
例2　质量为m＝1 kg的小球，从离桌面H＝1.5 m高的A处由静止下落，桌面离地面B处高度为h＝0.5 m，如图所示。若以桌面为参考平面，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球在A点的重力势能为20 J
B．小球在B点的重力势能为5 J
C．由A处下落至B处过程中重力势能减少量为20 J
D．若以地面为参考平面，由A处下落至B处过程中重力势能减少量为15 J
答案　C
解析　若以桌面为参考平面，小球在A点的重力势能为EpA＝mgH＝15 J，故A错误；若以桌面为参考平面，小球在B点的重力势能为EpB＝－mgh＝－5 J，故B错误；由A处下落至B处过程中重力势能减少量ΔE＝EpA－EpB＝20 J，故C正确；重力势能减少量与下落高度差有关，与参考平面的选取无关，若以地面为参考平面，由A处下落至B处过程中重力势能减少量仍为20 J，故D错误。
例3　如图所示，质量均匀的链条放在光滑的水平桌面上，链条全长为l，质量为m，有的长度悬于桌面下。链条由静止开始下滑，设桌面的高度大于l，则从链条开始下滑到刚离开桌面的过程中重力势能改变了多少？重力做功多少？(重力加速度大小为g)
答案　－mgl　mgl
解析　末态时链条呈竖直状，上端与桌面相平，比较初态和末态，链条从开始下滑到刚离开桌面的过程可等效成将初态桌面上的长度的链条移至末态中整个竖直链条的下端长度处，故这长度的链条的重心下降了l，所以重力势能减少了
mg·l＝mgl
即ΔEp＝－mgl
重力做功WG＝－ΔEp＝mgl。
三、弹性势能
如图所示，物体与水平轻质弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A′运动，A、A′关于O点对称，弹簧始终在弹性限度内，则：
(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(3)在A、A′处弹性势能有什么关系？
答案　(1)正功　减少　(2)负功　增加　(3)相等
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。
2．影响弹性势能的因素
(1)弹性势能跟形变大小有关：同一弹簧，在弹性限度内，形变越大，弹簧的弹性势能就越大。
(2)弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关：在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。
3．对弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
4．弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。
例4　如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中(　　)
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力做正功
D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
答案　B
解析　若用不可伸长的细绳代替弹簧拴住重物向下摆动，重力做正功，弹力不做功，C错误；用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功比用细绳代替弹簧后做功多，A、D错误，B正确。

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