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3　动能和动能定理
[学习目标]　
1.掌握动能的表达式和单位，知道动能是标量(重点)。
2.能运用牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理，理解动能定理的物理意义(重点)。
3.能运用动能定理解决简单的问题(重难点)。
一、动能和动能定理
如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，试推导出这一过程中力F对物体做功的表达式。
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1．动能
(1)动能的表达式Ek＝________。其单位与________的单位相同，在国际单位制中为________，符号为________。
(2)动能是________量，没有负值。
(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2．动能定理
(1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________。
表达式：W＝________________，也可写成W＝Ek2－Ek1。
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因。
①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的末动能大于初动能；
②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的末动能小于初动能。
(3)物体动能的改变可由合力做功来度量。
1．合外力对物体做功，物体的速度一定变化吗？物体的速度变化，合外力一定对物体做功吗？
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2．动能定理是物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下推导出来的，对于物体受变力作用、做曲线运动的情况，动能定理是否成立？
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(1)凡是运动的物体都具有动能。(　　)
(2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。(　　)
(3)物体的动能不变，所受的合外力必定为零。(　　)
(4)利用动能定理只能求速度大小不能求速度方向。(　　)
(5)如果物体受到几个力的作用，动能定理中的W表示这几个力的合力做的功。(　　)
例1　质量10 g、以0.80 km/s的速度飞行的子弹与质量62 kg、以10 m/s的速度奔跑的运动员相比(　　)
A．运动员的动能较大
B．子弹的动能较大
C．二者的动能一样大
D．无法比较它们的动能
二、动能定理的简单应用
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？
(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
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应用动能定理解题的一般步骤：
例2　质量m＝6×103 kg的飞机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。
(1)起飞时飞机的动能是多少？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
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(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
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例3　一人用力踢质量为1 kg的足球，使球由静止以20 m/s的速度飞出，假定人踢球瞬间对球平均作用力大小是200 N，球在水平方向运动30 m停止。那么人对球所做的功为(　　)
A．20 J B．200 J C．300 J D．6 000 J
例4　如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计。(g＝10 m/s2)
(1)求物块到达B点时的速度大小；
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(2)求物块在A点的动能；
(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)。
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动能定理的优越性
牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
3　动能和动能定理
[学习目标]　
1.掌握动能的表达式和单位，知道动能是标量(重点)。
2.能运用牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理，理解动能定理的物理意义(重点)。
3.能运用动能定理解决简单的问题(重难点)。
一、动能和动能定理
如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，试推导出这一过程中力F对物体做功的表达式。
答案　W＝Fl＝F·＝F·＝mv22－mv12。
1．动能
(1)动能的表达式Ek＝mv2。其单位与功的单位相同，在国际单位制中为焦耳，符号为J。
(2)动能是标量，没有负值。
(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2．动能定理
(1)力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
表达式：W＝mv22－mv12，也可写成W＝Ek2－Ek1。
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因。
①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的末动能大于初动能；
②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的末动能小于初动能。
(3)物体动能的改变可由合力做功来度量。
1．合外力对物体做功，物体的速度一定变化吗？物体的速度变化，合外力一定对物体做功吗？
答案　如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体速度方向时刻变化，但所受合外力对物体不做功。
2．动能定理是物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下推导出来的，对于物体受变力作用、做曲线运动的情况，动能定理是否成立？
答案　成立。在物体受变力作用且做曲线运动时，可将运动过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的都是恒力，运动的轨迹为直线，同样可推导出动能定理的表达式。
(1)凡是运动的物体都具有动能。(　√　)
(2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。(　×　)
(3)物体的动能不变，所受的合外力必定为零。(　×　)
(4)利用动能定理只能求速度大小不能求速度方向。(　√　)
(5)如果物体受到几个力的作用，动能定理中的W表示这几个力的合力做的功。(　√　)
例1　质量10 g、以0.80 km/s的速度飞行的子弹与质量62 kg、以10 m/s的速度奔跑的运动员相比(　　)
A．运动员的动能较大
B．子弹的动能较大
C．二者的动能一样大
D．无法比较它们的动能
答案　B
解析　子弹的动能Ek1＝m1v12＝×0.01×8002 J＝3 200 J，运动员的动能Ek2＝m2v22＝×62×102 J＝3 100 J，所以子弹的动能较大，故B正确。
二、动能定理的简单应用
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？
(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
答案　(1)受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcos θ·＝－μmg。
(2)物块的动能增大，由动能定理得WG＋WN＋Wf＝mv2－0，得物块到达斜面底端的速度大小v＝。
应用动能定理解题的一般步骤：
例2　质量m＝6×103 kg的飞机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。
(1)起飞时飞机的动能是多少？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0×103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
答案　(1)1.08×107 J　(2)1.5×104 N　(3)9×102 m
解析　(1)飞机起飞时的动能Ek＝mv2
代入数值解得Ek＝1.08×107 J。
(2)设飞机受到的牵引力为F，由题意知合外力为F，
由动能定理得Fl＝Ek－0，代入数值得F＝1.5×104 N。
(3)设飞机的滑行距离为l′，滑行过程中受到的平均阻力大小为Ff，则
由动能定理得(F－Ff)l′＝Ek－0
解得l′＝9×102 m。
例3　一人用力踢质量为1 kg的足球，使球由静止以20 m/s的速度飞出，假定人踢球瞬间对球平均作用力大小是200 N，球在水平方向运动30 m停止。那么人对球所做的功为(　　)
A．20 J B．200 J C．300 J D．6 000 J
答案　B
解析　人对足球所做的功等于足球动能的增量，则W＝ΔEk＝mv2＝×1×202 J＝200 J。故选B。
例4　如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计。(g＝10 m/s2)
(1)求物块到达B点时的速度大小；
(2)求物块在A点的动能；
(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)。
答案　(1)4 m/s　(2)6 J　(3) m/s
解析　(1)物块从B点到C点由动能定理可得
－μmgs＝0－mvB2
解得vB＝4 m/s
(2)物块从A点到B点由动能定理可得
mgh＝mvB2－EkA
解得EkA＝6 J
(3)设水平初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得－μmgs－mgh＝0－mv2
解得v＝ m/s。
动能定理的优越性
牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错

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