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4　机械能守恒定律
[学习目标]　
1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程。
2.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化(重点)。
3.知道机械能守恒的条件，会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题(重难点)。
一、对机械能守恒定律的理解和判断
如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面。
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小。
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1．机械能
____________、____________与________都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
2．动能与势能的相互转化
通过____________做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有________或________做功的物体系统内，________与________可以互相转化，而________________保持不变。
(2)表达式：mv22＋mgh2＝____________或Ek2＋Ep2＝____________。
(3)条件：只有系统内的____________做功，其他力不做功或做功的代数和为零。
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
(1)重力做正功的过程中，重力势能一定减少，动能一定增加。(　　)
(2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　　)
(3)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。(　　)
(4)物体的机械能守恒时，则物体一定做匀速直线运动。(　　)
(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　)
(6)“某物体机械能守恒”为习惯说法，实际上应为“某物体和地球组成的系统机械能守恒”。(　　)
例1　如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和滑轮质量，A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
二、机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守 恒的 角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选参考平面
从转 化的 角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选参考平面
从转 移的 角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
例2　如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
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例3　如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
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例4　如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时速度为v，A、B之间的竖直高度差为h，重力加速度为g，则(　　)
A．小球的机械能守恒
B．由A到B小球重力势能减少mv2
C．由A到B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
4　机械能守恒定律
[学习目标]　
1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程。
2.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化(重点)。
3.知道机械能守恒的条件，会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题(重难点)。
一、对机械能守恒定律的理解和判断
如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面。
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小。
答案　(1)从A至B的过程中，物体受到重力、支持力作用。重力做正功，支持力不做功。
(2)EA＝mgh1＋mv12
EB＝mgh2＋mv22
(3)由动能定理得：WG＝mv22－mv12
又WG＝mgh1－mgh2
联立以上两式可得：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1
即EB＝EA。
1．机械能
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
2．动能与势能的相互转化
通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(3)条件：只有系统内的重力或弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零。
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
(1)重力做正功的过程中，重力势能一定减少，动能一定增加。(　×　)
(2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　×　)
(3)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。(　×　)
(4)物体的机械能守恒时，则物体一定做匀速直线运动。(　×　)
(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　√　)
(6)“某物体机械能守恒”为习惯说法，实际上应为“某物体和地球组成的系统机械能守恒”。(　√　)
例1　如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和滑轮质量，A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
答案　C
解析　若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误。
二、机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守 恒的 角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选参考平面
从转 化的 角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选参考平面
从转 移的 角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
例2　如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
答案　(1)5 880 J　(2)14 m/s　(3)9.8 m
解析　(1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝5 880 J；
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得E＝mvB2
解得vB＝14 m/s；
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得E＝mghm
解得hm＝9.8 m。
例3　如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案　(1)50 J　(2)32 J
解析　(1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有E＝mv02＝×4×52 J＝50 J。
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有mv02＝mv12＋Ep1
则Ep1＝mv02－mv12＝32 J。
例4　如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时速度为v，A、B之间的竖直高度差为h，重力加速度为g，则(　　)
A．小球的机械能守恒
B．由A到B小球重力势能减少mv2
C．由A到B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
答案　D
解析　由于有弹力做功，小球的部分机械能转化为了弹簧的弹性势能，从而使小球的机械能减小，故A错误；由A到B小球重力势能减少mgh，小球在下降过程中重力势能转化为动能和弹性势能，所以mgh>mv2，故B错误；根据动能定理得mgh＋W弹＝mv2，所以由A到B小球克服弹力做功为mgh－mv2，故C错误；小球克服弹力做的功即为弹簧的弹性势能的增加量，小球在A处时弹簧无形变，所以小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－mv2，故D正确。

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