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第二节
频率与概率
一、频率
一、频率
一、频率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
二、概率
微课版
概率论与数理统计
Probability Theory
and Mathematical Statistics
主编毕秀国董晓梅张大海
定义1.1设在相同的条件下，进行了n次试验。若随机事件A在n次试验中发生
了k次，则比值k/n称为事件A在这n次试验中发生的频率(Frequency),记为
f(A)=飞
(1.1)
由定义1.1容易推知，频率具有以下性质：
(1)对任一事件A,有0≤fm(A)≤1；
(2)对必然事件2，有fn(2)=1;
(3)若事件A,B互不相容，则
表1-1
试验者
掷硬币次数n
出现正面次数k
出现正面的频率f,(A)=k/n
德·摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12019
0.5008
从表1-1可以看出，抛掷一枚硬币的次数n较大时，频率fm（A)在0.5附近波动，频率
呈现出稳定性，即当逐渐增大时，频率fm(A)总是在0.5附近摆动，并逐渐稳定于0.5。
大量试验证实，当重复试验的次数增大时，频率f,(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于
一个常数。这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性。通过大量重复试验，计算频率
fm(A),以它来表征事件A发生的可能性大小是合适的。
但是，在实际中不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得事件频率，用以表征
事件发生的可能性大小。同时，为了理论研究的需要，从频率的稳定性和频率的性质得到
启发，给出如下表征事件可能性大小一
概率的定义。
设事件A在n次重复试验中发生的次数为k,当n很大时，频率k/n在某一数值b的
附近摆动，而随着试验次数n的增加，发生较大摆动的可能性越来越小，则称数p为事件
A发生的概率，记为P(A)=卫。
事件A的概率，通俗地讲就是刻画事件A发生的可能性大小的度量。
需要注意的是，上述定义没有提供确切计算概率的方法，因为我们永远不可能依据它
确切地定出任何一个事件的概率。在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，
况且我们不知道n取多大才满足要求；如果n取很大，又不一定能保证每次试验的条件都
完全相同。而且也没有理由认为，取试验次数为n十1来计算频率，会比取试验次数为n
来计算频率更准确、更逼近所求的概率。
为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理
化定义。

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