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第二节
方　差
方差
方差
一、方差的定义
一、方差的定义
一、方差的定义
一、方差的定义
一、方差的定义
一、方差的定义
二、方差的性质
二、方差的性质
二、方差的性质
二、方差的性质
二、方差的性质
二、方差的性质
二、方差的性质
二、方差的性质
三、常用分布的方差
三、常用分布的方差
三、常用分布的方差
三、常用分布的方差
三、常用分布的方差
三、常用分布的方差
三、常用分布的方差
三、常用分布的方差
微课版
概率论与数理统计
Probability Theory
and Mathematical Statistics
主编毕秀国董晓梅张大海
数学期望描述了随机变量取值的“平均”。有时仅知道这个平均值还不够。例如，设
甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为X,Y,分布见表4-7、表4-8。
表4-7
表4-8
X
8
9
10
Y
8
9
10
P
0.4
0.2
0.4
P
0.1
0.8
0.1
由于E(X)=E(Y)=9(环)，可见从均值的角度是分不出难的射击技术更高的，故还
需考虑其他的因素。通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射
击技术更稳定些。也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命
中的环数X与它的平均值E(X)之间的离差X一E(X)的均值E(|X一E(X)|)来度
量，E(X一E(X))愈小，表明X的值愈集中于E(X)的附近，即技术愈稳定；E(X一
E(X))愈大，表明X的值很分散，技术不稳定。但由于E(X一E(X))带有绝对值，
运算不便，故通常采用X与E(X)的离差X一E(X)的平方的平均值
E{[X一E(X)]〉来度量随机变量X取值的分散程度。此例中，由于
E{[X-E(X)]2}=0.4×(8-9)2+0.2×(9-9)2+0.4×(10-9)2=0.8
E{[Y-E(Y)]2}=0.1×(8-9)2+0.8×(9-9)+0.1×(10-9)2=0.2
由此可见乙的技术更稳定些。
定义4.3
设X是随机变量，E{[X一E(X)]}存在，就称它为X的方差
(Variance),记为D(X)(或Var(X)),即
D(X)=E{[X-E(X)]}
(4.7)
称√/D(X)为随机变量X的标准差(Standard deviation)或均方差(Mean square
deviation),记为o(X)。
根据定义可知，随机变量X的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程
度。若X取值比较集中，则D(X)较小，反之，若X取值比较分散，则D(X)较大。
由于方差是随机变量X的函数g(X)[X一E(X)]2的数学期望。若离散型随机变
量X的分布律为P{X=x}=p,k=1,2,…,则
D(X)=∑[xk-E(X)]pE
(4.8)

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