4随机变量的数字特征_3 课件(共20张PPT)- 《概率论与数理统计》同步教学(大连理工版·2023)

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4随机变量的数字特征_3 课件(共20张PPT)- 《概率论与数理统计》同步教学(大连理工版·2023)

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第三节
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
协方差与相关系数
微课版
概率论与数理统计
Probability Theory
and Mathematical Statistics
主编毕秀国董晓梅张大海
对于二维随机变量(X,Y),数学期望E(X),E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,
而D(X),D(Y)反映的是X与Y各自偏离平均值的程度,它们都没有反映X与Y之间的
关系。在实际问题中,每对随机变量往往相互影响、相互联系。例如,人的年龄与身高;某
种产品的产量与价格等。随机变量的这种相互联系称为相关关系,它们也是一类重要的
数字特征,本节讨论有关这方面的数字特征。
定义4.4
设(X,Y)为二维随机变量,称
EX一E(X)Y一E(Y)
为随机变量X与Y的协方差(Covariance),记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)
(4.11)
Cov(,Y)

称为随机变量X与Y的相关系数(Correlation coefficient)或标准协
/D(X)/D(Y)
方差(Standard covariance),记为pxy,即
Cov(Y
Pxy-JD(X)D(Y)
(4.12)
特别地,
Cov(X,X)=EX一E(X)]X一E(X)]=D(X)
Cov(Y,Y)=E Y-E(Y)Y-E(Y)=D(Y)
故方差D(X),D(Y)是协方差的特例。
由上述定义及方差的性质可得
D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2Cov(X,Y)
由协方差的定义及数学期望的性质可得下列实用计算公式
Cov(X,YE(XY-E(X)E(Y)
(4.13)
若(X,Y)为二维离散型随机变量,其联合分布律为p=P{X=x;,Y=y,},i,j=1,
2,…,则有
Cov(X,Y)=>>[x;-E(X)]y;-E(Y)]i
(4.14)
若(X,Y)为二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),则有
Cov(XYLz-E(X)y-E(Yfddy
(4.15)

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