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第二章 随机变量及其分布
2.5 随机变量函数的分布
内容简介:已知随机变量X的分布, 又设随机变量X的函数为Y=g(X) (其中y=g(x)是连续函数), 如何“由X的分布求出函数Y的分布”, 这个问题无论在实际问题中还是在理论研究上都是很重要的. 在本节，我们通过例题，分离散型随机变量和连续型随机变量情形，求解随机变量函数的概率分布问题.
第二章 随机变量及其分布
2.5 随机变量函数的分布
2.5.1 提出问题
1. 已知t=t0时刻噪声电压V的分布,
如何求功率 W= (R为电阻)的概率分布？
怎样来研究它？
2.5.2 预备知识
1. 单调函数与非单调函数的性质；
2.随机事件和与差的等式，分布函数与概率密度的关系.
在实际问题中, 人们常常对随机变
量函数的概率问题更感兴趣. 例如, 已知圆轴截面直径 d 的分布, 求截面面积A= 的分布, 这里A是随机变量d的函数.
一般地, 设随机变量X的分布已知, 随机变量Y=g(X) (设g是连续函数), 如何“由X的分布求出Y的分布”, 这个问题无论在实际问题中还是在理论上都是很重要的.
2.5.3 理论方法
(1) 当 X取值-1,0,1时, Y对应取值1,3,5, 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件, 两者具有相同的概率.
1.离散型随机变量函数的分布
例2.5.1 设随机变量X的分布律为
求（1）随机变量Y= 2X +3的概率分布.
解
所以, 随机变量Y的概率分布为
X -1 0 1
pk 0.3 0.5 0.2
（2）随机变量Y=X2的概率分布.
已知随机变量X的分布律为
X -1 0 1
pk 0.3 0.5 0.2
则函数随机变量Y= 2X +3的概率分布
Y 1 3 5
pk 0.3 0.5 0.2
(2) 若随机变量X服从分布律
X -1 0 1
pk 0.3 0.5 0.2
则Y=X2的概率分布为
Y 0 1
pk 0.5 0.5
这是因为 P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.5,
P{Y=1}=P{X=-1}∪{X=1}
= P{X=-1}+P {X=1}
=0.3+0.2=0.5.
一般地, 若Y =g(X)是离散型随机变量X的概率函数, X服从的分布律为
X x1 x2 … xk …
pk p1 p2 … pk …
则随机变量X的函数Y=g(X)服从分布律
Y g(x1) g(x2) … g(xk) …
pk p1 p2 … pk …
如果g(x)为非严格单调函数, 则g(xk)中有一些可能是相同的, 把它们对应的概率作适当并项即可.
讲评 例2.5.1中的函数Y= 2X +3为单调
函数, 而例2中的函数Y=X2不是单调函
数. 要注意处理Y取值的不同情形.
2. 连续型随机变量函数的概率分布
例2.5.2 设设随机变量X具有概率密度 fX(x)(-∞（1）随机变量Y= 2X +3的概率密度.
（2）随机变量Y=X2的概率密度fY(y).
解
设X, Y的分布函数为FX(x), FY(y).
(1) Y=2X+3的分布函数：
于是随机变量Y=2X+3的概率密度
注意到 Y = X 2≥0, 所以,
当y < 0时, FY (y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=0.
当y ≥ 0时, 有
FY (y)=P{Y≤y} = P{X 2≤y}
(2) Y=X2的分布函数：
对y求导, 可得随机变量Y的概率密度
特别地, 已知X~N(0,1), 其概率密度为
则Y = X 2的概率密度为
此时称Y服从自由度为1的χ2分布, 常记
为Y~χ2(1). 即：若X~N(0,1), 则Y=X2~χ2(1).
例2.5.1中函数Y=2X+3为单调函数,
而函数Y=X2不是单调函数, 要注意概率 P{g(X)≤y}的分解形式.
讲评
通过例2.5.2, 我们可以总结出在连续型随机变量X的分布函数或概率密度已知的情况下求Y= g(X)的概率密度的一般方法:
设X有概率密度fX (x), 随机变量Y= g(X), 则
(1) 先确定Y的值域R(Y).
(2) 对任意y∈R(Y), 求出Y的分布函数
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X∈G(y)}
=
这里, G(y)由不等式g(X)≤y解出.
(3) 对FY(y)求导, 可得Y的概率密度 fY(Y) ,y∈R(Y).
(4) 对fY(y)加以总结, 当y R(Y)时, 取
fY(y)=0.
定理 设随机变量X是一个有概率密度fX(x)的连续型随机变量, 又设函数y=g(x)严格单调且其反函数g-1(y)有连续导数, 则Y=g(X)也是一个连续型随机变量, 它的概率密度为
其中区间(α,β)为Y的值域.
下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接求出随机变量函数的概率密度.
证
X的概率密度为
例2.5.3 设随机变量 试证明X的线性函数 也服从正态分布,
且
现在 , 由这一关系式解得
求导得
由定理公式
得到 的概率密度为
就是
因此
讲评
本题结论，作为定理使用：设随机变量
则 也服从正态分布, 且
本次课我们介绍了随机变量函数的
分布. 对于连续型随机变量, 在求Y=g(X) 的分布时, 关键的一步是把事件{ g(X)≤ y }转化为X在一定范围内取值的形式, 从而可以利用 X 的分布FX (x)来求Y=g(X)的分布FY (y) =P{ g(X)≤ y }. 对于可导的单调函数g(x)来说, 可以直接应用定理求得Y的概率密度. 特别是，正态分布线性函数的性质要熟练掌握.
2.5.4 内容小结

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