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第二章 随机变量及其分布
习题课（下）
习题课二分为上、下两部分.
在下部分中, 在“例题分类解析”部分，讲解了：3. 连续型随机变量概率密度及其分布问题；4. 关于正态分布的应用问题；5. 随机变量的分布函数问题；6. 随机变量函数的概率分布问题. 三、学习与研究方法.
在上部分中, 我们归纳了第二章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 离散型随机变量的分布律的计算问题；2. 根据概率分布求解概率的问题.
习题课（下）内容简介：
3. 连续型随机变量概率密度及其分布问题
例8 确定常数c, 使如下函数
成为某个随机变量的概率密度.
本题涉及到连续型随机变量的概率密度的性质——非负性和归一性.
逻辑上是应用定理: 如果某函数满足非负性和归一性, 那么它可以作为某个随机变量的概率密度.
分析
解
令
得到 c=1.
显然, 非负性g(x)≥0(x∈(-∞,+∞))满足.
所以, 函数g(x)在c=1条件下可以作为某
个随机变量的概率密度.
讲解
度, 用性质f(x)≥0(x∈(-∞,+∞))和
若f(x)为连续型随机变量X的概率密
可确定连续型随机变量X的概率密度f(x)中的待定参数. 这是求连续型随机变量X的概率密度f(x)中未知参数的基本方法. 需要注意本题的要求和逻辑关系.
利用概率密度的性质求连续型
随机变量X的概率密度f(x)中的未知参数
是连续型随机变量X的概率计算中的重要问题, 也是我们经常考查的重点之一. 这是因为, 在实际问题中, 我们往往是先知道随机变量的分布类型, 而分布类型中的参数需要我们利用概率密度的性质来确定.
扩展
确定了参数, 我们就完全掌握了这个概率分布; 进而我们可以利用这个概率
分布计算概率、分析性质、预测与控制未来发展趋势等因此，在概率统计应用分析中，经常要求我们求解未知参数，其原因就在于此.
本题涉及到利用判别式Δ=b2-4ac,求含Y的不等式；涉及已知分布求概率的问题. 利用均匀分布的概率密度即可解决.
例9 设随机变量Y服从均匀分布U(-5,5), 求关于x的方程
的概率.
有实根
分析
解
Y的概率密度
方程有实根的充要条件是
Y≥4或Y≤-1.
解得
于是有{方程有实根}={Y≥4}∪{Y≤-1}, 故方程有
实根的概率为
P{Y≥4}+P{Y≤-1}
求连续型随机变量的有关概率问题经常用到下列公式:
讲评
(1)
(注意:“<”换成“≤”,公式仍成立);
(2) P{X=a}=0.
在题设条件方面, 如果换成离散型随机变量的分布律同样可以求方程有实根的概率; 也可以改变结论：求方程没有实根的概率.
扩展
4. 关于正态分布的应用问题
例10 用正态分布估计高考录取最低分.
某市有9万名高中毕业生参加高考, 招生计划有5.4万名被各类高校录取. 已知满分为600分, 540分以上者有2 025人, 360分以下者有13 500人. 试估计高考录取最低分.
考生的高考成绩为随机变量X,
它一般会受先天遗传、后天努力、心理
素质、考试期间身体状态、求学期间班级学风等诸多随机因素的影响, 而各因素的影响又是有限的, 但正负影响会相互抵消, 故可以认为X服从正态分布.
分析
解
设学生高考成绩
, 由题设有
P{X≤540}=1-P{X>540}=1-
=0.977 5.
得到
P{X≤540}=
又由于
P{X<360}=
于是
反查正态分布表, 得
解上述方程组,得
μ≈421,
≈58,
所以
N(421.
).
已知录取率
. 设录取最低分为a, 则
0.6=P{X≥a}=1-P{X本题用正态分布估计高考录取最低分是正态分布的实际应用问题之一.
讲评
所以该次高考最低录取分为406分.
反查正态分布表, 得到
=0.253, 得a≈406.
由于μ,
两步:
未知, 故解决问题可分如下
(1) 由题给的高考结果的两个信息, 建立关于
未知参数μ,
的两个方程, 并解之;
(2) 通过已公布的录取率, 求得最低分值.
关于μ，σ2的数学意义和实际意义在以后第四章讲述.
扩展
本题涉及到已知概率密度求分布函数的问题, 用公式
≤
F(x)=
去解决.
例11 设随机变量X的概率密度为
求: (1) X的分布函数; (2)
分析
5. 随机变量的分布函数计算问题
解
(1) 由分布函数的定义知
当x<0时,
当0≤x<1时,
当1≤x<2时,
当x≥2时,
所以, X的分布函数为
(2) 由分布函数性质可知
讲评 容易出错的是：
当1≤x<2时,
当x≥2时,
连续型随机变量X的概率计算方法有两种: 一是可以通过X的分布函数来计算, 如本题; 二是也可以利用概率密度来计算积分:
扩展
=0.935.
由概率密度f(x)求分布函数F(x)是概率
论中最基本的要求, 应熟练掌握.
6. 随机变量函数的分布问题
X -3 -1 0 1 3
P 0.05 0.20 0.15 0.35 0.25
例12 设随机变量X的分布律为
求: (1) Y = 5-2X的分布律;
的分布律.
(2)
本题是离散型随机变量函数的
分布律问题, 可用下面公式
分析
其中
解
(1) X为五点分布, y=5-2x为单调函数.
故
不等时yi也不等, 从而Y 的分布律为
Y -1 1 5 7 11
P 0.25 0.35 0.15 0.20 0.05
Z 1 2 10
P 0.15 0.55 0.30
以Z=10为例, 计算如下：
P{Z=10}= P{X2+1=10}= P({X=-3}∪{X=3})
=P{X=-3} +P{X=3}=0.05+0.25=0.30.
(2) 由于z=x2+1为偶函数而非单调, 通过
点分布, 而是如下的三点分布:
, Z的可能取值为 1, 2, 10.
关系
故Z不再是五
由上题可看出, 离散型随机变量
函数Y=g(X)的概率分布分为两种情形:
(1) 函数g(x)是单调函数时, g(xi)(i=1,2,…)的值全不相等, 将函数值g(xi)与X= xi时的概率pi对应即可,如本例 (1); (2) 函数 g(x) 不是单调函数时 , g(xi)(i=1,2,…)的值有相等的, 需要把那些相等的函数值对应的概率pi加在一起, 如本例 (2).
讲评
一般地, 若离散型随机变量X的分布律为
扩展
X x1 x2 … xk …
P p1 p2 … pk …
则随机变量函数Y=g(X)的分布律为
Y g(x1) g(x2) … g(xk) …
P p1 p2 … pk …
如果g(xk), k=1,2,…中有相同的值, 则把对应的概率相加.
本题涉及到连续型随机变量函数的概率密度的问题, 有两种方法: 分布函数法和公式法.
分析
例13 设随机变量
概率密度fY(y).
求Y的
解
方法1
(分布函数法)
由题设得到X的分布函数
故Y的分布函数为
≤y} =
FY(y)=P{Y≤y}=P{
所以
FY(y)=
对y求导, Y的概率密度为
fY(y)=
方法2
(公式法)
X的概率密度为
时,
当
, 反函数
严格单调且有连续导数
由定理得Y的概率密度
fY(y)=
即
fY(y)=
已知连续型随机变量X的概率密度为fX(x), 随机变量Y是X的函数Y=g(X), 求Y的概率密度的方法通常有如下两种:
讲评
分布函数法: 先求Y的分布函数
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=
再对上式两边求导得fY(y)=
.
公式法:
在使反函数无意义的点y处, 定义fY(y)=0.
其中 g(X) 严格单调, 其反函数
有连续导数
利用随机变量函数的分布函数
或概率密度,可以继续要求计算概率P{1扩展
例14 设随机变量X服从参数为2的指数分布, 求Y=g(X)的分布函数, 其中
当y≥1时, FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}= P{S}=1;
本题是连续型随机变量函数的分布函数求解问题.
分析
解
}=0;
当y<0时, FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}= P{
由题设X的分布函数为
当0≤y<1时, FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}
= P{X≤y}= FX(y)=
所以Y=g(X)的分布函数
分布函数法具有普遍性, 公式法要
求函数单调，反函数导数连续，对于分段函
数难于利用.
讲评
(1) 可以要求计算概率密度.
(2) 本题的结果显示: 尽管连续型随机变量X的分布函数连续(本题X服从指数分布), 尽管X的函数Y=g(X)也连续, 但仍不能保证Y=g(X)的分布函数FY(y)连续. 图2-1说明了这个问题.
扩展
图2-1 例17随机变量函数的分布关系
(3) 此题重点解决分段函数Y=g(X)的分布函数计算问题. 通过对FY(y)求导, 立即得到概率密度fY(y).
(1) 事件数量化
引入随机变量, 将试验结果以及随机事件数量化, 从而可以广泛地利用数学分析的知识来分析问题和解决问题.
(2) 综合交叉分析
存在既非离散型随机变量又非连续型随机变量的随机变量.
三、学习与研究方法
(3) 改变定义或定理条件
如果改变分布函数F(x)=P{X≤x}的定义,
例如, 定义随机变量X的分布函数为
F0(x)=P{X那么分布函数F0(x)会出现许多与分布函数
F(x)=P{X≤x}
不同的结论. 二者关系是
F(x)= F0(x)+ P{X=x}.

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